第7章 第1讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学讲义围绕基本立体图形、表面积与体积高考核心考点，按多面体与旋转体结构特征、直观图画法、公式应用逻辑梳理知识，通过考点分层讲解、方法归纳、真题演练等环节，帮助学生系统构建空间几何知识网络，突破球的切接等难点。 讲义采用多维探究模式，如体积计算融入割补法、等积法实例，结合斜二测画法培养直观想象，通过方斗等传统文化问题渗透数学抽象。设置基础判断、改编题及分层练习，助力教师精准把控复习节奏，提升学生空间几何运算与解题能力。

第1讲　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 课标要求 考情分析 1．利用实物、计算软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图． 3．知道球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 考点考法：高考命题常以空间几何体为载体，考查几何体的结构特征、直观图的画法、表面积与体积的计算，尤其是传统文化中的立体几何问题以及球的内切与外接问题是高考的高频考点． 核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算． [对应学生用书P169] 1．基本立体图形 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相__平行__且__全等__ 多边形 互相__平行__且__相似__ 侧棱 互相__平行__且__相等__ 相交于一点，但不一定相等 延长线交于__一点__ 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 [微提醒]　常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 (2)旋转体的结构特征 名称 图形 母线 轴截面 侧面展开图 圆柱 互相平行且相等，__垂直__于底面 全等的__矩形__ 矩形 圆锥 长度__相等__且相交于一点 全等的__等腰三角形__ 扇形 圆台 长度相等且延长线交于__一点__ 全等的__等腰梯形__ 扇环 球 圆面 2．立体图形的直观图 (1)画法：常用斜二测画法； (2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为__45°__(或__135°__)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度__不变__，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的__一半__． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝__2πrl__ S圆锥侧＝__πrl__ S圆台侧＝__π(r＋r′)l__ 4．空间几何体的表面积与体积公式 　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝__Sh__ 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝__(S上＋S下＋)h__ 球 S＝4πR2 V＝__πR3__ [微提醒]　几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． 1．原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系：(1)S直观图＝S原图形； (2)S原图形＝2S直观图． 2．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差； (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理). 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(×) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(×) (3)菱形的直观图仍是菱形．(×) (4)圆锥的任意一个轴截面都是全等的等腰三角形.(√) 2．(北师大版必修二P237习题B组第2题改编)如图，长方体ABCD-A′B′C′D′被截去体积较小的一部分，其中EH∥A′D′∥FG，则剩下的几何体是(　　) A．棱台　　　　　　 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 解析　由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱． 答案　C 3．(北师大版必修二P216习题A组第4题改编)下列说法正确的是(　　) A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 解析　由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形． 答案　D 4．已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则该三棱柱的体积为(　　) A．4 B．3 C．2 D． 解析　在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2， 所以S△ABC＝×2×2×sin 60°＝， 所以＝S△ABC·AA1＝2. 答案　C 5．底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为(　　) A． B．π C．2π D．3π 解析　由题可知圆锥的高h＝＝，所以圆锥的体积V＝×π×12×＝. 答案　A [对应学生用书P171] 考点一　基本立体图形 多维探究　发散思维 角度1　结构特征 　下列命题正确的是(　　) A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台 D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆面或矩形面 [解析]　如图所示，可排除A，B选项．对于D选项，只有截面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形面或圆面，否则截面为椭圆面或椭圆面的一部分．故选C. [答案]　C 空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举出一个反例即可． 角度2　直观图 　已知正三角形的边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为(　　) A．　　　　　　　 B． C．2 D．2 [解析]　如图1，△ABC是边长为2的正三角形，取AB的中点为O，连接OC，以O为坐标原点，分别以AB，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴，y′轴，两轴相交于O′点，且使∠x′O′y′＝45°，如图2，在x′轴上取点A′，B′，且使O′A′＝O′B′＝1，在y′轴上取点C′，且使O′C′＝OC＝×2×＝，连接A′C′，B′C′，则△A′B′C′即△ABC的直观图，所以S△A′B′C′＝S△A′O′C′＋S△B′O′C′＝2S△B′O′C′＝×1×××2＝.故选B. 　 [答案]　B 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． 角度3　展开图 　如图，在正三棱锥S-ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．3 [解析]　将三棱锥S-ABC沿侧棱BS展开，其侧面展开图如图所示．一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为BB′，根据余弦定理得BB′＝＝2. [答案]　C 几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定要先观察立体图形的每一个面的形状． [注意]　利用空间几何体的表面展开图可求几何体的表面积及表面上两点间的距离问题． 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 解析　A不正确，直角三角形绕斜边所在的直线旋转得到的旋转体不是圆锥；B正确，以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；D正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍(即直径).故选BCD. 答案　BCD 2．如图，一个水平放置的平面图形由斜二侧画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为(　　) A．4＋4 B．4＋4 C．8 D．8 解析　根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示， 其中OA＝2，OD＝4，AB＝CD＝2，则AD＝＝2，故原平面图形的周长为2＋2＋2＋2＝4＋4. 答案　B 3．某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中ME垂直于底面，OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为________． 解析　圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为EE′的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．EN＝×16＝4，EM＝2，∴MN＝＝＝2. 答案　2 考点二　空间几何体的表面积 重难考点　师生共研 　(1)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为(　　) A．4π B．6π C．10π D．16π (2)我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台(两个底面都是正方形的四棱台)，如果一个方斗的容积为28升(一升为一立方分米)，上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为(　　) A．(20＋3)dm2 B．(20＋4)dm2 C．56 dm2 D．(20＋12)dm2 [解析]　(1)因为圆锥的底面半径r＝2，所以底面积S底＝πr2＝4π，底面周长L＝2πr＝4π，母线长l＝＝3，圆锥侧面积S侧＝πrl＝6π，故圆锥的表面积为S底＋S侧＝4π＋6π＝10π. (2)如图所示，高线为MN，M，N分别为上、下底面的中心，由方斗的容积为28升，可得28＝(4＋16＋)·MN，解得MN＝3.由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得AM＝2，NB＝，AB＝＝，侧面梯形面积为×(2＋4)× ＝3，所以方斗的表面积为S＝22＋42＋4×3＝(20＋12)(dm2).故选D. [答案]　(1)C　(2)D 空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． 4．某几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积为(　　) A.36＋12π B．40＋12π C．36＋16π D．40＋16π 解析　由题意可知几何体的表面积为4×2×4＋2×2×2＋4π＋×4π×4＝40＋12π.故选B. 答案　B 考点三　空间几何体的体积 多维探究　发散思维 角度1　公式法 　在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________． [解析]　如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M 为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则A1O1＝A1C1＝×A1B1＝，AO＝AC＝×AB＝，故AM＝(AC－A1C1)＝，则A1M＝＝ ＝，所以所求体积为V＝×(4＋1＋)×＝. [答案]　 角度2　等积法 　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为________． [解析]　如图，由正方体棱长为2，得＝2×2－2××2×1－×1×1＝， 又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高，且D1A1＝2， 所以＝＝··D1A1＝××2＝1. [答案]　1 角度3　割补法 　如图所示，已知多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________． [解析]　方法一(分割法)　因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.由题意，知V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝2＋2＝4. 方法二(补形法)　因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半．又正方体的体积V＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝×8＝4. [答案]　4 求空间几何体的体积的三种方法 5．如图，在平面五边形ABCDE中，AB＝DE＝1，BC＝CD＝2，AE＝，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝90°，则五边形ABCDE绕直线AB旋转一周所成的几何体的体积为(　　) A．π B．7π C．π D．π 解析　由图可知，五边形ABCDE可看作正方形BCDF切去一个等腰直角三角形AEF，将五边形ABCDE绕直线AB旋转一周得到的几何体是一个圆柱挖去一个圆锥．所以所求几何体的体积V＝V圆柱－V圆锥＝π×22×2－×12×π×1＝π.故选D. 答案　D 6．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积是(　　) A．36π B．39π C．42π D．45π 解析　将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱，过M作底面的平行平面，与过N的母线交于点S，连接MS，由题意知∠MNS＝30°，则MS＝6×＝2，故圆柱的底面半径为，则容器内液体的体积为×(10＋16)×π×()2＝13×π×3＝39π.故选B. 答案　B 学科网（北京）股份有限公司 $