27.2.2反比例函数的图象和性质（2）--教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.2.2 反比例函数的图象和性质（2） 课题名称 27.2.2 反比例函数的图象和性质（2） 课型 新授课 教学资源 课件、坐标系（方格纸） 教学内容解析 内容 反比例函数的图象和性质（第二课时） 内容解析 本课时是在学生已经会用描点法画出反比例函数 的图象、知道图象是双曲线、掌握 k 的符号决定图象所在象限及每个象限内增减性的基础上，进一步研究反比例函数图象的两个重要特征：一是图象关于原点成中心对称；二是比例系数 k 的几何意义——图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积恒等于 |k|，所围直角三角形的面积恒等于 |k|。 这些内容是上一课时"位置与增减性"的自然延伸，也是数形结合思想的集中体现。k 的几何意义沟通了"数（k）"与"形（面积）"，是中考的常考点；中心对称性则为后续求两个函数图象的交点、整体把握双曲线提供了依据。它既深化了学生对反比例函数图象的认识，也为下一节建立反比例函数模型解决实际问题做好方法上的准备。 目标与目标解析 单元整体目标 本章按照"画图象—探究性质—解决实际问题"的路径展开。第一课时已完成画图、位置与增减性的探究，本课时继续探究图象的对称性与 k 的几何意义。 对应课标： ① 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析式 （k 为常数，k≠0）探索并理解其更多性质； ② 能利用反比例函数的图象与性质解决简单问题； ③ 在观察、归纳、几何直观等活动中，发展数形结合、几何直观与推理能力。 课时目标 1. 知道反比例函数的图象关于原点成中心对称，能利用对称性由图象上一点的坐标写出其对称点的坐标，并判断该点是否仍在图象上，发展几何直观。 2. 理解并掌握 k 的几何意义：图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 |k|，所围直角三角形的面积为 |k|；能由面积求 k、由 k 求面积，发展数形结合与数学运算能力。 3. 能综合运用反比例函数的图象与性质（位置、增减性、对称性）解决比较函数值、求交点等简单问题，发展推理能力。 课时目标解析 达成目标1的标志：学生能说出反比例函数图象关于原点对称，能由点 P(a,b) 写出对称点 P′(-a,-b)，并由 (-a)·(-b)=ab=k 判断 P′ 仍在图象上。 达成目标2的标志：学生能根据图形说出矩形面积 S=|xy|=|k|、三角形面积 S=|xy|=|k|；已知矩形或三角形面积能正确求出 |k|，并结合图象所在象限确定 k 的符号。 达成目标3的标志：学生能在同一坐标系中比较同一象限内两点的函数值，能利用对称性求出正比例（或一次）函数与反比例函数图象的交点。 学情分析 已有的知识、认知水平 通过上一课时的学习，学生已经会画反比例函数的图象，知道双曲线的位置由 k 的符号决定、每个象限内具有增减性；在一次函数、二次函数的学习中，也积累了从图象中进一步发现特征、并由数与形对照解释特征的经验。这些都为本课时发现对称性、探究 k 的几何意义奠定了基础。 困惑点或探索点 ① 探究 k 的几何意义时，容易忽略面积是 |k|（而非 k），忘记结合图象所在象限判断 k 的正负；② 对"图象上任意一点围成的矩形面积都相等"这一不变性理解不深，不会主动用它求 k；③ 利用对称性求交点时，容易只求出一个交点而漏掉另一个关于原点对称的交点。 教学重难点 教学重点 反比例函数图象的中心对称性；k 的几何意义（矩形面积为 |k|、三角形面积为 |k|/2）。 教学难点 结合图象所在象限由面积确定 k 的符号，以及灵活运用对称性和 k 的几何意义解决问题。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：对称性与 k 的几何意义是反比例函数图象的本质特征，前者沟通了两支曲线之间的关系，后者把 k 这个"数"与矩形、三角形的"面积"直接联系起来，是数形结合思想的典型载体，也是中考常考点。 学什么：反比例函数图象关于原点中心对称；k 的几何意义（矩形面积 |k|、三角形面积 |k|/2）；综合运用图象与性质解决问题。 怎么学：以 的图象为载体，先取特殊点观察关于原点的对称性并验证，再让学生任取一点作垂线、计算面积，在"变中找不变"中归纳 k 的几何意义；借助图形与例题，由面积到 k、由 k 到面积双向训练，突破"符号确定"这一难点。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 引入新课 1、 复习引入 师：上节课我们认识了反比例函数的图象。谁来说说，k>0 和 k<0 时图象分别在哪些象限？增减性如何？ 生：k>0 时图象在第一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小；k<0 时图象在第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大。 师：双曲线除了位置和增减性，还有没有其他值得注意的特征？今天我们继续研究 的图象。 学生能正确说出 k 的符号与图象位置、增减性的关系； 明确本节课要进一步发现图象的新特征。 复习上一课时结论，为在同一坐标系上进一步观察对称性与面积不变性做铺垫，实现内容的自然延伸。 概念探究 探究对称性与 k 的几何意义 探究一：图象的对称性 师：在 的图象上取一点 P(1,6)，点 P 关于原点对称的点 P′ 的坐标是什么？ 生：关于原点对称，横、纵坐标都变号，所以 P′(-1,-6)。 师：P′ 在 的图象上吗？怎样验证？ 生：∵ (-1)×(-6)=6=k，∴ P′ 也在图象上。 师：再取点 (2,3)，它关于原点的对称点 (-2,-3) 在图象上吗？ 生：∵ (-2)×(-3)=6，也在图象上。 师：这说明双曲线有什么特征？ 生：反比例函数的图象关于原点成中心对称。 探究二：k 的几何意义 师：如图，在 第一象限的图象上任取一点 P(2,3)，过 P 作 PA⊥x 轴于 A，作 PB⊥y 轴于 B。矩形 OAPB 的面积是多少？ 生：S矩形=OA·AP=|x|·|y|=|xy|=|k|=6。 师：连接 OP，三角形 OPA 的面积呢？ 生：S三角形=·|x|·|y|=|k|=3。 师：如果改取图象上其他位置的点（例如 P(3,2) 或第三象限的点），这些面积会改变吗？ 生：不会。因为对任意一点 (x,y) 都有 xy=k，所以矩形面积恒为 |k|，三角形面积恒为 |k|。 师：（归纳）这就是 k 的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 |k|，所围直角三角形的面积等于 |k|。注意面积是 |k|，k 的正负要由图象所在象限确定。 例1 反比例函数 的图象上一点到两坐标轴的垂线所围成矩形的面积为 3，且图象位于第二、四象限，求 k。 生：由矩形面积 |k|=3，得 k=±3；又图象在第二、四象限，k<0，∴ k=-3。 例2 如图，点 A 在反比例函数 的图象上，AB⊥x 轴于 B，若 S三角形AOB=2，求 k。 生：由 S三角形=|k|=2，得 |k|=4，k=±4；由图知图象在第一、三象限（k>0），∴ k=4。 能由点 P(a,b) 写出对称点 P′(-a,-b) 并验证其在图象上； 能说出矩形面积为 |k|、三角形面积为 |k|/2； 能由面积求 |k|，并结合图象所在象限正确确定 k 的符号。 从特殊点入手发现中心对称，再由"任取一点"验证，体现由特殊到一般；通过作垂线、算面积，在变化中发现面积不变，把 k 与面积直观联系起来，落实数形结合与几何直观；例题强调"先求 |k| 再定符号"，突破难点。 课堂练习 知识巩固 练习1 若点 P(m,n) 在反比例函数 的图象上，则 P 关于原点对称的点 P′ 的坐标为____，P′____（填"在"或"不在"）该图象上。 生：P′(-m,-n)；∵ (-m)(-n)=mn=6=k，∴ P′ 在图象上。 练习2 点 P 是反比例函数 第一象限图象上任意一点，作 PA⊥x 轴于 A，则 S三角形POA=____。 生：S=|k|==2。 练习3 反比例函数 的图象上任意一点到两坐标轴垂线所围成的矩形面积为 5，且图象位于第一、三象限，则 k=____。 生：|k|=5，k=±5；又 k>0，∴ k=5。 练习4（综合）正比例函数 y=2x 与反比例函数 的图象有几个交点？求交点坐标。 生：联立得 2x=，即 x²=4，x=±2。当 x=2 时 y=4；当 x=-2 时 y=-4。∴ 有两个交点 (2,4) 与 (-2,-4)，它们关于原点对称。 练习1 会用对称性写坐标并判断点在图象上； 练习2、3 会由 k 求面积、由面积求 k 并定符号； 练习4 能综合运用对称性求出两个（而非一个）交点。 练习从对称性、k 的几何意义到两函数交点的综合问题，层层递进；练习4刻意让学生体会"交点成对出现、关于原点对称"，防止漏解。 反思总结 学生为主体发言总结 师：请同学们一起回顾，本节课你有哪些收获？ 生1：反比例函数的图象关于原点成中心对称； 生2：过图象上一点作两坐标轴的垂线，围成的矩形面积等于 |k|，直角三角形面积等于 ； 生3：由面积求 k 时，先求 |k|，再根据图象所在象限确定 k 的正负。 师：本节课还有哪些疑惑？说一说！ 学生能主动梳理"对称—面积—定 k"三大要点； 能提出并交流尚存的疑惑。 通过自主小结把图象特征结构化，深化对对称性和 k 的几何意义的理解，培养归纳与反思习惯。 板书设计 27.2.2 反比例函数的图象和性质（2） 1. 对称性：图象关于原点成中心对称。 P(a,b) 在图象上 ⟺ P′(-a,-b) 也在图象上。 2. k 的几何意义： 矩形面积 S=|xy|=|k|； 直角三角形面积 S=。 （先由面积求 |k|，再由图象所在象限定 k 的符号。） 数形结合，提纲挈领，重点突出。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $