第二十七章反比例函数专题训练·双曲线与抛物线：图象法解方程不等式 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

九年级数学人教版上学期第二十七章反比例函数专题训练 双曲线与抛物线：图象法解方程不等式 【专题简介】 图象法解方程与不等式，是将代数方程 视作抛物线 与双曲线 的交点问题，将不等式 （或 ）视作两函数图象的高低相对位置关系，体现以形助数的数学思想． 利用图象法求解时，首先确定两函数图象交点的横坐标，将其作为分界点；再结合自变量取值范围（反比例函数需注意 的分界），观察各区间内抛物线位于双曲线的上侧或下侧，写出对应的自变量取值范围．整式化变形时须注意分母符号对不等号方向的影响． 本专题设置六个子专题：由交点读出方程的解、由高低位置读出不等式解集、待定系数法求表达式与交点、变形方程与图象翻折、命题真假判断、图象法与代数法互验及综合探究，侧重考查数形结合与分类讨论能力． 专题1　由图象交点直接读出方程的解 1．【2025北京中考类题·交点与方程】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、 三点，已知点 的横坐标为 ． （1）求点 的坐标； （2）求点 、 的坐标； （3）直接写出方程 的解． 2．【教材改编·人教九上第二十七章】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、，已知点 的坐标为 ． （1）验证点 是否在双曲线上； （2）求图象的另外两个交点 、 的坐标； （3）直接写出方程 的解． 3．【2025南京期末·高次方程图象解】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、 三点． （1）若点 的横坐标为 ，求点 的坐标； （2）求点 、 的坐标； （3）直接写出方程 的解． 4．【教材改编·华东师大九下第26章】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、 三点，已知点 的横坐标为 ． （1）求点 的坐标； （2）求点 、 的坐标； （3）若方程 的三个根按从小到大排列，写出这个排列． 专题2　由图象位置关系读出不等式的解集 5．【2025武汉中考类题·不等式解集】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、 三点． （1）直接写出不等式 的解集； （2）直接写出不等式 的解集； （3）若点 同时满足 且 ，写出 的取值范围． 6．【教材改编·北师大九下第二章】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、 三点． （1）直接写出不等式 的解集； （2）直接写出不等式 的解集； （3）若点 满足 且 ，写出 的取值范围． 7．【2025苏州期末·图象法解不等式】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、 三点． （1）直接写出不等式 的解集； （2）直接写出不等式 的解集； （3）若点 满足 且 ，写出 的取值范围． 8．【教材改编·人教九上第二十二章】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、 三点． （1）直接写出不等式 的解集； （2）直接写出不等式 的解集； （3）若不等式 的解集为 或 ，求 的值． 专题3　求函数表达式与图象交点 9．【2025成都中考模拟·待定系数法】已知抛物线 与双曲线 的图象交于点 和点 ． （1）求 的值； （2）求 、 的值； （3）求两个函数图象的第三个交点的坐标． 10．【教材改编·沪科版九年级下册】已知双曲线 的图象经过点 ，抛物线 与它的图象交于点 和另一点 ． （1）求 的值； （2）求点 的坐标； （3）判断点 是否也是这两个函数图象的交点． 11．【2025杭州期中·顶点与交点】已知抛物线 与双曲线 的图象交于点 和点 ． （1）求 的值； （2）求点 的坐标； （3）若抛物线的顶点为 ，判断点 是否在双曲线上． 12．【原创·顶点在双曲线上模型】已知抛物线 与双曲线 的图象交于点 ，且抛物线与 轴交于点 ． （1）求 、 的值； （2）求两图象的另外两个交点坐标； （3）求抛物线顶点的坐标，并判断顶点是否在双曲线上． 专题4　变形方程不等式与图象翻折 13．【2025合肥中考类题·移项变形】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、． （1）把不等式 移项化为 的形式； （2）直接写出该不等式的解集； （3）直接写出不等式 的解集． 14．【教材改编·浙教版九年级上册】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、． （1）把不等式 化为与 比较的形式； （2）直接写出该不等式的解集； （3）直接写出不等式 的解集． 15．【2025长沙期末·图象翻折】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、．把抛物线沿 轴翻折得到抛物线 ，把双曲线沿 轴翻折得到双曲线 ． （1）判断翻折后两条新图象的交点横坐标与原交点横坐标的关系； （2）求翻折后两图象交点的坐标； （3）直接写出不等式 的解集． 16．【教材改编·人教九上第二十七章】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、． （1）把方程 的两边同时乘 ，化为整式方程； （2）由图象写出这个整式方程的根； （3）判断 是否为原方程的根，并说明为什么必须对 加以限制． 专题5　命题真假判断 17．【2025济南中考类题·命题真假】已知函数 与 的图象交于点 、、．判断下列命题的真假，并说明理由． （1）命题甲：“方程 有三个实数根．” （2）命题乙：“不等式 的解集中含有 ．” （3）命题丙：“当 时，抛物线始终位于双曲线上方．” 18．【教材改编·华东师大九下第26章】已知函数 与 的图象交于点 、、．判断下列命题的真假，并说明理由． （1）命题甲：“当 时，．” （2）命题乙：“不等式 的解集为 ．” （3）命题丙：“方程 的所有根之积为 ．” 19．【2025广州期末·函数值比较】已知函数 与 的图象交于点 、、．判断下列命题的真假，并说明理由． （1）命题甲：“当 时，．” （2）命题乙：“当 时，．” （3）命题丙：“若 ，则 ．” 20．【原创·正负根分布命题】已知函数 与 的图象交于点 、、．判断下列命题的真假，并说明理由． （1）命题甲：“方程 有两个正根和一个负根．” （2）命题乙：“不等式 的解集中含有 ．” （3）命题丙：“当 时，．” 专题6　图象法与代数法的互验及综合探究 21．【2025郑州中考类题·代数互验】已知函数 与 的图象交于点 、、． （1）用图象法写出方程 的三个根； （2）用代数法（因式分解）验证这三个根； （3）探究：把双曲线改为 （）．已知 时方程的根为 、、，判断 时方程是否仍有三个根，并说明理由． 22．【教材改编·北师大九下第二章】已知函数 与 的图象交于点 、、． （1）用图象法写出不等式 的解集； （2）用代数法（符号分析）验证（1）中的解集； （3）若点 在抛物线上，点 在双曲线上，且 ，求 的取值范围． 23．【2025西安期末·根与系数关系】已知函数 与 的图象交于点 、、． （1）用图象法写出方程 的根； （2）用代数法验证这些根； （3）若直线 与抛物线交于两点，且这两点的横坐标之积为 ，求 的值，并求此时直线与双曲线 的交点横坐标． 24．【原创·水平线与交点个数探究】已知函数 与 的图象交于点 、、． （1）写出方程 的根； （2）写出不等式 的解集； （3）若直线 与两图象恰有三个公共点，且 为整数、，求 的值． 参考答案 1．解：（1） 点 的横坐标为 ，且在抛物线 上， ，即点 的坐标为 ． （2）联立两函数解析式得 ． ，两边同乘 得 ，即 ． 分组分解：，． 或 或 ． 当 时，；当 时，． 点 ，点 ． （3）由（2）知两图象交点的横坐标为 、、， 方程 的解为 ，，． 2．解：（1） 当 时，抛物线 ，双曲线 ， 点 同时在抛物线与双曲线上，即 是两图象的交点． （2）联立得 ，两边同乘 （）得 ， 即 ． 分组分解：，． 或 或 ． 当 时，，此时双曲线 ，成立； 当 时，，此时双曲线 ，成立． 点 ，点 ． （3）方程 的解为 ，，． 3．解：（1）当 时，， 点 的坐标为 ． 验证：双曲线在 时 ，与抛物线上的点重合． （2）联立得 ，两边同乘 （）得 ． 当 时，， 是多项式的一个因式． 分组分解：． 或 或 ． 当 时，；当 时，． 点 ，点 ． （3）方程 的解为 ，，． 4．解：（1）当 时，， 点 的坐标为 ． 验证：双曲线在 时 ，与抛物线上该点重合． （2）联立得 ，两边同乘 （）得 ． 当 时，， 是多项式的一个因式． 分组分解：． 或 或 ． 当 时，；当 时，． 点 ，点 ． （3）三个根按从小到大排列为 ． 5．解：（1）不等式 即抛物线位于双曲线下方， 由图象可知，解集为 或 ． （2）不等式 即抛物线位于双曲线上方， 由图象可知，解集为 或 或 ． （3）由（1）知不等式的解集为 或 ； 结合 ，得 的取值范围为 ． 6．解：（1）不等式 即抛物线位于双曲线下方， 由图象可知，解集为 或 ． （2）不等式 即抛物线位于双曲线上方， 由图象可知，解集为 或 或 ． （3）由（2）知不等式的解集为 或 或 ； 结合 ，得 的取值范围为 ． 7．解：（1）不等式 即抛物线位于双曲线下方， 由图象可知，解集为 或 ． （2）不等式 即抛物线位于双曲线上方， 由图象可知，解集为 或 或 ． （3）由（1）知解集为 或 ； 结合 ，得 的取值范围为 ． 8．解：（1）不等式 即抛物线位于双曲线下方， 由图象可知，解集为 或 ． （2）不等式 即抛物线位于双曲线上方， 由图象可知，解集为 或 或 ． （3）把 代入 得 ，即 ； 把 代入得 ，即 ，两者一致，． 此时方程为 ，即 ， 分解得 ， 该方程还有第三个根 ． 9．解：（1） 点 在双曲线 上，． 验证：点 满足 ， 点 也在该双曲线上． （2） 点 、 都在抛物线 上， 两式相减得 ，． 把 代入 得 ． ，． （3）此时抛物线为 ，双曲线为 ． 联立得 ，分组分解得 ， 或 或 ． 当 时，， 第三个交点的坐标为 ． 10．解：（1） 双曲线 经过点 ，． 双曲线的解析式为 ． （2）联立 ，两边同乘 （）得 ． 分组分解：． 或 或 ． 点 的横坐标为 ， 点 的横坐标为 或 ． 当 时，，即点 ． （3）当 时，抛物线 ，双曲线 ， 点 也是这两个函数图象的交点． 11．解：（1） 点 在双曲线 上，． 双曲线的解析式为 ． （2）联立 ，两边同乘 （）得 ． 分组分解：． 或 或 ． 点 的横坐标为 ， 图象的另外两个交点的横坐标为 和 ． 当 时，， 点 ； 当 时，， 点 ． 取点 ． （3）抛物线 的顶点横坐标为 ，纵坐标为 ， 顶点 ，与点 重合． 点 在双曲线上， 点 在双曲线上． 12．解：（1） 抛物线经过点 和点 ， 把 代入 得 ． ，． （2）此时抛物线为 ，与双曲线 联立得 ，分组分解得 ， 或 或 ． 当 时，， 点 ； 当 时，， 点 ． （3）抛物线 的顶点横坐标为 ，纵坐标为 ， 顶点坐标为 ． 当 时，双曲线 ， 抛物线的顶点在双曲线上． 13．解：（1）在不等式 的两边同时减去 ，得 ． （2）由图象可知，抛物线位于双曲线下方时对应的自变量取值范围为 或 ， 原不等式的解集为 且 ． （3）不等式 两边同时减去 得 ， 由图象可知其解集为 或 或 ． 14．解：（1）不等式 可变形为 ， 即把右边化为 的形式． （2）由图象可知，抛物线位于双曲线下方时对应的自变量取值范围为 或 ， 原不等式的解集为 或 ． （3）不等式 两边同时减去 得 ， 由（2）知其解集为 或 ． 15．解：（1）抛物线沿 轴翻折后为 ，双曲线沿 轴翻折后为 ． 两新图象的交点满足 ，两边同乘 （）得 ，即 ， 与翻折前所得方程完全相同， 翻折后两图象交点的横坐标与原交点横坐标相同． （2）由 得 、、． 当 时，， 点 ； 当 时，， 点 ； 当 时，， 点 ． （3）由图象可知，新抛物线位于新双曲线下方时， 解集为 或 或 或 ． 16．解：（1），在方程 的两边同时乘 得 ，即 ． （2）由图象可知，抛物线与双曲线交点的横坐标为 、、， 整式方程 的根为 ，，． 验证：， 令其为零恰得上述三个根． （3） 不是原方程的根．理由如下： 反比例函数 中自变量 ， 当 时该函数无意义， 不在原方程的定义域内． 在化整式方程时必须对 加以限制，否则会把不属于原方程的根引入． 17．解：（1）命题甲是真命题．理由如下： 两图象有三个交点，横坐标分别为 、、， 方程 有三个实数根 、、． （2）命题乙是假命题．理由如下： 当 时，抛物线 ，双曲线 ． ， 此时抛物线位于双曲线下方， 不在不等式 的解集中． （3）命题丙是真命题．理由如下： 由（1）中图象可知，当 时抛物线位于双曲线上方， 例如取 ：抛物线 ，双曲线 ， ， 命题丙成立． 18．解：（1）命题甲是真命题．理由如下： 由图象可知，在 范围内抛物线位于双曲线上方， 取 验证：抛物线 ，双曲线 ， ， 命题甲成立． （2）命题乙是假命题．理由如下： 由图象可知， 的解集应为 或 ， 命题乙漏掉了 这一段， 命题乙不成立． （3）命题丙是假命题．理由如下： 方程的三个根为 、、， 它们的积为 ， 命题丙不成立． 19．解：（1）命题甲是真命题．理由如下： 由图象可知，当 时抛物线位于双曲线上方， 取 验证：抛物线 ，双曲线 ， ， 命题甲成立． （2）命题乙是假命题．理由如下： 取 验证：抛物线 ，双曲线 ， ， 此时抛物线位于双曲线上方，命题乙不成立． （3）命题丙是假命题．理由如下： 不等式 可化为 ， 由图象知其解集为 或 ， 命题丙遗漏了 这一段， 命题丙不成立． 20．解：（1）命题甲是真命题．理由如下： 方程的三个根为 、、， 正根有 和 两个，负根有 一个，命题甲成立． （2）命题乙是假命题．理由如下： 取 验证：抛物线 ，双曲线 ， ， 此时抛物线位于双曲线上方， 不在不等式 的解集中． （3）命题丙是真命题．理由如下： 取 验证：抛物线 ，双曲线 ， ， 此时抛物线位于双曲线下方，命题丙成立． 21．解：（1）由图象可知，两图象交点的横坐标即为方程的根， 方程的根为 ，，． （2）代数验证：由 得 （）． 分组分解：，， ， 或 或 ． 与图象法所得结果一致． （3）当 时方程仍有三个根．理由如下： 时方程为 ，两边同乘 （）得 ． 当 时，， 是多项式的一个因式． 分解得 ． 令 ，， 或 ， 时方程仍有三个根． 22．解：（1）由图象可知，抛物线位于双曲线上方时， 解集为 或 或 ． （2）代数验证：不等式即 ， 通分得 ，即 ． 当 时，因式 、、、 的符号依次为负、负、负、负，商为正，满足； 当 时，符号依次为正、负、负、负，商为负，不满足； 当 时，符号依次为正、负、负、正，商为正，满足； 当 时，符号依次为正、正、负、正，商为负，不满足； 当 时，四个因式均为正，商为正，满足． 与图象法所得解集一致． （3）由（1）知 的取值范围为 或 或 ． 23．解：（1）由图象可知，方程的根为 ，，． （2）代数验证：由 得 （）． 分组分解：， ， 或 或 ，与图象法一致． （3）设两交点的横坐标为 、，它们是方程 的两根． 整理得 ，由根与系数的关系得 ． ，，解得 ． 检验：， 此时直线与抛物线确有两个交点． 此时直线为 ，与双曲线 的交点满足 ，解得 ， 直线与双曲线的交点横坐标为 ． 24．解：（1）由图象可知，方程的根为 ，，． （2）由图象可知，抛物线位于双曲线下方时， 解集为 或 ． （3）直线 与双曲线 的公共点满足 ，解得 （）， 直线与双曲线恰有一个公共点 ． 直线 与抛物线 的公共点个数由方程 的判别式决定， ． 要使公共点总数为 个，需 且两处公共点互不重合， 且 ． 又当 时， 得 或 ，与双曲线公共点 重合，总数为 个； 当 时， 得 或 ，与双曲线公共点 重合，总数为 个； 当 时，，与抛物线只有一个公共点且与双曲线公共点重合，总数为 个． 且 、、． 为整数且 ， 符合条件的是 ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $