浙江高三数学上学期课时作业（人教A版选择性必修第一册第三章3.2）

双曲线的几何性质 课时作业设计 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 《双曲线的几何性质》课时作业设计 学段学科 高中 · 数学 适用年级 高三年级（高三一轮复习） 教材版本 人教A版（2019）选择性必修第一册 对应内容 第三章 圆锥曲线的方程 · 3.2 双曲线（双曲线的几何性质；高三一轮复习） 作业类型 一轮复习课时作业 完成时长 总时长60分钟 设计者 【教师姓名】李梦月 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将双曲线的学习要求确定为“掌握双曲线的定义、标准方程和简单几何性质”。进入高三一轮复习阶段，该要求由新授课层面的“了解与初步掌握”提升为“系统梳理与综合运用”：学生须在圆锥曲线整体知识网络中厘清双曲线与椭圆、抛物线的联系与区别，能灵活运用定义（含统一定义）与几何性质解决距离、弦长、面积、离心率等综合问题；作业设计同时指向数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的落地，并与高考“基础性、综合性、应用性、创新性”的考查要求相衔接。 · 教材地位：双曲线是高中解析几何的核心内容之一，位于人教A版选择性必修第一册“圆锥曲线的方程”一章。在一轮复习中，该专题处于“解析几何”板块知识网络化的关键节点：双曲线的定义、标准方程与几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）与椭圆构成“对比—迁移”的知识结构，是高考选择、填空题中离心率与渐近线的常考载体，也是解答题中直线与圆锥曲线位置关系综合考查的重要背景，承担着复习巩固、查漏补缺与能力提升三重功能。 · 教学重难点：一轮复习中本专题的重点是双曲线定义（第一定义与统一定义）的灵活应用、几何性质的系统梳理，以及焦点三角形、焦半径、渐近线、离心率等核心结论的熟练运用。难点有二：其一，椭圆与双曲线相关结论的辨析区分，避免公式错用、符号混淆；其二，直线与双曲线位置关系中的中点弦、焦点弦问题，求解时易忽视判别式检验与“弦中点是否存在”的约束条件。本作业据此分层设题，逐项突破。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已于高二新授课阶段系统学习双曲线的定义、标准方程与几何性质，进入一轮复习后开始进行知识梳理与网络重建，能够将双曲线与椭圆初步对比，具备基本的代数运算与数形结合能力，对焦点三角形、渐近线等高频结论有一定的记忆储备。 现有困惑 一轮复习中暴露的典型困惑：一是椭圆与双曲线的焦点三角形、焦半径结论易混淆，公式与条件记忆模糊；二是容易忽略双曲线“两支”“范围”“渐近线”等特有的约束条件，如直线与双曲线相交须检验判别式、中点弦须检验中点是否落在可行区域内；三是离心率与渐近线关系的转化不灵活，统一定义（第二定义）运用生疏；四是综合运算中过程不规范、缺乏检验意识。 差异分析 一轮复习班级内学情差异明显：基础层学生需回归定义与基本性质，优先保证基础题（如第1、2、3、10题）的正确率与书写规范；发展层学生应掌握焦半径、弦长、中点弦等中档综合问题（如第5、6、11、12题），提升运算效率；优秀层学生可挑战多选题压轴与解答题中的创新综合、定值问题（如第7、8、9、13、14题），并尝试一题多解与最优解法的提炼。 3. 设计意图 本作业立足高三一轮复习“回归基础、建构网络、查漏补缺”的定位，以双曲线的几何性质为载体，围绕焦点三角形、焦半径、渐近线、离心率与直线和双曲线的位置关系设计14道分层题目，按“基础巩固—综合运用—思维拓展”的梯度展开：前段题目侧重定义与性质的直接运用，检验基础知识是否扎实；中段题目聚焦焦半径、弦长、中点弦等核心方法与结论，强化代数运算的规范性；后段多选题与解答题指向离心率、取值范围、定值问题等高考热点，渗透数形结合、转化化归、分类讨论等数学思想。作业以多元题型落实数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养，既与高考命题方向（选择、填空高频考查离心率、渐近线与焦点三角形，解答题综合考查轨迹与直线位置关系）对接，也为教师精准诊断一轮复习学情、调整后续复习策略提供依据。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 识记、复述并辨别双曲线的定义、标准方程及 、b、c、e 的几何意义 数学抽象 正确率、概念复述 能力运用 B 运用定义法与公式法（焦点三角形面积、焦半径、中点弦性质）解决与双曲线有关的距离、面积、弦长问题 数学运算、逻辑推理 过程记录、方法选用 思维发展 C 综合运用数形结合与转化化归思想，分析双曲线的离心率、范围及多选、解答压轴题 逻辑推理、数学建模 论证思路、创意思维体现 情感态度 D 认同解析几何“以代数方法研究几何问题”的思想价值，养成严谨运算、规范书写、检验作答的习惯 数学运算 反思语、作品倾向 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 单选题 双曲线焦点三角形中求 A、B 考查双曲线定义与余弦定理，聚焦焦点三角形结论 4 2 单选题 过点的弦以为中点，求直线l的方程 B 中点弦性质（点差法）应用 3 单选题 焦点三角形角平分线交轴于A，求 A、B 定义、余弦定理与角平分线定理综合 4 单选题 渐近线上点A满足且|AF₁|=2|AF₂|，求离心率 C 数形结合与代数运算求离心率 5 单选题 过焦点F₁的弦满足，求弦长 B、C 角度焦半径公式的应用 6 单选题 焦半径比条件下求的取值范围 C 第二定义+换元+函数单调性 7 多选题 渐近线、离心率、斜率定值、面积关系的综合判断 C 双曲线几何性质综合应用 ACD 8 多选题 过焦点直线与双曲线交点的离心率、周长、弦长、中点综合 C 直线与双曲线位置关系综合 ABD 9 多选题 到两条渐近线与右准线距离的恒等式与最值 C 第二定义与基本不等式 BCD 10 填空题 双曲线焦点三角形面积 A 面积公式 11 填空题 焦半径与到定点距离之和的最小值 B 第二定义转化+三点共线 12 填空题 渐近线垂直平分线段求离心率 C 对称性与几何关系求 13 解答题 求动点轨迹（双曲线）并证切线围成三角形面积定值 C、D 定义法求轨迹+切线+面积定值 见答案解析 14 解答题 渐近线、焦点弦及向量比求方程与斜率 C 定义+联立+向量条件 见答案解析 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；学习目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 6、 试题详情 一、单选题 1．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，， 则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的左，右焦点分别为、，点在双曲线上，且， 的平分线交轴于点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5．已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（    ） A． B．9 C． D．6 6．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 7．双曲线的左，右顶点分别为，右焦点到渐近线的距离为为双曲线在第一象限上的点，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则为定值 D．若直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，且，则 8．记双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，则下列说法中正确的有（    ） A．双曲线的离心率是 B．若，则的周长为 C．存在四条不同直线使得 D．线段的中点坐标可能是 9．已知双曲线C：的右焦点为F，P是C右支上的动点，P到直线，和的距离分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知双曲线上一点M与两焦点所成的角，则的面积为________． 11．已知双曲线的右焦点为是双曲线右支上一点，定点，求的最小值为________． 12．已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第一象限内一点，若直线垂直平分线段，则双曲线的离心率为________． 四、解答题 13．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于两点，且的周长为16. (1)求的方程； (2)过作直线与交于两点，若，求直线的斜率． 学科网（北京）股份有限公司 7、 答案与解析 1. 【答案】B 【解析】方法一：本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得,又,由余弦定理，得， 方法二：，设,，利用双曲线焦点三角形面积公式：，，，故选B． 2．【答案】A 【解析】方法一：设，代入双曲线方程，可得，作差，因为点为线段的中点，所以 所以，即，所以直线的方程是，即， 经检验，直线满足题意. 方法二：由中点弦性质得：，，所以直线的方程是，即， 经检验，直线满足题意.故选：A. 3．【答案】B 【解析】  不妨设在双曲线的右支，且 由余弦定理：由双曲线方程：代入可得： 代入可得： 故选：B 4．【答案】B 【解析】在中，而，则，所以，故， 所以.故选：B 5． 【答案】C 【解析】 方法一：双曲线中，，，则， 根据对称性不妨设过的直线为，联立，可得，则 设，，则，，①由，可得， 即有，②由①②可得，，所以， 解得（负值已舍去），，所以． 方法二：根据对称性不妨设为下焦点，直线的倾斜角为，由带角度的焦半径公式： ，，由，可得，即有，所以 故选：C． 6．【答案】B 【解析】解：由双曲线的第二定义可知，， 右支上的点，满足，由，解得， 在右支上，可得，可得，即，则， 令，，可得 而在，单调递减，，，，故选：B 7．【答案】ACD 【解析】依题意，设，而双曲线的渐近线为，则点到渐近线的距离为，因此，， 对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确； 对于B，双曲线的离心率为，B错误； 对于C，显然，设，则，即， 所以为定值，C正确； 对于D，由，得是的中点，则，D正确.故选：ACD 8．【答案】ABD 【解析】对于A，由双曲线方程知：，，则， 双曲线的离心率，A正确；对于B，，，的周长为，B正确；对于C，当斜率不存在时，即时，；当斜率存在时，设，，， 由得：，且，则，，，解得：，即，方程为：；综上所述：存在三条不同的直线使得，C错误； 对于D，当直线斜率不存在时，线段中点为；当直线斜率存在时，由C知，若线段中点为设其为，则，解得：，当方程为时，线段的中点坐标为，D正确.故选：ABD 9．【答案】BCD 【解析】设点，则有，所以，，. 对于A，由双曲线的性质有，所以，故A错误； 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确； 对于D，，所以当PF垂直于时，有最小值为，故D正确.故选：BCD. 10．【答案】 【解析】 方法一：由，可得，，，， 又因为，所以，即， 由余弦定理得，解得, 所以， 方法二：利用双曲线焦点三角形面积公式：，故答案为： 11．【答案】. 【解析】由题意得，则，所以， 过点作垂直于双曲线的右准线，垂足为，设，则，即，所以显然，当三点共线时，取得最小值，为. 12．【答案】 【解析】，渐近线方程为，即，点到渐近线的距离为，直线垂直平分线段，所以， 故离心率为. 13．【答案】(1)(2)见详解 【解析】（1）根据题意得，则可得，将上式两边平方，得，整理得，所以，所以 （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得，所以切线方程为， 与联立得，与联立得，故. 14．【答案】(1)(2)或 【解析】（1）将代入，得， 所以，所以，所以由题得，， 所以双曲线的方程为. （2）方法一：由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立， 故直线的斜率存在，且不为0，设，，， 联立，则，且即， ，又，所以，所以， 所以由得，解得，故，故直线的斜率为或. 方法二：由知，直线交双曲线右支两点，直线的倾斜角为，由带角度的焦半径公式： ，，又，所以，化简得，又 ，，故直线的斜率为或. 学科网（北京）股份有限公司 $