26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质--教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 课题名称 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 二次函数y=ax²的图象和性质 内容解析 《二次函数y=ax²的图象和性质》是在学生已经学习了一次函数、正比例函数的图象和性质，以及二次函数的概念的基础上，进一步研究二次函数的图象和性质。本节课是二次函数这一章的起始课，也是学习二次函数图象和性质的第一课时，主要研究最简单的二次函数y=ax²的图象和性质。 从整个初中函数知识体系来看，本节课起着承上启下的作用：它既是对前面所学函数研究方法（描点法、数形结合）的延续和深化，又为后续学习一般二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质奠定基础。通过本节课的学习，学生将掌握研究函数的基本思路和方法，体会数形结合、分类讨论的数学思想。 目标与目标解析 单元整体目标 本章是在学生已经学习了一次函数、反比例函数等知识的基础上，进一步研究二次函数的图象、性质及其应用。本章的主要内容包括：二次函数的概念、二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的实际应用。二次函数是初中函数体系的重要组成部分，也是中考的重点和难点。 对应课标： ①会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。 ②通过实际问题分析数量关系和变化规律，体会二次函数是刻画现实世界数量关系的重要数学模型。 ③能根据已知条件确定二次函数的表达式。 ④理解二次函数与一元二次方程的关系。 ⑤能利用二次函数解决简单的实际问题。 课时目标 1.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，了解抛物线的有关概念（开口方向、对称轴、顶点）。（几何直观、运算能力） 2.通过观察图象，能归纳说出二次函数y=ax²的图象特征和性质，体会数形结合的思想方法。（抽象能力、推理能力） 3.经历从特殊到一般的探究过程，通过类比一次函数的研究方法，自主探究y=ax²的图象和性质，发展模型观念和应用意识。（模型观念） 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能独立用描点法画出y=x²的图象，并能正确说出抛物线、对称轴、顶点等概念。 达成目标2的标志是：学生能通过观察图象，说出a>0和a<0时抛物线的开口方向、增减性、最值等性质。 达成目标3的标志是：学生能类比一次函数的研究思路，自主探究a取不同值时图象的变化规律。 学情分析 已有的知识、认知水平 九年级学生已经学习了一次函数、正比例函数的概念、图象和性质，掌握了描点法画函数图象的基本步骤（列表、描点、连线），具备了一定的数形结合思想基础。学生在之前的学习中已经多次经历“画图象—观察图象—归纳性质”的函数研究过程，具有一定的类比学习能力和探究能力。从认知发展水平来看，九年级学生的抽象逻辑思维已经有了较大发展，能够进行初步的归纳和演绎推理。 困惑点或探索点 学生在画函数图象时，容易出现描点不精确、连线不光滑等问题；对抛物线的增减性理解可能不够深刻，特别是“在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大”这种分段增减性，学生容易混淆；对a的绝对值大小与开口宽窄的关系理解可能不够直观。 教学 重难点 教学重点 二次函数y=ax²的图象和性质。 教学难点 理解二次函数y=ax²的增减性，以及a的绝对值大小与抛物线开口宽窄的关系。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：二次函数是初中函数体系的核心内容，y=ax²是最简单的二次函数，学好本节课的内容是研究一般二次函数的基础，同时二次函数在实际生活中有着广泛的应用（如抛物线形拱桥、喷水池、投篮轨迹等）。 学什么：二次函数y=ax²的图象（抛物线）、对称轴、顶点坐标、开口方向、增减性、最值，以及a的取值对图象的影响。 怎么学：采用“类比旧知—描点画图—观察探究—归纳性质”的教学思路。先复习一次函数的研究方法，再引导学生用描点法画出y=x²的图象，通过观察图象归纳性质；然后小组合作探究a>0和a<0的不同情况，以及|a|大小对开口的影响。让学生在动手实践、自主探究、合作交流的过程中建构知识。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 创设情境 复习引入 师：我们已经学过哪些函数？它们的图象是什么形状？ 生：一次函数（包括正比例函数），图象是一条直线。 师：我们是怎么研究一次函数的？ 生：先画图象，再观察图象，归纳性质。 师：很好。研究函数的基本方法是“数形结合”——先画出函数图象，再通过图象研究性质。 师：今天我们来研究一种新的函数——二次函数。我们先从最简单的二次函数y=ax²开始。 问题：我们以前画函数图象的步骤是什么？ 生：列表、描点、连线。 师：对。今天我们就用描点法来画二次函数y=x²的图象。 学生能回忆起一次函数的图象和研究方法，能说出描点法的三个步骤。 学生能理解研究函数的基本思路：数形结合。 通过复习一次函数的研究方法，为类比学习二次函数的图象和性质做好铺垫。 通过创设问题情境，让学生明确本节课的研究思路和方法，激发学习兴趣。 概念探究 探究y=ax²的图象和性质 探究1：画二次函数y=x²的图象 师：请同学们用描点法画出y=x²的图象。 第一步：列表。 x | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... y=x² | ... | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | ... 第二步：在平面直角坐标系中描点。 第三步：用平滑的曲线连接这些点。 （学生动手画图，教师巡视指导。） 师：观察这个图象，它是什么形状的？ 生：它是一条曲线，关于y轴对称。 师：对。这条曲线我们叫它抛物线。 （教师展示y=x²的图象。） 师：大家观察图象，思考以下问题： （1）图象的对称轴是什么？ 生：y轴（也就是直线x=0）。 （2）图象的顶点在哪里？ 生：原点(0, 0)。 （3）图象的开口方向？ 生：向上。 （4）当x<0时，y随x的增大怎样变化？当x>0时呢？ 生：当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。 （5）函数有最大值还是最小值？在哪里取得？ 生：有最小值，当x=0时，y最小，最小值是0。 探究2：探究a>0时，不同a值对图象的影响 师：在同一坐标系中画出y=2x²和y=x²的图象，比较它们与y=x²的异同。 （学生分组画图，教师巡视。） 师：这三个图象有什么共同点？ 生1：开口都向上。 生2：对称轴都是y轴，顶点都是原点。 师：有什么不同点？ 生：开口大小不同，a越大，开口越小；a越小，开口越大。 （教师展示a>0时的对比图。） 探究3：探究a<0时的图象和性质 师：类比a>0的研究方法，大家猜想一下：如果a<0，比如y=-x²，它的图象是什么样的？ 生：开口应该向下。 师：请同学们画出y=-x²的图象，验证你的猜想。 （学生动手画图。） 师：y=-x²的图象有什么特征？ 生1：开口向下。 生2：对称轴还是y轴，顶点还是原点。 生3：当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小。 生4：有最大值，当x=0时，y最大，最大值是0。 （教师展示a<0的图象。） 归纳总结：二次函数y=ax²的性质 （1）图象：抛物线，对称轴是y轴（直线x=0），顶点是原点(0, 0)。 （2）当a>0时，开口向上，顶点是最低点；当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大；当x=0时，y有最小值0。 （3）当a<0时，开口向下，顶点是最高点；当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小；当x=0时，y有最大值0。 （4）|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 （教师展示a>0与a<0的对比图。） 学生能用描点法正确画出y=x²的图象。 学生能准确说出抛物线、对称轴、顶点的概念。 学生能通过观察图象，归纳出a>0和a<0时图象的特征和性质。 学生能理解|a|大小与开口宽窄的关系。 学生能积极参与小组讨论，自主探究不同a值对图象的影响。 通过让学生动手画y=x²的图象，经历描点法画函数图象的全过程，培养运算能力和几何直观。 通过观察图象，引导学生自主归纳抛物线的特征和性质，体现学生的主体地位，培养抽象能力和推理能力。 通过分组探究a>0和a<0的不同情况，渗透分类讨论的数学思想。 通过类比一次函数的研究方法，让学生体会数形结合的数学思想，发展模型观念。 课堂练习 知识巩固 辨析应用 练习1：填空 （1）二次函数y=3x²的图象开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______，当x=____时，y有最____值______。 （2）二次函数y=-5x²的图象开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______，当x=____时，y有最____值______。 参考答案：（1）上，y轴，(0,0)，0，小，0；（2）下，y轴，(0,0)，0，大，0。 练习2：下列抛物线中，开口向下且开口最大的是（ ） A. y = x² B. y = -3x² C. y = x² D. y = -x² 参考答案：D 练习3：已知二次函数y=ax²的图象经过点A(-2, -8)。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）判断点B(-1, -4)是否在此抛物线上； （3）说出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 参考答案：（1）y = -2x²；（2）在；（3）开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点。 学生能准确说出y=ax²的图象特征和性质。 学生能根据a的正负判断开口方向，根据|a|大小判断开口宽窄。 学生能利用已知点求二次函数的解析式，并能判断点是否在抛物线上。 通过基础填空题，巩固学生对y=ax²图象和性质的基本认识。 通过辨析选择题，加深学生对a的符号和绝对值与图象关系的理解。 通过综合应用题，培养学生的运算能力和知识迁移能力。 反思总结 学生为主体发言总结 师：通过本节课的学习，你有哪些收获？ 生1：我知道了二次函数y=ax²的图象是抛物线，对称轴是y轴，顶点是原点。 生2：我知道了a>0时开口向上，有最小值；a<0时开口向下，有最大值。 生3：我知道了|a|越大，开口越小。 生4：我学会了用描点法画二次函数的图象。 师：本节课你还有哪些疑惑？ 生：为什么抛物线的对称轴是y轴？ 师：这个问题大家可以结合图象的对称性思考一下，我们下节课继续探究一般二次函数的图象。 学生能主动归纳本节课所学的主要内容，形成知识体系。 学生能提出自己的疑惑和问题，养成反思的习惯。 通过学生自主总结，梳理本节课的知识脉络，加深对二次函数y=ax²图象和性质的理解。 通过提出疑惑，激发学生进一步学习的兴趣，为后续学习一般二次函数埋下伏笔。 板书设计 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 1. 图象：抛物线 对称轴：y轴（直线x=0） 顶点：原点(0, 0) 2. 性质： 当a>0时：开口向上，顶点是最低点 x<0时，y随x增大而减小 x>0时，y随x增大而增大 x=0时，y最小值=0 当a<0时：开口向下，顶点是最高点 x<0时，y随x增大而增大 x>0时，y随x增大而减小 x=0时，y最大值=0 3. |a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。 提纲挈领，重点突出，便于学生梳理知识体系。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $