安徽省六安第一中学2026-2027学年高三上学期周末检测数学试卷（一）

六安一中2027届高三年级第一学期周末检测 数学试卷(一) 时间:120分钟 满分:150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.设函数,则( ) A.为的极大值点 B.为的极小值点 C.为的极大值点 D.为的极小值点 2.某地区的一种特色水果上市时间仅能持续几个月,预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨的态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,为准确研究其价格走势,下面给出的四个价格模拟函数中合适的是(其中p,q为常数,且,,表示4月1日,表示5月1日,……以此类推)( ) A. B. C. D. 3.曲线上的点到直线距离的最小值为( ) A. B. C. D. 4.若函数不单调,则可以为( ) A. B. C. D. 5.定义在上的单调函数满足:,则方程的解所在区间是( ) A. B. C. D. 6.若函数,则方程的实根个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7.已知函数的最大值为1,则( ) A. B. C. D. 8.函数是定义在上的可导函数,为其导函数,若且,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分. 9.设函数,则( ) A.有三个零点 B.方程有三个不同实根 C.函数的图象具有对称中心 D.曲线上存在无数多对互相平行的切线 10.若直线l为曲线与曲线的公切线,则直线l的斜率为( ) A.0 B.2 C. D. 11.已知函数及其导函数的定义域均为,若,函数和均为偶函数,则( ) A. B. C.函数的图象关于点对称 D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知是定义在上的偶函数,其导函数为,且,则. 13.已知函数在处有极小值,且极小值为6,则. 14.已知函数有两个极值点,若,则的最大值为. 四、解答题:本题共5小题,共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知函数的图象在点处的切线与直线平行,其中为常数. (1)求的值; (2)求不等式的解集. 16.(本小题满分15分) 已知函数 (1)求在区间上的导函数; (2)求在区间上的取值范围. 17.(本小题满分15分) 已知函数,. (1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围; (2)若函数在上的最大值为,求实数的值. 18.(本小题满分17分) 已知函数. (1)当时,讨论的单调性; (2)若函数的图象上总存在两点关于对称,求的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数,. (1)讨论函数的单调性; (2)若,存在,使得,证明:; (3)当时,设,,证明:在数列中,必存在两个不同下标,(),使得. 六安一中2027届高三年级第一学期周末检测 数学试卷(一)参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A C A C A BCD AD 题号 11 答案 ABD 8.【详解】解:令,由题设可得,当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.由于,所以不等式的解集是,即不等式的解集是.故选:B. 9.【详解】选项A:令得,或,所以函数有两个零点,故A不正确.选项B:因为,方程有三个不同实根,故B正确.选项C:因为,,得,,所以函数的图象关于点对称,即函数的图象具有对称中心. 故C正确.选项D:设函数在某点处的切线斜率为,得.当时,,无实数解,此时函数不存在斜率为的切线;当时,,得,此时函数只有一条斜率为的切线;当时,,得,此时函数有两条斜率为的不同的平行切线,即曲线上存在无数多对互相平行的切线. 故D正确. 10.【详解】曲线,则,曲线,则,设直线l与曲线的切点坐标为,则切线方程为,设直线l与曲线的切点坐标为,则切线方程为,或,直线l的斜率为0或. 11.【详解】,所以函数的图象关于直线对称,由两边求导得,得,令,则,A正确;因为函数为偶函数,所以,所以,所以函数的图象关于对称,所以函数,则,所以,则,故,B正确;因为的周期为,且,故,所以,为常数,因此,由,所以,则,由,故,故,即,所以函数的图象关于直线对称,C错误;因为,所以,且,又,所以,则,综上,,所以,D正确. 12.【详解】是定义在R上的偶函数,所以,两边取导数得,所以,由①,得,则②,由①②得 13.5【详解】,则,根据题意,,解得或当时,,当和时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;故是极小值点,正确;当时,恒成立,函数无极小值点,排除.综上所述:. 14.【详解】,又,则令,由已知,则,则,则,,所以,令,则,令,则,所以函数在上递增,又因为,所以当时,,即,所以函数在上递增,所以,所以的最大值为. 15.【详解】(1)因为函数,则,又因为图象在点处的切线与直线平行,所以,解得; (2)由(1)知,且恒成立,所以在上单调递增,则不等式等价于,解得. 16.【详解】 (1),,所以. (2)由,解得或.因为 ,,又因 所以在区间上的取值范围是. 17.【详解】 (1)因为函数在上单调递增,所以在上恒成立,所以在上恒成立,又的解为或,所以当在上恒成立时, ,即实数的取值范围; (2)由(2)可知,,当和时,单调递增;当时,单调递减.当时,在上单调递增,则,解得或(舍去). 当时,若,则,则在上单调递减,在上单调递增,故,又,无解;若,则,则在上单调递减,故,无解;若,则,则在上单调递增,在上单调递减,故,解得,无解,当即时,在上单调递增,则,解得或(舍去);.综上可得,实数的值为或. 18.【详解】 (1)函数的定义域为,求导得,令,,( )当,即时,,即恒成立,在上单调递减;( )当时,由,,,得方程在有两解,且,当时,,即;当时,,即,函数在上单调递减,在上单调递增;综上可知当时,的减区间为,无增区间;当时,的减区间为,增区间为. (2)与函数图象关于对称的图象对应函数为,若函数的图象上总存在两点关于对称,根据对称性可知只需函数与函数在上有交点即可,亦即方程在上有解,则函数在上有零点,而,令,当时,,令,依题意,函数在上有零点,求导得,函数在上单调递减,若在上有零点,而当从大于0的方向趋近于0时,,则有,解得,此时在上存在唯一零点,在上也存在唯一零点,从而在上存在唯一零点,所以实数的取值范围是. 19.【详解】 (1),当时,在R上单调递增,当时,令,得,当时,,;当时,,即在上单调递减,在上单调递增; (2)若,结论成立.若,有,要证,只需证,即证,即证对任意,恒成立.令,,则,令,,当时,,即在上单调递增,,在上单调递增,,即任意 , 恒成立,即 . (3)反证法:令,由前面可知,,在上单调递增,即,即对每一个,都有,将这个式子累加有,①另一方面,因为,,,所以,即与①矛盾,故假设不成立,必存在两个不同下标,使. 2 1 学科网(北京)股份有限公司 $