第16讲 恒成立求参数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

恒成立求参数 函数与导数 · 专题篇 分离参数法 一、适用形状与两条等价 把参数单独甩到不等号一侧后，另一侧只剩含 的式子。此种形状的两条依据是： 对一切 成立，等价于 在 上的最小值； 对一切 成立，等价于 在 上的最大值。 二、操作三步 第一步，整理：把含 的项归到一侧，写成 或 。 第二步，求最值：对 求导、定驻点、判单调，算出 在 上的最值。 第三步，定开闭：最值能取到就写 或 ，取不到（端点处或趋近而来）只写严格不等号。 三、除式要先看符号 分离时若两边同除一个含 的式子，先判它在 上的符号。除正的不变号，除负的要变号，符号不定的必须分段讨论。 四、分离后求导的三种常见形状 分式型 ： 的分母恒正，只需判分子，且分子常能因式分解成两个熟悉的因子之积。 含 与 的差：先用 、 把式子整理成同类结构，再求导。 两根式相乘：一根 型、一根 型，令 试根，往往 恰好取到最值。 五、分离后常见的三处坑 第一处是分母为零的点。分离后的 分母常是 、 或 ，这些零点恰好落在定义域边界上，最值往往在边界以极限方式逼近、并不真的取到，必须回去判等号能不能成立。 第二处是两个因子相乘时别急着展开。先找出符号确定的那个因子，把符号问题缩到另一个因子上；展开只会把式子弄复杂。 第三处是参数在不等号两侧都出现。这时先合并同类项、把含参数的项归到一侧，再决定要不要同除；直接同除常会除出含参数的分母。 例1（单选·★★★☆☆） 已知，恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】不等式里参数与 分得开：。区间是 ，除 时不改变不等号方向，可以把 甩到一侧。 【关键】由 知 ，故 等价于 。记 ，，则 。 时 、，故分子大于零，， 在 上递增，最小值是 。所以 ，即 的取值范围是 。选 A。 【易错】同除 之前必须先确认 的符号，本题靠 保证；若区间含负数就要分开讨论。最小值在左端点 处取到、能取等，所以答案是闭区间；写成开区间就把 漏掉了。 【答案】A 变式1-1（单选·★★★☆☆） 函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】把 单独拎出来： 对一切 成立，等价于 大于左边的最大值。 【关键】。记 ，，则 。令 得 ，即 ； 时 ， 时 。故 的最大值是 。所以 。选 B。 【易错】原式是严格小于号， 只能严格大于最大值、不能取等，写成 就是错的。分母是 ，分子 不能随手约掉。 【答案】B 变式1-2（填空·★★★☆☆） 若，恒成立，则a的取值范围是________。 【切入点】两边同除 ，把 分离出来；分离后的式子里同时出现 与 ，用 把前者拉平。 【关键】由 ， 两边同除 得 。记 ，注意到 ，所以 。由 （等号只在 处取），取 得 ，于是 。等号当 时成立，而 满足（此时 ），故 的最小值是 。所以 的取值范围是 。 【易错】 的等号只在 处取，要另外说明 能取到（本题由 给出），否则只能得 、把 漏掉。 【答案】 的取值范围是 例2（解答·★★★★☆） 已知函数。若对总成立，求实数的取值范围。 【切入点】，把 分离出来：。分离后的函数求导是个分式，分母 恒正，只需看分子。 【关键】由 ， 等价于 。记 ，则 。由 （等号只在 处取）知 时 ，于是 的符号由 决定： 在 上递减、在 上递增。所以 的最小值是 ，即 的取值范围是 。 【易错】 的分子是两个因子相乘，其中 在 上恒正，只看 就够；把它当成会变号的因子，符号就会判反。 【答案】 的取值范围是 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知函数。当时，求的取值范围。 【切入点】，分离 只需除以 ，符号确定；分离后 处函数值为零，猜最小值就在那里取到。 【关键】 时 ，由 得 。记 ，，则 。再记 ，，则 ，故 ，于是 ， 在 上递增，最小值是 。所以 的取值范围是 。 【易错】 只是一个端点的函数值，必须补一句 说明它是最小值；只算端点值就下结论，逻辑上不成立。 【答案】 的取值范围是 变式2-2（解答·★★★★☆） 已知函数。若，对任意，恒成立，求实数的最大值。 【切入点】 已经给定， 又独立在不等号一侧，直接求 在 上的最小值即可。 【关键】 时 。记 ，，则 。而 ，故 ， 在 上递减，最小值是 。所以 的最大值为 。 【易错】 与 无关，直接对 求最值即可，不必去分离；区间是闭的，最小值在 处能取到。 恒正这一点要写出来，否则 的符号没有依据。 【答案】 的最大值为 例3（解答·★★★★★） 已知函数。当时，不等式恒成立，求的取值范围。 【切入点】，把含 的项留下、其余移走：。这是「 大于等于某个函数的最大值」的形状。 【关键】由 知 ，把 两边乘 得 ，即 。记 ，，则 。再记 ，，则 ，故 在 上递减，，即 。于是 在 上递减，最大值是 。所以 ，即 的取值范围是 。 【易错】 本身还要再求一次导才能判号，写成 后直接把 代进去最省事：。漏掉这一步就会误以为 恒正。 【答案】 的取值范围是 变式3-1（解答·★★★★★） 已知函数。若恒成立，求的取值范围。 【切入点】把 分离出来只剩除以 ，符号确定。分离后的式子写成 两块，一块在 取最大、一块单调。 【关键】定义域是 。由 得 ，因 ，故 ，其中 。则 。 时 ，； 时令 得 ，即 ，此根唯一，记作 。于是 在 上递增、在 上递减，最大值是 。由 得 ，代入得 ；再把 记作 ，由 解得 ，两边一增一减、只有 ，即 。于是 、，代回得 。所以 ，即 的取值范围是 。 【易错】分离后 是超越方程，解不出显式的根，只能设 再用方程本身消元。这一步初学最容易卡住：不要试图求 ，要把 与 反复代换。 【答案】 的取值范围是 变式3-2（解答·★★★★★） 已知函数（），。若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。 【切入点】先把 这一项消掉：不等式两边同减它，左边就只剩一个 。 【关键】由 得 ，整理得 。因 ，故 。记 ，，则 。由 （）得 ，故 ， 在 上递增，最小值是 。所以实数 的取值范围是 。 【易错】不等式两边都含 ，先约掉它再分离，能省掉一次通分；直接通分会把式子弄得又长又容易错。 分子的下界用 估，别硬去解 。 【答案】实数 的取值范围是 变式3-3（解答·★★★★★） 函数。当时恒成立，求的取值范围。 【切入点】 时 ，把 分离出来只需除以 。分离后的函数在 处有意义（极限为 ），于是怀疑下界就是 。 【关键】 时 ，由 得 ，即 。记 ，，则 。记 ，，则 ，故 ，即 。再由 在 时的极限为 ，且可验证 在 上单调递减趋于 ，故 的下确界是 、取不到。要让 对一切 成立，只需 ，所以 的取值范围是 。 【易错】 在开区间上取不到 ，但 只要大于它就行，所以下界仍是闭的。这类「下确界取不到、左边仍可闭」的情形，在恒成立题里很常见，判据是「 与 的不等号方向」而不是「 能否取到」。 【答案】 的取值范围是 例4（解答·★★★★★） 已知函数。若时，恒成立，求实数的取值范围。 【切入点】 时 ，把 分离出来只需除以 ，符号确定、方向不变。 【关键】 时 ，由 得 。记 ，，则 。由 （）知分子大于零，故 ， 在 上递增。当 时 ，故 的下确界是 ，取不到。要让 对一切 成立，只需 ，即实数 的取值范围是 。 【易错】 在开区间上递增、最值取不到，只能写下确界；但当 时 对一切 仍成立，所以 可以取。把「取不到」直接推广成「」，就丢掉了端点。 【答案】实数 的取值范围是 变式4-1（解答·★★★★★） 已知函数，。若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 【切入点】，把 分离出来只剩除以 。分离后的函数 在 时趋近 ，而 不在定义域内，要点就在这里。 【关键】由 得 。记 ，，则 。记 ，则 ，故 ，于是 ， 在 上递增。由 （）得 ，且 时 ，故 的下确界为 、取不到。于是 ，即实数 的取值范围是 。 【易错】 在开区间上递增，最小值取不到，要说清「下确界为 」。但 时 对一切 成立（这正是常用不等式 ），所以端点 要取。 【答案】实数 的取值范围是 变式4-2（解答·★★★★★） 已知函数。当时，对于任意，恒成立，求实数的取值范围。 【切入点】 代入后 ，两边除以 分离 ；分离后的函数求导要做一次商的求导，分子是 ，这个式子还要再求一次导才能定号。 【关键】 时 ，。由 且 得 。记 ，，则 。记 ，则 （），故 递减，，即 ， 在 上递减。当 时 ，故 的上确界为 。于是 的取值范围是 。 【易错】 的分子里同时出现 、 与常数，不能直接判号，要把它当成一个新函数再求导； 的符号判反，后面的单调性就全反。 【答案】实数 的取值范围是 分离的三道坎 一、坎一：端点坎与结构坎 分离后 的最值落在区间端点，或区间是开的、最值只以极限方式逼近，此时要判「等号能不能取」：能取写 ，不能取就写「小于」号。 另一类形状是两个因子的乘积恒非负，此时等价于两个因子处处同号，常要求它们同时取零，于是两式的零点必须重合。 二、坎二：变号坎 分离时若两边同除一个含 的式子，先判它在定义域上的符号。除正不变号、除负要变号；符号不定的必须按零点分段，各段分别解出范围，最后取交集。 参数钻进指数或对数内部、无法直接分离时，先用 或 的单调性把两边整理成同一个函数在两点处的取值，再比较自变量大小。 三、坎三：双参坎 式子里 、 同时出现，先想办法把它们化归到同一个量：能化成比值 的写成 ，能化成一个整体如 的化成整体，然后再用坎一、坎二的办法处理。 四、过坎后的收尾 分段讨论的题最后要取交集；双参题最后要回代求目标量；端点取不到的题要说明等号能否成立，不能只看极限值。 五、三道坎的判别顺序 拿到一道题先看参数能不能干净地移到一侧：能移、且除的式子符号确定，就走最常规的分离。 除的式子符号不定，先判它是坎二，按零点分段、各段分别解，最后取交集。 分离之后求最值发现极值落在区间端点、或者两个因子必须同号，那是坎一，要回去判等号能否成立。 式子里有两个参数时先看目标量：是比值 就化成比值，是一个整体 就化成整体，把两参数压成一个量，这是坎三。 三道坎并不互斥，一道题同时踩两道很常见；先看哪一道最挡路，就先解哪一道。 例5（单选·★★★☆☆） 已知函数，若任意的都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 在 上符号不定，直接把 分离出来除以它就得分类；换成「直线在曲线下方」的图形语言更快。 【关键】条件 对一切 成立，意即 的图象始终不低于过定点 的直线 。设 （）在点 处的切线恰好过 ：由 得 ，，切线斜率 。上界由 （）那一段控制：直线 要在 时不超过 ，只需 对 成立，即 ；再看 那一段， 时直线向下、指数曲线向上，成立。故 。选 A。 【易错】直线过定点 ，斜率 变化时是绕定点转动的；临界位置是「与指数段相切」与「与一次段平行」两处，少看一段就会把区间写宽。本题原题的图在原卷里，讲义不另配。 【答案】A 变式5-1（填空·★★★☆☆） 已知，函数，若对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为____________。 【切入点】分段函数，先换元 把 消掉，不等式变成两条对 的恒成立，各自除以 （ 的符号由分段决定）。 【关键】令 （），则 ， 与 同时带上因子 ，不等号两边约掉 ，化为： 时 ； 时 。先看 ：。记 ，则右边为 ，其最小值在 处取到，为 ，故 。再看 ： 时 ， 时 。记 ， 段的最小值是 （在 处）， 段的最大值是 ，两段合并要求 。综合得 的取值范围是 。 【易错】 这一段里 可正可负，除以 时方向要变，漏掉 那一支就会把下界丢掉；另外 的取值范围随分段而变，取最值时别弄混。 【答案】 的取值范围是 变式5-2（填空·★★★☆☆） 若关于的不等式在上恒成立，则 = __________。 【切入点】 在 处变号，把它作分界点分两段，每段里两因子的符号都已确定，只需求另一因子的范围。 【关键】要使 在 上恒成立：当 时 ，须 恒成立，即 对 成立，得 ；当 时 ，须 恒成立，即 对 成立，得 。两段取交集得 。 【易错】 处 ，两个不等式都自动成立，所以它归哪一段都行；但两段的范围必须取交集，只写其中一段就是漏解。 【答案】 例6（单选·★★★☆☆） 若不等式恒成立，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先换元把式子简化：令 ，则 ，原式变成含 的两因子乘积。 【关键】令 ，则 ，原式化为 ，因 等价于 ，即两个因子处处同号。当 时 ，须 恒成立，得 ；当 时 ，须 恒成立，得 ； 时 ，恒成立。两段取交集得 。选 A。 【易错】 是 的零点，也是分成两段的界点，必须单独交代。只解 与 而不写 ，逻辑上留了个洞。 【答案】A 变式6-1（单选·★★★☆☆） 若对任意，，则实数的值可以是（ ）。 A. B. C. D. 【切入点】两个因子相乘非负，等价于它们处处同号；再注意 这个基本大小关系，可以先把「同为正」这条路排除。 【关键】条件即 与 处处同号，。若两者都非负，则由 与 得 ，即 ，而 对 恒成立，矛盾，舍去。故只能两者都非正：。记 ，则 ， 在 上递增、在 上递减，最大值为 ；记 ，则 ， 在 上递减、在 上递增，最小值为 。于是 ，四个选项里只有 落在这个区间内。选 C。 【易错】题目问的是「 的值可以是」，不是求 的取值范围；算出区间后要回选项里挑。另外两条「同号」分支要分开验证，不能因为 就默认哪一支行不通。 【答案】C 变式6-2（单选·★★★☆☆） 若对任意 ，则实数 的值可以是（ ）。 A. B. C. D. 【切入点】两边都除以 ，把两个因子都变成只含 的式子，再用「 夹在两个函数的最值之间」。 【关键】，原式等价于 ，即 落在 与 两个函数值之间（可以等于端点）。由 的最小值为 、 的最大值为 ，故 。四个选项里只有 符合。选 C。 【易错】两个最值都要算全： 的最小值在 处、 的最大值在 处，两处不是同一个点，不能只算一处。 【答案】C 变式6-3（单选·★★★☆☆） 函数（，），若在上恒成立，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】两个因子相乘非负，且 使第二个因子在 处为负——说明两个因子必须同时取零，两个零点重合。 【关键】记 ，则 ， 在 上递减、在 上递增，最小值 （因 ），且 与 时 ，故 在 与 上各有一个零点，记作 。要让 处处成立， 必须与 处处同号，于是它的两个零点恰是 、，由韦达定理得 、。又 给出 ，两边取对数得 。于是 。选 C。 【易错】关键一步是把「恒成立」翻译成「两个函数的零点重合」，这一步想不通就无从下手。最后化简时用 把对数换成一次式，是典型的「指对互化」，别忘了。 【答案】C 例7（解答·★★★★★） 设，若恒成立，求正整数的最大值。 【切入点】（），把 分离出来：。这个比值在 时的极限是 ，所以先猜 最大取 。 【关键】由 知 ，故条件等价于 对一切 成立。记 。由 得 ；又当 时，、，故 ，即 的下确界是 。先验 ：要证 ，即 。记 ，，则 ，故 ， 可行。再验 ：取 ，比值趋于 而不超过 ，故存在充分小的 使 ， 不可行。所以正整数 的最大值为 。 【易错】 的下确界在端点 处、取不到，所以不能直接写 ；必须回过头去验证 确实成立，这一步是「端点坎」的标准收尾。验 时把 、 合并求导， 恰好能因式分解，这是本题设计的关键，别硬拆成两段证。 【答案】正整数 的最大值为 变式7-1（解答·★★★★★） 已知函数，，。若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 【切入点】两边都含 与 ，先把含 的项归拢：。再判 的符号决定要不要变号。 【关键】。由 得 ，移项得 。记 ，则 ， 在 上递减、在 上递增，最小值 ，故 对一切 成立，从而 。于是两边除 要变号：。记 ，。则 ，。化简分子得 。记 ，则 ， 在 上递增、在 上递减，最大值 ，故 恒成立， 的符号由 决定： 在 上递减、在 上递增，最小值 。所以实数 的取值范围是 。 【易错】除 之前必须判它的符号，本题它是负的，不等号要反向；漏掉这一步就会把答案写成 。 【答案】实数 的取值范围是 变式7-2（单选·★★★☆☆） 已知对于，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】参数 钻进指数里，直接分离不出来。先两边乘 把 与 凑到一起，再用 的单调性脱掉指数。 【关键】，原式两边乘 得 ，即 。记 ，它在 上递增且 ，故条件等价于 对一切 成立。再分离： 对一切 成立。记 ，则 ， 在 上递减、在 上递增，最小值 。故 ， 的最大值为 。选 C。 【易错】关键是把 看成一个整体 ，这一步用的是 的单调性，不是简单的换元。两边乘 是因为 ，方向不变，这一步不能省。 【答案】C 例8（单选·★★★☆☆） 若对恒成立，则当取得最小值时， = （ ） A. B. 1 C. D. 2 【切入点】式子里 、 各出现一次，目标量又是 ，先用 把不等式两边除 ，整体换成 。 【关键】由 ，把 两边除 得 不方便；改写成 。更直接的路线是把 、 看成直线 的斜率与截距：原式即 对一切 成立。记 ，则 递增，、，故 有唯一零点 ， 在 上递减、在 上递增，且 。直线 要始终在 的图象下方，而 是它的斜率：当 最小时直线恰好与 的图象在 处相切，此时 ；又相切处 ，得 ，，此时 取到最小值 ，对应 。选 D。 【易错】「 最小」不是说 最小，要把 、 一起定出来再算比值；本题在 时 才最小，而 本身并不是最小的。另外 决定了直线是上升的，右端才需要相切约束。 【答案】D 变式8-1（单选·★★★☆☆） 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】式子里有 、 两个参数，但目标只要求 的最大值。先固定 ，把 的取值范围求出来（是 的函数），再对 求最值。 【关键】条件即 对一切 成立。记 ，，则 。令 得 ； 在 上递减、在 上递增，最小值 。于是 。题目说「存在 」，也就是 不超过 在 上的最大值。，令其为 得 ； 在 上递增、在 上递减，最大值 。故 的最大值为 。选 C。 【易错】「存在 」意味着 可以按需挑选，所以 的上界是 的最大值而不是最小值。两层最值的方向不能混：内层是对 求最小值，外层是对 求最大值。 【答案】C 变式8-2（单选·★★★☆☆） 已知，对于恒成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】两个因子相乘非负，而 与 都是严格增函数，所以两因子只能在同一个点同时为零。 【关键】 在 上递增，零点 ；（）在 上递增，零点 。两个递增函数之积在 上非负，必须且只需两个零点重合，即 ，整理得 。于是 ，展开得 ，等号当 时成立，此时 。故 的最小值为 。选 B。 【易错】「两因子都递增」是这一步的关键前提，题目里 正好保证；漏掉这个前提，就只能是「单调性相同」而不是「同时取零」。最后一步用基本不等式配常数， 是从 里提出来的。 【答案】B 例9（解答·★★★★★） 已知函数，其中。若，，对任意的，恒成立，求的最小值。 【切入点】条件只约束 ，目标却是 。先把 用 与 的最大值表示出来，再把 换成 的极值点，整体变成一个单变量函数。 【关键】，，定义域 。。令 ，即 ，此方程在 上有唯一解，记作 ，则 在 上递增、在 上递减（两端都趋于 ），最大值是 。由 解出 ，代回得 。条件 对一切 成立，等价于 ，于是 。记 ，，则 ，故 在 上递减、在 上递增，最小值是 。所以 的最小值为 。 【易错】把 换成 之后不要再去回代求 的精确值——目标量 已经化成了 的函数， 的作用到此为止。另外 那个根要舍掉（ 使 ）。 【答案】 的最小值为 变式9-1（解答·★★★★★） 已知函数，。若，，对任意的，恒成立，求的最大值。 【切入点】条件只约束 ，目标却是 ，先把 表示成 与 的最小值，再把 换成 的极值点。 【关键】，，定义域 。。令 ，即 ，此方程在 上有唯一解，记作 ，则 在 上递减、在 上递增，最小值是 。由 得 ，故 。条件 对一切 成立，等价于 ，于是 。记 ，，则 ，故 在 上递减、在 上递增、在 上递减，最大值是 。所以 的最大值为 。 【易错】 有两个零点 与 ，两个都是极值点，要把它们的函数值都算出来比大小（本题左端为负、右端为正），只取一个就下结论会错。另外 这一步代入后， 要化成 ，别漏负号。 【答案】 的最大值为 不分离求最值 一、什么时候不能分离 参数钻进指数或对数的内部（如 、），或同一个参数在式子里出现两次（如 ），分离时既除不干净、又会把不等式变成两边都含 ，此时改用不分离。 二、不分离的标准动作 第一步，构造差函数：把不等式一侧移到另一侧，得到 ，其中含 的项按 归拢。 第二步，对 求导： 的解通常含 ，记作 ，再按 与定义域的位置关系分类。 第三步，取最值定参数：条件 恒成立，等价于 在定义域上的最小值大于等于零；这一条件往往又化成关于 的不等式。 三、两条常用的化归 同构化归：把两边整理成同一个函数在两点处的取值，再用它的单调性脱掉函数记号，形如 的式子常能这么办。 极值点代换：当极值点满足一个方程时，用它把参数消掉，把目标量写成极值点的单变量函数，再对新变量求最值。 四、与分离法的分工 同一个题两条路都能走：分离后 好解就走分离；解不出驻点、或分离后式子变复杂，就走不分离。判据是「分离后的 能不能解」，不是「有没有参数」。 五、三条常用的辅助结论 ，等号只在 处取；，等号只在 处取；，等号只在 处取。 这三条在不分离的题里几乎每道都要用上一两次，作用是把指数式与对数式拉平成一次式，省掉一次求导。用的时候一定要交代等号能否取到。 例10（单选·★★★☆☆） 已知，若当时，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. e D. 【切入点】参数 出现在对数内部，分离不出来。把不等式一侧移到另一侧构造差函数，对 求最大值，再让最大值不超过零。 【关键】，定义域是 。记 ，则 。分母 ，令分子为零得 。 在 上递增、在 上递减，最大值是 。条件等价于 ，即 。记 （），则 ， 在 上递减、在 上递增，而 ，且 ，故 的解恰为 （另一支不满足 上的单调性）。所以 的最大值为 。选 B。 【易错】 出现在对数内部时不要去分离，分离后两边都含 。最后解 时，要注意它不是区间而是单点：两条曲线在 处相切，只有这一点满足。 【答案】B 变式10-1（填空·★★★★☆） 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是________。 【切入点】参数 既在 的指数里、又在 的分母上，分离不出来。两边乘 凑同一个函数 。 【关键】，。由 两边乘 得 。记 ，它在 上递增（），而 （因 时 ），故条件等价于 对一切 成立，即 。记 ，则 ， 在 上递增、在 上递减，最大值 。故 ， 的取值范围是 。 【易错】两边乘 时 、，方向不变；把 写成 是同构的固定手法，这里 正是关键。 【答案】 的取值范围是 例11（填空·★★★☆☆） 当，时，不等式恒成立，则的取值范围是___________。 【切入点】 在 的系数里、又在对数里，分离不出来。把它写成 ，两边凑成同一个函数 的形状。 【关键】，。把 两边加 ，得。由 知 ，故左边为 ，右边为 。记 ，它在 上递增（），于是条件等价于 ，即 对一切 成立。记 ，则 ， 在 上递增、在 上递减，最大值 。故 ，即 ， 的取值范围是 。 【易错】同构的关键是「两边凑成完全一样的形状」：左边凑 、右边凑 ，再比 与 。凑的时候忘了两边同时加 ，就会凑不出右边的 。 【答案】 的取值范围是 变式11-1（解答·★★★★★） 已知函数。若对于恒成立，求的取值范围。 【切入点】 与 相乘，分离的话要除 ，但 的解析式简单，直接分 与 讨论更快。 【关键】 时 、。当 时两项都为正， 成立。当 时，条件等价于 对一切 成立，即 。记 。由 、（）得 ，且 时 、，故 ，即 在 上的下确界是 。于是 ，即 。综合 与 得 的取值范围是 。 【易错】 与 必须分开： 时两项同正、结论直接成立，根本不需求最值；只有 时才要比较两项的大小。用 与 估下界，比直接求导省事得多。 【答案】 的取值范围是 变式11-2（解答·★★★★★） 已知函数。若对任意，不等式恒成立，求实数的值。 【切入点】 乘在 上、又没法和 合并，但注意 ，于是整式只依赖 这个整体。 【关键】，。记 ，它在 上递增（），且 取遍 。于是 ，条件化为 对一切 成立。记 ，则 ，。若 ，则 ：当 时，在 附近 的一侧 ，不符合；当 时，在 的一侧 ，也不符合。故只能有 。验证 ： 恒成立（常用不等式），符合要求。所以实数 的值为 。 【易错】 的值域是全体实数，这一点要说明（ 连续且两端分别趋于 与 ），否则「对一切 成立」就没有依据。判 时用的是 处的左右开弓，这是「端点效应」的标准动作。 【答案】实数 的值为 例12（填空·★★★☆☆） 已知实数，不等式恒成立，则实数的最大值为__________。 【切入点】 同时出现在 的分母与对数的内部，先把 整体记作 ，减少符号，再同构。 【关键】记 。由 得 ，两边加 ：。记 ，它在 上递增，故条件等价于 对一切 成立，即 。记 ，，则 ， 在 上递减、在 上递增，最小值 。故 ，，即 ，实数 的最大值为 。 【易错】先换元 能少写一半符号，最后别忘了换回 。另外 的定义域是 （对数真数 ），最小值 在定义域内，可以取到。 【答案】实数 的最大值为 变式12-1（解答·★★★★★） 已知函数，。若对任意的恒成立，求的取值范围。 【切入点】 与 都含 ，不等式移项后 能合并到一处，再两边除 分离 。 【关键】。由 得 ，两边乘 得 ，即 。因 ，两边除 得 。记 ，。。记 ，则 ，。当 时 ， 时 ；直接验证 且 （ 递减）—— 改为验 的单调性：当 时 （取 ：），当 时 （取 ：）。故 在 上递增、在 上递减，最大值 。所以 的取值范围是 。 【易错】 分子的符号不能一眼看出，要把它当成新函数再分析；这里改用一个可行的取值去验证符号，比硬求 的零点快。两端各取一个试点（ 与 ）是估号的标准做法。 【答案】 的取值范围是 例13（解答·★★★★★） 已知函数，。若，且恒成立，求实数的取值范围。 【切入点】 时 展开后两边都含 ，先把它们并到一起，再看能不能分离。 【关键】 时 ，故 。条件 即 ，整理得 。因 ，两边除 得 。记 ，，则 。记 ，它在 上递增且 ，故 在 上递减、在 上递增，最小值 。所以实数 的取值范围是 。 【易错】 这一步是把 的解析式化简的关键； 的零点只能猜出 ，再靠 严格递增说明它是唯一零点，不能只说「显然」。 【答案】实数 的取值范围是 变式13-1（解答·★★★★★） 已知函数，其中为实数，定义域为。若对任意的恒成立，求实数的取值范围。 【切入点】 乘在 上， 时这个因子非负，分离时除以它方向不变。 【关键】 时 ，由 得 ，即 。 时两边都是 ，恒成立。 时两边除 得 。记 ，。当 时，，故 ；下面说明 。记 ，，则 ，，，，，，故 递增、， 递增、， 递增、，即 。于是 的下确界是 、取不到；要让 对一切 成立，只需 。所以实数 的取值范围是 。 【易错】 要单独说一句（两边都是零，恒成立），不能直接除 。 的下确界在端点取不到，但 只要不超过它就够，所以仍是闭区间。 【答案】实数 的取值范围是 变式13-2（解答·★★★★★） 设函数，。若恒成立，求的取值范围。 【切入点】 只出现一次、系数是 ，分离时除以 即可；但分离后的 求最值也并不省事，直接构造差函数更稳。 【关键】，，条件即 对一切 成立。记 ，，则 。令 得 ； 在 上递减、在 上递增，最小值 。要最小值大于零，只需 ，即 ，得 。所以 的取值范围是 。 【易错】 的化简要当心：把 代入时，，所以 两项的系数要一起算清，漏掉 那一项就会得到错误的下界。 时 且等号在 处取到，原式的严格大于号不成立，所以 要挖掉。 【答案】 的取值范围是 例14（解答·★★★★★） 已知函数。若，且对任意，，求的取值范围。 【切入点】 固定后， 与 、 交织在一起，分离虽然可行但 求导较繁；直接讨论 的最小值更快，因为 这个端点值可以当锚点。 【关键】记 ，，则 ，，。当 时，（后一个不等式是常用的 ），故 在 上递增，，符合要求。当 时 ，记 ，则 ， 在 上递增且 ，；由 及 得 不一定成立，改为直接看 时 ，故存在唯一 使 ， 在 上递减，于是 ，不符合要求。综上， 的取值范围是 。 【易错】本题的锚点是端点值 ：只要能找到一点使 ，参数就不合要求。判 时 只是起步，还要说明 递增、必然穿过零，才能断定 先减后增。 【答案】 的取值范围是 变式14-1（解答·★★★★★） 已知函数。若对任意的，恒成立，求的取值范围。 【切入点】式子里 、 都在，但 只出现在分母 上。先用 处取等把 与 的关系定下来，再回代验证。 【关键】。条件 恒成立，而 ，故 是 的最小值点，必有 。，代入得 ，即 。于是 对一切 成立。取 ：，，故 递增，，符合要求。若 ，取 或比较 处的二阶展开： 时 ，分母变小、 更负， 稍大就会使 ； 时同理在 一侧（ 与 同号变化）会破功。故只能 ，即 的取值范围是 。 【易错】 与「 恒成立」合起来说明 是极小值点，于是 ，这一步是本节的「端点效应」。求出 后必须回代验证 的取值，否则只能说明 是必要条件、不是充分条件。 【答案】 的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $ 恒成立求参数 函数与导数 · 专题篇 分离参数法 一、适用形状与两条等价 把参数单独甩到不等号一侧后，另一侧只剩含 的式子。此种形状的两条依据是： 对一切 成立，等价于 在 上的最小值； 对一切 成立，等价于 在 上的最大值。 二、操作三步 第一步，整理：把含 的项归到一侧，写成 或 。 第二步，求最值：对 求导、定驻点、判单调，算出 在 上的最值。 第三步，定开闭：最值能取到就写 或 ，取不到（端点处或趋近而来）只写严格不等号。 三、除式要先看符号 分离时若两边同除一个含 的式子，先判它在 上的符号。除正的不变号，除负的要变号，符号不定的必须分段讨论。 四、分离后求导的三种常见形状 分式型 ： 的分母恒正，只需判分子，且分子常能因式分解成两个熟悉的因子之积。 含 与 的差：先用 、 把式子整理成同类结构，再求导。 两根式相乘：一根 型、一根 型，令 试根，往往 恰好取到最值。 五、分离后常见的三处坑 第一处是分母为零的点。分离后的 分母常是 、 或 ，这些零点恰好落在定义域边界上，最值往往在边界以极限方式逼近、并不真的取到，必须回去判等号能不能成立。 第二处是两个因子相乘时别急着展开。先找出符号确定的那个因子，把符号问题缩到另一个因子上；展开只会把式子弄复杂。 第三处是参数在不等号两侧都出现。这时先合并同类项、把含参数的项归到一侧，再决定要不要同除；直接同除常会除出含参数的分母。 例1（单选·★★★☆☆） 已知，恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（单选·★★★☆☆） 函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式1-2（填空·★★★☆☆） 若，恒成立，则a的取值范围是________。 例2（解答·★★★★☆） 已知函数。若对总成立，求实数的取值范围。 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知函数。当时，求的取值范围。 变式2-2（解答·★★★★☆） 已知函数。若，对任意，恒成立，求实数的最大值。 例3（解答·★★★★★） 已知函数。当时，不等式恒成立，求的取值范围。 变式3-1（解答·★★★★★） 已知函数。若恒成立，求的取值范围。 变式3-2（解答·★★★★★） 已知函数（），。若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。 变式3-3（解答·★★★★★） 函数。当时恒成立，求的取值范围。 例4（解答·★★★★★） 已知函数。若时，恒成立，求实数的取值范围。 变式4-1（解答·★★★★★） 已知函数，。若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 变式4-2（解答·★★★★★） 已知函数。当时，对于任意，恒成立，求实数的取值范围。 分离的三道坎 一、坎一：端点坎与结构坎 分离后 的最值落在区间端点，或区间是开的、最值只以极限方式逼近，此时要判「等号能不能取」：能取写 ，不能取就写「小于」号。 另一类形状是两个因子的乘积恒非负，此时等价于两个因子处处同号，常要求它们同时取零，于是两式的零点必须重合。 二、坎二：变号坎 分离时若两边同除一个含 的式子，先判它在定义域上的符号。除正不变号、除负要变号；符号不定的必须按零点分段，各段分别解出范围，最后取交集。 参数钻进指数或对数内部、无法直接分离时，先用 或 的单调性把两边整理成同一个函数在两点处的取值，再比较自变量大小。 三、坎三：双参坎 式子里 、 同时出现，先想办法把它们化归到同一个量：能化成比值 的写成 ，能化成一个整体如 的化成整体，然后再用坎一、坎二的办法处理。 四、过坎后的收尾 分段讨论的题最后要取交集；双参题最后要回代求目标量；端点取不到的题要说明等号能否成立，不能只看极限值。 五、三道坎的判别顺序 拿到一道题先看参数能不能干净地移到一侧：能移、且除的式子符号确定，就走最常规的分离。 除的式子符号不定，先判它是坎二，按零点分段、各段分别解，最后取交集。 分离之后求最值发现极值落在区间端点、或者两个因子必须同号，那是坎一，要回去判等号能否成立。 式子里有两个参数时先看目标量：是比值 就化成比值，是一个整体 就化成整体，把两参数压成一个量，这是坎三。 三道坎并不互斥，一道题同时踩两道很常见；先看哪一道最挡路，就先解哪一道。 例5（单选·★★★☆☆） 已知函数，若任意的都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式5-1（填空·★★★☆☆） 已知，函数，若对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为____________。 变式5-2（填空·★★★☆☆） 若关于的不等式在上恒成立，则 = __________。 例6（单选·★★★☆☆） 若不等式恒成立，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★★☆☆） 若对任意，，则实数的值可以是（ ）。 A. B. C. D. 变式6-2（单选·★★★☆☆） 若对任意 ，则实数 的值可以是（ ）。 A. B. C. D. 变式6-3（单选·★★★☆☆） 函数（，），若在上恒成立，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例7（解答·★★★★★） 设，若恒成立，求正整数的最大值。 变式7-1（解答·★★★★★） 已知函数，，。若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 变式7-2（单选·★★★☆☆） 已知对于，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★★☆☆） 若对恒成立，则当取得最小值时， = （ ） A. B. 1 C. D. 2 变式8-1（单选·★★★☆☆） 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式8-2（单选·★★★☆☆） 已知，对于恒成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例9（解答·★★★★★） 已知函数，其中。若，，对任意的，恒成立，求的最小值。 变式9-1（解答·★★★★★） 已知函数，。若，，对任意的，恒成立，求的最大值。 不分离求最值 一、什么时候不能分离 参数钻进指数或对数的内部（如 、），或同一个参数在式子里出现两次（如 ），分离时既除不干净、又会把不等式变成两边都含 ，此时改用不分离。 二、不分离的标准动作 第一步，构造差函数：把不等式一侧移到另一侧，得到 ，其中含 的项按 归拢。 第二步，对 求导： 的解通常含 ，记作 ，再按 与定义域的位置关系分类。 第三步，取最值定参数：条件 恒成立，等价于 在定义域上的最小值大于等于零；这一条件往往又化成关于 的不等式。 三、两条常用的化归 同构化归：把两边整理成同一个函数在两点处的取值，再用它的单调性脱掉函数记号，形如 的式子常能这么办。 极值点代换：当极值点满足一个方程时，用它把参数消掉，把目标量写成极值点的单变量函数，再对新变量求最值。 四、与分离法的分工 同一个题两条路都能走：分离后 好解就走分离；解不出驻点、或分离后式子变复杂，就走不分离。判据是「分离后的 能不能解」，不是「有没有参数」。 五、三条常用的辅助结论 ，等号只在 处取；，等号只在 处取；，等号只在 处取。 这三条在不分离的题里几乎每道都要用上一两次，作用是把指数式与对数式拉平成一次式，省掉一次求导。用的时候一定要交代等号能否取到。 例10（单选·★★★☆☆） 已知，若当时，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. e D. 变式10-1（填空·★★★★☆） 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是________。 例11（填空·★★★☆☆） 当，时，不等式恒成立，则的取值范围是___________。 变式11-1（解答·★★★★★） 已知函数。若对于恒成立，求的取值范围。 变式11-2（解答·★★★★★） 已知函数。若对任意，不等式恒成立，求实数的值。 例12（填空·★★★☆☆） 已知实数，不等式恒成立，则实数的最大值为__________。 变式12-1（解答·★★★★★） 已知函数，。若对任意的恒成立，求的取值范围。 例13（解答·★★★★★） 已知函数，。若，且恒成立，求实数的取值范围。 变式13-1（解答·★★★★★） 已知函数，其中为实数，定义域为。若对任意的恒成立，求实数的取值范围。 变式13-2（解答·★★★★★） 设函数，。若恒成立，求的取值范围。 例14（解答·★★★★★） 已知函数。若，且对任意，，求的取值范围。 变式14-1（解答·★★★★★） 已知函数。若对任意的，恒成立，求的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $