4.4一次函数的应用教学设计-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

4.4 一次函数的应用（教学设计） 课题 4.4 一次函数的应用 单元 第四章 一次函数（4.4 一次函数的应用 共2课时） 学科 初中数学（北师大版） 年级 八年级 学习目标 1、经历用待定系数法由图象上的已知点确定一次函数表达式的过程，理解正比例函数只需一个条件、一次函数需要两个条件； 2、能根据实际问题的图象或数据，求出一次函数表达式，并利用表达式解决求函数值、求自变量、求交点等问题； 3、理解“一次函数 y＝kx＋b 的函数值为 0 时，自变量的值就是方程 kx＋b＝0 的解”，初步体会函数与方程的联系； 4、能利用一次函数的图象分析盈亏、追及、方案选择等实际问题，发展数形结合和分析解决问题的能力； 5、【核心素养】在用一次函数刻画和解决实际问题的过程中，发展模型观念、几何直观与应用意识。 教材分析 1、内容地位：本节是第四章的应用与提升课，在学生已经会写一次函数表达式（4.2）、会画一次函数图象（4.3）的基础上，反过来由图象、数据求表达式并解决实际问题，是数形结合思想的集中体现，也为后续用函数观点看方程与不等式奠定基础。 2、编写思路：教材以“物体沿光滑斜坡下滑”的 v—t 图象引入，由图象上的两个点（0，0）、（2，5）求出 v＝2.5t；接着通过“思考·交流”得出“确定正比例函数需要一个条件、确定一次函数需要两个条件”，引出待定系数法；然后通过弹簧（例1）、蜡烛（尝试·思考）、摩托车油量、水库蓄水量（例2）、成本与利润、景区追及（例3）等一系列真实情境，训练由图列式、由式求值、由交点定方案的能力；最后归纳“一次函数值为 0 即对应方程的解”。 3、课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生能根据已知条件确定一次函数的表达式，能用一次函数解决简单实际问题，体会一次函数与二元一次方程的关系。 4、前后联系：本节把前三节的函数概念、一次函数表达式、图象知识综合用于解决实际问题，是本章的落脚点，也是高中函数应用和方程与函数关系学习的起点。 学情分析 1、已有基础：学生已熟练掌握一次函数 y＝kx＋b 的表达式与图象，会由 k、b 判断图象特征，会用两点法画直线；在4.3已会由图象上一点求正比例函数 y＝3x。 2、主要障碍： （1）不理解“为什么正比例只要一个点、一次函数要两个点”，需要从“k、b 两个未知数”的角度讲清待定系数法； （2）读图象时不能准确把“横、纵坐标”翻译成实际数据； （3）求交点、求盈亏、求追及时，不习惯把两条直线的表达式联立； （4）对“函数值为 0 即方程的解”这一数形联系缺乏自觉。 3、教学策略：以“由图上两点列方程组 → 解出 k、b → 写表达式 → 用表达式解决问题”为主线，让学生在弹簧、水库、追及等真实情境中反复走“数—形—用”的完整过程。 教学重点 用待定系数法由图象上的已知点求一次函数表达式；利用一次函数的图象和表达式解决实际问题。 教学难点 理解待定系数法中“正比例一个条件、一次函数两个条件”的道理；由两条直线的交点分析盈亏、追及等方案问题；理解函数值为 0 与方程 kx＋b＝0 的解的对应关系。 教学准备 多媒体课件（PPT）；坐标纸、直尺（每两人一套）；彩色铅笔；学习任务单。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【情境引入：物体沿斜坡下滑（图4-7）】 教师：如图4-7，一个物体沿一个光滑的斜坡下滑，速度 v（单位：m/s）与下滑时间 t（单位：s）的关系如图所示，图象是一条过原点的直线，并且经过点（2，5）。 教师：（1）你能根据图象求出 v 与 t 之间的关系式吗？（2）下滑 3 s 时物体的速度是多少？ 学生：图象是过原点的直线，所以 v 是 t 的正比例函数，设 v＝kt；把（2，5）代入，5＝2k，k＝2.5，所以v＝2.5t；t＝3 时 v＝2.5×3＝7.5 m/s。 教师：这个情境中，物体沿光滑斜坡下滑，速度是均匀增加的，所以 v 是 t 的正比例函数。请同学们想一想：如果图象不是一条过原点的直线，而是与 y 轴交于某一点的直线，我们还能不能用同样的方法求它的表达式？ 学生：只要再找图象上另一个点，就能多列出一个方程，从而把另一个未知的常数求出来。 教师：很好！这正是我们这节课要重点学习的待定系数法。 教师：这里我们只用到了图象上的一个点（2，5）就求出了正比例函数。如果图象是一条不过原点的直线，又需要几个点才能确定它的表达式呢？今天我们就来研究一次函数的应用。（板书课题：4.4 一次函数的应用） 1、由图象上的点（2，5）求出正比例函数 v＝2.5t； 2、由表达式求 t＝3 时的速度； 3、思考“确定一条不过原点的直线需要几个点”。 以斜坡下滑的正比例图象引入，复习“由一点定正比例”，并自然抛出“一次函数需要几个点”的核心问题，为待定系数法作铺垫。 探究 新知 探究 新知 探究 新知 【活动一：思考·交流——待定系数法（例1 弹簧）】 教师：（思考·交流）确定一个正比例函数的表达式需要几个条件？确定一个一次函数的表达式呢？ 学生：正比例函数 y＝kx 只有一个待定系数 k，所以只要一个条件（一个点）；一次函数 y＝kx＋b 有两个待定系数 k 和 b，所以需要两个条件（两个点）。 教师：先设出函数表达式中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法。 教师：（例1）在弹性限度内，某弹簧的长度 y（单位：cm）是所挂物体质量 x（单位：kg）的一次函数。当不挂物体时，弹簧长 14.5 cm；当挂 3 kg 物体时，弹簧长 16 cm。 （1）写出 y 与 x 之间的关系式；（2）当所挂物体质量为 4 kg 时，弹簧的长度是多少？ 【解】（1）设 y＝kx＋b。不挂物体即 x＝0 时 y＝14.5，得b＝14.5；挂 3 kg 时 y＝16，即 16＝3k＋14.5，解得k＝0.5。所以y＝0.5x＋14.5。 （2）x＝4 时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5 cm。 教师（归纳待定系数法步骤）：先设 y＝kx＋b → 代入已知点得关于 k、b 的方程（组）→ 解出 k、b → 写出表达式。 1、理解正比例要一个条件、一次函数要两个条件； 2、学习待定系数法的四个步骤； 3、用待定系数法求弹簧 y＝0.5x＋14.5 并求值。 通过弹簧问题完整经历待定系数法，把“图象上的两个点”翻译成“两个方程”，让学生掌握求一次函数表达式的通法，落实模型观念。 【活动二：尝试·思考（燃烧的蜡烛）与摩托车油量】 教师：（尝试·思考）一根蜡烛点燃前长 30 cm，点燃 2 h 后剩余长度为 18 cm。设点燃 x h 后蜡烛剩余长度为 y cm，写出 y 与 x 的关系式，并求这根蜡烛燃尽所用的时间。 学生：设 y＝kx＋b；x＝0 时 y＝30，得b＝30；x＝2 时 y＝18，即 18＝2k＋30，解得k＝－6，所以y＝－6x＋30。燃尽即 y＝0，0＝－6x＋30，x＝5 h。 教师：再看摩托车油箱问题（图4-8）：图象是一条直线，经过点（0，10）和（500，0）。 教师：（1）图象与 y 轴交点（0，10）说明油箱原有多少升油？（2）与 x 轴交点（500，0）说明一箱油可行驶多少千米？（3）摩托车每行驶 100 km 耗油多少升？（4）剩余油量少于 1 L 时报警，行驶多少千米后报警？ 学生：（1）（0，10）说明油箱原有 10 L；（2）（500，0）说明一箱油可行驶 500 km；（3）先求表达式：设 y＝kx＋10，把（500，0）代入 0＝500k＋10，k＝－0.02，故 y＝－0.02x＋10；每 100 km 耗油 0.02×100＝2 L；（4）令 y＝1，1＝－0.02x＋10，x＝450 km，即行驶 450 km 后报警。 1、用待定系数法求蜡烛 y＝－6x＋30 并求燃尽时间； 2、读摩托车油量图象的两个交点； 3、由图象上两点求 y＝－0.02x＋10，并解决每 100 km 耗油量和报警里程问题。 蜡烛与摩托车两个情境把“求表达式”与“由表达式求值、求自变量”结合起来，让学生反复走待定系数法的完整过程，并体会 k＜0 的一次函数在实际中的意义。 【活动三：例2 水库蓄水量与成本利润（函数值为0即方程解）】 教师：（例2）某水库蓄水量 V（单位：万 m³）随干旱持续时间 t（单位：天）变化的图象如图4-9，是一条直线，经过点（0，1200）和（10，1000）。 教师：（1）图象与 y 轴交点（0，1200）说明什么？（2）求 V 与 t 的关系式，并估计干旱 23 天时的蓄水量；（3）蓄水量小于 400 万 m³ 时发出严重干旱警报，持续多少天后发出警报？水库干涸需持续多少天？ 学生：（1）（0，1200）说明干旱开始时蓄水量为 1200 万 m³；（2）设 V＝kt＋1200，把（10，1000）代入 1000＝10k＋1200，k＝－20，故V＝－20t＋1200；t＝23 时 V＝－20×23＋1200＝740 万 m³；（3）令 V＝400，400＝－20t＋1200，t＝40 天；令 V＝0，0＝－20t＋1200，t＝60 天，即持续 60 天水库干涸。 教师（归纳）：一次函数 y＝kx＋b 的函数值为 0 时，对应的自变量值就是方程 kx＋b＝0 的解；反映在图象上，就是直线与 x 轴交点的横坐标。 教师：再看某公司销售收入 l1 和成本 l2 随产量 x（单位：千件）变化的图象（图4-10），l1 过（0，0）、（4，4000），l2 过（0，2000）、（4，4000）。 学生：l1＝1000x，l2＝500x＋2000；产量为 2 千件时收入 2000 元、成本 3000 元（亏损）；产量为 6 千件时收入 6000 元、成本 5000 元（赢利）；两直线交于（4，4000），即产量为 4 千件时不亏不盈；产量大于 4 千件赢利，小于 4 千件亏损；若要赢利 1000 元，则 1000x－（500x＋2000）＝1000，x＝6 千件。 1、由图象上两点求 V＝－20t＋1200； 2、由 V＝400、V＝0 求对应的 t，理解函数值为 0 即方程解； 3、读成本利润图象，求两直线交点并分析盈亏。 水库情境落实“函数值为 0 即方程解”的数形联系，成本利润情境让学生通过两直线交点分析盈亏，把一次函数应用提升到方案决策层面。 例题 精讲 【例3：景区追及问题（图4-11、图4-12）规范解答】 教师：甲、乙两人先后从某景区观景台1出发，沿同一路线前往观景台2、观景台3。l1、l2 分别表示甲、乙两人到起点的距离 s（单位：m）与时间 t（单位：min）的关系。l1 经过（0，0）、（20，1000），l2 经过（0，800）、（20，1400）。 【解】（1）求 l1、l2 的表达式：l1 过原点，设 s＝k1t，把（20，1000）代入得 1000＝20k1，k1＝50，所以s甲＝50t；l2 不过原点，设 s＝k2t＋b，把（0，800）代入得b＝800，把（20，1400）代入得 1400＝20k2＋800，k2＝30，所以s乙＝800＋30t。 （2）甲、乙两人的速度分别是多少？甲出发 30 min 时追上乙了吗？ 甲的速度为 50 m/min，乙的速度为 30 m/min。t＝30 时 s甲＝50×30＝1500 m，s乙＝800＋30×30＝1700 m，1500＜1700，所以甲出发 30 min 时还没有追上乙。 （3）甲出发多长时间追上乙？此时离起点多远？ 令 s甲＝s乙，即 50t＝800＋30t，解得t＝40 min，s＝50×40＝2000 m。即甲出发 40 min 后追上乙，此时离起点 2000 m。 （4）若观景台3距观景台1为 800＋1300＝2100 m，甲在到达观景台3前追上乙了吗？ 因为追及时 s＝2000 m＜2100 m，所以甲在到达观景台3之前就追上了乙。 教师强调：追及问题的关键是“令两条直线表达式相等，解出 t”，这个 t 就是追及时间，对应的 s 就是追及地点。 教师追问：如果乙比甲晚出发 10 min，两条直线的表达式又会怎样变化？追及时间会提前还是推迟？ 学生：乙晚出发 10 min，相当于乙的直线整体向右平移，同样的 s 对应的 t 变大，追及时间会推迟。 教师：很好，这说明 b 的实际意义（初始距离）直接影响追及结果，数形结合能帮助我们快速判断。 1、由图象上的点分别求出 s甲＝50t、s乙＝800＋30t； 2、由 k 的值读出两人速度； 3、用“令两表达式相等”的方法求追及时间和追及地点； 4、结合实际距离判断追及位置。 用教材追及例题把待定系数法、读斜率（速度）、两直线交点（追及）综合起来，是一次函数应用的典型问题，训练学生数形结合分析动态过程的能力。 巩固 练习 【随堂练习（教材第98—100页）】 1、一个正比例函数的图象是过原点的直线 l，判断点 A（－4，12）、B（3，－9）是否在这条直线上。 【答案】设 y＝kx，把 A（－4，12）代入 12＝－4k，k＝－3，所以y＝－3x；检验 B（3，－9）：x＝3 时 y＝－9，点 B 在该直线上。 2、一次函数 y＝2x＋b 的图象经过点 A（－1，1）。求 b；并判断点 B（1，5）、C（－10，－17）、D（10，17）是否在该图象上。 【答案】把 A（－1，1）代入，1＝2×（－1）＋b，得b＝3，所以 y＝2x＋3；B（1，5）：2×1＋3＝5，在；C（－10，－17）：2×（－10）＋3＝－17，在；D（10，17）：2×10＋3＝23≠17，不在。 3、某植物栽下后高度 h（单位：cm）与生长时间 t（单位：天）成一次函数关系，图象过（0，3）和（10，10）。（1）刚栽下时高多少？（2）生长 10 天、4 天时高多少？（3）长到 8 cm、17 cm 各需多少天？ 【答案】设 h＝kt＋3，把（10，10）代入 10＝10k＋3，k＝0.7，故h＝0.7t＋3；（1）刚栽下即 t＝0 时 h＝3 cm；（2）t＝10 时 h＝10 cm，t＝4 时 h＝0.7×4＋3＝5.8 cm；（3）令 h＝8，8＝0.7t＋3，t≈7.1 天；令 h＝17，17＝0.7t＋3，t＝20 天。 【补充练习】 4、（教材第102页 习题4.4 知识技能第2题）某直线 l 经过点（0，1）和（3，－3），求 l 的表达式，并求它与两坐标轴围成的三角形面积。 【答案】设 y＝kx＋1，把（3，－3）代入 －3＝3k＋1，k＝－4/3，故y＝－4/3 x＋1；与 y 轴交于（0，1），令 y＝0 得 x＝3/4，与 x 轴交于（3/4，0），围成的三角形面积为 1/2×1×3/4＝3/8。 5、（教材第103页 习题4.4 问题解决第8题）某电热水器水温 y（单位：°C）与通电时间 x（单位：min）成一次函数关系，开始通电时水温为 28°C，通电 5 min 后水温为 38°C。求表达式；水温达到 50°C 还需通电多少分钟？ 【答案】设 y＝kx＋28，把（5，38）代入 38＝5k＋28，k＝2，故y＝2x＋28；令 y＝50，50＝2x＋28，x＝11 min；已通电 5 min，还需 6 min。 教师：以上各题，哪些是用一个条件就求出表达式的？哪些必须用两个条件？ 学生：第1题正比例函数只用了一个点 A（－4，12）；其余各题都是一次函数，用了两个点（或一个点加 b 的实际意义）才能求出 k 和 b。 教师：对！判断需要几个条件，关键看表达式里有几个待定系数：正比例只有 k 一个待定系数，一次函数有 k、b 两个待定系数。 1、由一点求正比例 y＝－3x 并检验另一点； 2、由一点求 b＝3 并判断多个点是否在直线上； 3、由两点求植物 h＝0.7t＋3 并正、反向求值； 4、求直线 y＝－4/3x＋1 及与坐标轴围成的三角形面积； 5、用待定系数法求热水器 y＝2x＋28 并求升温时间。 随堂练习覆盖“一点定正比例、一点定 b、两点定一次函数、由表达式判断点、由图象数据求实际问题”五类题型，与例题精讲形成讲练对应，所有数据均来自教材。 课堂 小结 教师引导学生完成知识梳理： 一、待定系数法：正比例 y＝kx 只要一个条件；一次函数 y＝kx＋b 需要两个条件；先设式 → 代入点得方程（组）→ 解 k、b → 写表达式； 二、数形联系：一次函数 y＝kx＋b 函数值为 0 时，自变量的值即方程 kx＋b＝0 的解，也就是直线与 x 轴交点的横坐标； 三、应用类型：由图象求表达式（弹簧、蜡烛、水库）、由表达式求值求自变量（摩托车、植物、热水器）、由两直线交点分析盈亏与追及（成本利润、景区追及）； 四、思想方法：数形结合——以图象看趋势、以表达式算精确； 五、易错提醒：设表达式时不要漏写 b；代入点时横、纵坐标不要弄反；令两直线相等求交点时，要先把两个表达式分别求出再联立。 1、对照板书口述待定系数法的步骤； 2、说出“函数值为 0 即方程解”的数形联系； 3、举一个生活中用一次函数解决的问题。 以“待定系数法—数形联系—应用类型—思想方法”为主线梳理全课，使弹簧、水库、追及等情境统一到一次函数的数形结合上，完成本章的应用闭环。 布置 作业 【分层作业】 1、基础题：教材第102页 习题4.4 知识技能第1题——正比例函数图象过 A（－2，3）、B（a，－3），求表达式并求 a。 2、基础题：教材第102页 习题4.4 知识技能第2题——求过（0，1）、（3，－3）的直线表达式及与坐标轴围成的三角形面积。 3、实践题：教材第103页 习题4.4 问题解决第5题——某汽车离开 A 地的距离 y（单位：km）与时间 t（单位：h）成一次函数，图象过（0，30）、（1，90），求 k，并求汽车在出发后 1 h 至 3 h 之间行驶的路程。 4、拓展题：教材第103页 习题4.4 问题解决第7题——上抛物体速度 v 与时间 t 成一次函数，初速度 25 m/s，2 s 后速度为 5 m/s，求表达式并求物体到达最高点（v＝0）的时间。 5、复习：回顾全章，整理一次函数的概念、图象、性质与应用的知识结构图。 1、记录作业要求； 2、实践题把待定系数法用于汽车行程问题； 3、拓展题在“速度减到 0”中体会函数值为 0 即方程解。 作业分层设计：基础题巩固待定系数法，实践题把方法迁移到汽车行程，拓展题强化函数与方程的联系，复习题为全章知识梳理作准备。 板书 设计 4.4 一次函数的应用 一、待定系数法：一点定正比例 y＝kx；两点定一次函数 y＝kx＋b 二、步骤：设式 → 代入点 → 解 k、b → 写表达式 三、数形联系：y＝0 ⇔ kx＋b＝0 的解 ⇔ 直线与 x 轴交点横坐标 四、例：弹簧 y＝0.5x＋14.5；蜡烛 y＝－6x＋30；水库 V＝－20t＋1200 五、应用：成本利润交点（4，4000）；追及 s甲＝50t、s乙＝800＋30t，交点 t＝40 （副板书：待定系数法解题流程示意） 对照板书梳理知识结构。 板书以“方法—步骤—数形联系—典型例题”为纲，突出待定系数法和函数与方程的联系，副板书呈现解题流程帮助学生规范书写。 教学 反思 1、成功之处：以斜坡下滑、弹簧、蜡烛、水库、成本利润、景区追及一串真实情境贯穿全课，学生在“由图上两点列方程组、解 k、b”中熟练掌握了待定系数法；通过水库“令 V＝0”和成本利润“令两式相等”两个问题，学生对函数与方程、交点与方案的数形联系理解得比较到位。 2、不足之处：部分学生读图象时把横、纵坐标弄反；求追及时间时不习惯“令两表达式相等”，仍靠目测；少数学生对 b 的实际意义（初始量）解释不清。 3、改进设想：读图象前先要求学生把每个点的坐标写出来再翻译实际意义；追及问题增加“两条直线何时相交”的专门训练；下一章用函数观点看二元一次方程组时，回扣本节“令两式相等求交点”，实现知识的迁移与深化。 课后对照教学目标，在任务单上完成自我反思。 教学反思聚焦“读图标点”和“令两式相等求交点”两个易错点，并提出可操作的改进措施，为后续教学调整提供依据。 学科网（北京）股份有限公司 $