2026——2027学年人教版九年级数学第一学期10月学情自主监测4（内容：第25章～第27章）

2026——2027学年人教版九年级数学第一学期10月学情自主监测4 （内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数） 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、当时，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； B、不是整式方程，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意； D、是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意； 2．已知二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：是二次函数， 二次项系数， 二次函数的图像与轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 综上，的取值范围是且． 3．等腰三角形两边长为方程的两根，则它的周长为（     ） A．12 B．12或9 C．9 D．7或12 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 当2为腰时，三边长分别为：2，2，5，，不能构成三角形，舍去； 当2为底时，三边长为5，5，2，周长为， 综上，三角形的周长为12． 4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ）． A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．图象与轴交点的坐标是 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：二次函数为， 对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴应为直线，不是，故A说法错误，不符合题意； 选项B：顶点坐标应为，不是，故B说法错误，不符合题意； 选项C：当时，， ∴与y轴交点坐标为，不是，故C说法错误，不符合题意； 选项D：， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，故D说法正确，符合题意． 5．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴在第二象限， ∴， ∵，， ∴，在第四象限， ∵， ∴， ∴． 6．一抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到新的解析式为，则原抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由一抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到新的解析式为， 则原抛物线是向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到， 则原抛物线的解析式为． 故选：D． 7．2026年9月10日是我国第42个教师节，我县教育系统为庆祝教师节正在开展教职工篮球友谊赛，如果每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛总场次会多达45场．设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵共有个队参加比赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， ∴． 8．已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象在第二、四象限 C．当时， D．当时，随着的增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数， 当时，，故A错误； ∵比例系数 ∴图象在第一、三象限，故B错误； ∴在每个象限内，y随x的增大而减小 ∴当时，随着的增大而减小，故D正确． 当时， ∴当时，，故C错误； 9．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴，即， ∴，，故①错误；③正确 ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，故②正确； ∵对称轴是直线， ∵当时，， ∴当时，， 故④错误； ∴正确的为②③，共2个． 10．已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， ∴图象D符合题意． 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分） 11．关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【详解】解：根据题意， 可得， 解得． 12．函数，当时，函数值的取值范围是______ 【答案】 【详解】解：函数是二次函数的顶点式，其中二次项系数为1，大于0，因此抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即当时，函数取得最小值； 已知自变量取值范围为，对称轴在该区间内，因此函数在该区间内的最小值为顶点处的函数值； 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大： 当时，代入函数得； 当时，代入函数得； 由于到对称轴的距离大于到对称轴的距离，因此区间内函数值的最大边界为5，又因为x的取值不包含和2，因此函数值取不到5； 综上，当时，函数值的取值范围是． 13．已知、是方程的两个实数根，则的值是____． 【答案】 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， 整理得， ∴ ． 14．如图，反比例函数上两点，的横坐标分别为m，，则的面积是______． 【答案】6 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，垂足分别为、， 、两点在反比例函数的图象上，且、的横坐标分别是，， ∴，， ． 15．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面．如图所示的直角坐标系中，若水位上涨，此时水面的宽度为__________． 【答案】/米 【详解】解：设该抛物线的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． ∵水位上涨， ∴令，得，解得， ∴此时水面的宽度为． 三、解答题一(本大题共4小题，每小题8分，共32分） 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 由题知，，， ， ， ，． （2）解：， 其中，，， ， ， 解得，． 17．如图，某新建小区准备围成一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，现有长为的篱笆，一面靠墙（墙长为），设花园宽为x（），面积为S（） (1)求S与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少； (3)求花圃的最大面积． 【答案】(1)， (2)的长为 (3)花圃的最大面积为 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当时， 解得（舍去）或； 答：的长为； （3）解：∵， ∴抛物线的开口向下，当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，的值最大为； 故花圃的最大面积为. 18．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2)不等式的解集为或 (3)点的坐标为或或或 【详解】（1）解：把代入得： ，， ， 两点的坐标分别为， 把两点的坐标分别代入得： ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）解：两点的坐标分别为， 根据两函数的图象可得：不等式的解集为或． （3） 解：设直线交轴于点，交轴于点， 在中，令，得：，令，得： 点的坐标为，点的坐标为 ， ， 当点在轴上时，设点的坐标为，则， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 当点在轴上时，设点的坐标为，则， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 综上所述：点的坐标为或或或． 19．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为、 【详解】（1）解：二次函数的图象过，， 抛物线交点式：， 展开得：． 抛物线解析式为． （2）解：， ， 设， 的面积 ， 解得， 即或． 当时，， 即，，方程无实数解，舍去； 当时，， 即， 解得． 点坐标为、． 四、解答题二(本大题共3小题，第20题12分，第21题12分，第22题14分，共38分） 20．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系． (1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ (3)在（2）的限定条件下，直接写出该公司的最大年利润． 【答案】(1) (2)该设备的销售单价应是50万元 (3)最大年利润为12250万元 【详解】（1）解：设年销售量与销售单价的函数关系式为， 由题意得， 解得， ∴年销售量与销售单价的函数关系式为； （2）解：此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为万元，销售数量为台， 由题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 答：该设备的销售单价应是50万元； （3）解：设该公司的年利润为万元， 则， 配方，得， 当时，W取得最大值； 答：该公司的最大年利润为12250万元． 21．如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：__________，_________．（用含的代数式表示）； (2)如果、分别从B、A两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． 【答案】(1)， (2)1秒后，的面积等于； (3)的面积不能等于，理由如下， 假设的面积能等于，则有， 整理得：， ， 所以该方程无实数根， 答：的面积不能等于. 【详解】（1）解：点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，运动时间为秒， ，， ； （2）由题意可得：， ， 解得：，， 点P从点B到点C需要时间为， 即， 所以不合题意，舍去， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 22．已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴； 如图所示，作点B关于x轴的对称点R，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当C、P、R三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：设： ∵， ∴，， ； 当点P为直角顶点时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年人教版九年级数学第一学期10月学情自主监测4 （内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数） 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（） A． B． C．且 D．且 3．等腰三角形两边长为方程的两根，则它的周长为（     ） A．12 B．12或9 C．9 D．7或12 4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ）． A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．图象与轴交点的坐标是 D．当时，随的增大而增大 5．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．一抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到新的解析式为，则原抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 7．2026年9月10日是我国第42个教师节，我县教育系统为庆祝教师节正在开展教职工篮球友谊赛，如果每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛总场次会多达45场．设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 8．已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象在第二、四象限 C．当时， D．当时，随着的增大而减小 9．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（    ） A．B．C．D． 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分） 11．关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 12．函数，当时，函数值的取值范围是______ 13．已知、是方程的两个实数根，则的值是____． 14．如图，反比例函数上两点，的横坐标分别为m，，则的面积是______． 15．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面．如图所示的直角坐标系中，若水位上涨，此时水面的宽度为__________． 三、解答题一(本大题共4小题，每小题8分，共32分） 16．解方程： (1)； (2)． 17．如图，某新建小区准备围成一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，现有长为的篱笆，一面靠墙（墙长为），设花园宽为x（），面积为S（） (1)求S与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少； (3)求花圃的最大面积． 18．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的倍，直接写出点的坐标． 19．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标． 四、解答题二(本大题共3小题，第20题12分，第21题12分，第22题14分，共38分） 20．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系． (1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ (3)在（2）的限定条件下，直接写出该公司的最大年利润． 21．如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：__________，_________．（用含的代数式表示）； (2)如果、分别从B、A两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． 22．已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $