第15讲 三次函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

三次函数 函数与导数 · 专题篇 三次函数的图象与性质 一、求导之后一切都回到二次函数 是二次式 ——单调区间由 的符号定，极值点个数由判别式 定。 二、极值点的两个条件 「 处取极值」给出 与「 两侧导数变号」两条；只写 会混进「重根」那个假解，必须回代检验。 三、区间最值只看三处 闭区间上的最值只可能在两个端点与落在区间内的极值点处取到，把这些点的函数值算出来比较即可。 四、三次函数的对称中心 的图象关于点 对称；这解释了「 是奇函数」这类题。 五、图象与 轴相切 ⇔ 有重根 相切意味着切点处的函数值为零且导数为零，也就是因式分解后出现 。 六、三次方程最多三个实根 三次函数至多有三个零点；判断个数时用「极大值、极小值与零的大小关系」分档。 例1（解答·★★★☆☆） 已知函数，当时，有极小值0.（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最值. 【切入点】「 处有极小值 」给出两条方程：导数为零、函数值为零；解出后用两侧变号筛掉假解。 【关键】。由 得 ；由 得 。两式相减得 ，。此时 ，，在 两侧导函数由负变正，确实是极小值点，符合。在 上比较三处：、、，故最大值为 ，最小值为 。 【易错】由两个方程解出 ， 后必须回代检验极值类型 —— 只说明是驻点，两侧不变号（重根）时并不是极值点。区间最值要比较「端点 ＋ 区间内的极值点」三处，漏掉端点会答错。 【答案】，；最大值 ，最小值 变式1-1（解答·★★★★☆） 已知函数在时取得极小值。（1）求的值；（2）求在区间上的最值。 【切入点】条件「 时取得极小值 」给出两条方程，解出两组解后用两侧变号筛支。 【关键】。由 与 得 ，代入前一式得 ，故 ， 或 ，。 时 ， 单调递增，没有极小值，舍去； 时 ，在 两侧由负变正，是极小值点，符合。所以 ，，。此时 ，在 上比较：、、，故最大值为 ，最小值为 。 【易错】两解里 那一支的导函数是完全平方，恒非负且只在一处取零 —— 那不是极值点，必须排除。排除的理由要写成「 单调递增，无极小值」，不能只说「不符合题意」。 【答案】；最大值为 ，最小值为 变式1-2（多选·★★★☆☆） 已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【切入点】「图象与 轴相切」在代数上就是有重根；本题 已是零点，所以要分「 是重根」与「另一个根是重根」两种。 【关键】。情形一： 是重根，即 也是 的根，代入得 ，；情形二： 本身有重根，判别式 ，得 。故 的所有可能值为 与 。故选 AD。 【易错】两种情形都要考虑：只算判别式会漏掉 ，只算 是重根会漏掉 。「相切」的代数特征是重根，与「切线斜率为零」不是一回事 ——三次函数在切点处导数为零，但导数为零的点不一定是切点。 【答案】AD 例2（解答·★★★★☆） 已知在处取得极值。（1）求实数的值；（2）求的单调区间；（3）求在区间上的最大值和最小值。 【切入点】三步一气呵成：由「 处取极值」定 ，再解 得单调区间，最后在闭区间上比三处。 【关键】（1），由 得 。（2），，故递增区间为 与 ，递减区间为 。（3）在 上比较四处：、、、，故最大值为 ，最小值为 。 【易错】 里常数项是 而不是 ——这是本题最容易写错的一处。求区间最值要把两个端点都算 —— 本题 比极小值 还小，只看极值点会答错。 【答案】；递增区间为 与 ，递减区间为 ；最大值为 ，最小值为 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知：在与时都取得极值.（1）求的值；（2）若在区间，上不单调，求的取值范围 。 【切入点】导函数的两根就是两个极值点，用韦达关系一步读出 ，；第（2）问的「不单调」等价于极值点落在区间内部。 【关键】（1） 的两根为 与 ，故 ，比较系数得 、，即 ，。（2）由（1）知 在 上增、 上减、 上增。「在 上不单调」等价于极值点落在该区间内。因 时 ，若 只需 ，即 ；此时 在区间内，函数在该区间上先增后减，确实不单调。所以 。 【易错】「不单调」只要有一个极值点落在区间内即可，不必两个都落进去 —— 写成「」是把条件加强了。区间 的左端是 （负数），要比的是 与 的大小，注意符号。 【答案】，； 变式2-2（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个极值点，，且，则 = __________。 【切入点】两次用「极值点处导数等于零」消去 ，再把绝对值等式平方，转化为关于两个极值点位置的方程。 【关键】，两个极值点满足 。在极值点处有 ，即 ，代入得 。记 ，由 令 ，算出 ，。两者绝对值相等，两边平方后得 。由两个极值点不相等得 ，故 。又 。 【易错】两个极值点关于对称轴 对称，所以令 是对的 —— 这一步不写出来就无法化简。平方后是两个因式相乘等于零， 在实数范围内只能 ，而 意味着两根重合，与「两个极值点」矛盾，故取另一个因式。 【答案】 变式2-3（多选·★★★☆☆） 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 的极大值为 C. 函数的极小值点为 D. 不等式的解集为 【切入点】奇函数给出 的表达式，两个分支各求一次导，再逐项验证。 【关键】当 时 。A 项：， 在 时，，切线为 ，与选项不符，A 项错误。B 项： 时 ， 在 上增、 上减，故 处取极大值 ，而 时 无极值点，B 项正确。C 项： 时 ，，在 两侧 恒非负且仅在 处取零，故 是极小值点，C 项正确。D 项： 时 ，由 知 只需 ，得 ； 时 ，需 ，得 ； 时 ，需 ，恒成立。故解集为 ，D 项正确。故选 BCD。 【易错】奇函数在 处必须有定义值 ，本题两段在 处都趋于 ，衔接得上。D 项分三段讨论时注意 时 是负的，不等式要变号，这一段恰恰是成立的。 【答案】BCD 变式2-4（单选·★★★☆☆） 函数，的值域为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三次函数在闭区间上的值域，就是把「两个端点 ＋ 区间内的极值点」的函数值全部算出来取范围。 【关键】，驻点为 与 ，都落在 内。计算四处函数值：、、、。最大值为 ，最小值为 ，值域为 。故选 B。 【易错】 比 小，所以最大值还是端点值 ——不能因为「驻点处一定是极值」就默认它最大。 与 都等于 ，两个端点同高是本题的特点。 【答案】B 变式2-5（单选·★★★☆☆） 已知函数，若函数为偶函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【切入点】 为偶函数等价于 ，两条分别对应「 是偶函数」与「 是奇函数」。 【关键】记 。展开 ：。若 为偶函数，则 与 的系数都为零，由 得 ，此时 的系数 ，矛盾，故 不能为偶函数。若 为奇函数，则偶数次项系数全为零： 得 ，常数项 得 。此时 是奇函数， 是偶函数，符合。故选 B。 【易错】 为偶函数不要求 本身是偶函数 —— 是奇函数时也满足。本题先试偶函数、由 的系数不为零排除掉，再试奇函数，两条都要走一遍才是完整的分类讨论。 【答案】B 变式2-6（填空·★★★★☆） 若函数的图象与函数的图象有4个不同的交点，则实数的取值范围是__________。 【切入点】 恒是交点，先摘掉；再按 与 两段分别数交点。 【关键】、，故 是一个交点。当 时 ，，方程 化为 ，即 或 。要使它们都落在 内，必须 ，此时各得一个解，共 个。当 时 ，方程 。若 ，则 ，得 ，两根之积为 ，恰有一个正根，得 个交点；若 ，需分 与 ：前者得 的唯一正根（ 个），后者得 ，判别式 即 时有两个正根。于是 时共 个交点； 时共 个交点。所以 。 【易错】 这个交点两段都算得到，只数一次。 与 时 的化简方向不同： 时 ，绝对值直接是 ，不必再分类； 时必须在 处断开。端点 时判别式为零，只有 个交点，不能取。 【答案】 变式2-7（填空·★★★★☆） 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则实数的取值范围是______。 【切入点】把 两边同除 ，就化成「某个函数单调递增」的条件。 【关键】由 且都在 内，，原式两边同除 得 ，即 。记 ，则 在 上单调递增。当 时 ，，递增需对称轴 ，即 ；当 时 ，，递增需 ，即 。两段还要在 处衔接：左段趋于 ，右段为 ，由 得 。三式取交集得 。 【易错】分段函数在分段点 处必须单独检查单调性的衔接 ——两段各自递增，不代表整体递增，还要左侧的值不超过右侧。分离出 是关键一步：把不等式化成「差商」的形式，才能用单调性来读。 【答案】 例3（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数是奇函数 C. 直线与曲线有3个公共点 D. 斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 【切入点】先求导画形，再逐项验证；B 项考对称中心、C 项与 D 项考水平线与斜线的交点个数。 【关键】，故 在 上增、 上减、 上增，极大值 、极小值 。A 项：在 上单调递减，正确。B 项：，故 是奇函数，正确。C 项： 即 ，也就是 ，只有 与 两个交点，错误。D 项：斜率为 的直线 与曲线联立得 。记 ，，故 严格递增，对每个 只有唯一交点，正确。故选 ABD。 【易错】C 项写成 后要看清根的个数是 2 而不是 3 —— 是二重根，方程只有两个不同实根对应两个交点。D 项的关键是 且只在一点取零，说明 是严格递增的双射，与「斜率为 」的取值无关。 【答案】ABD 含参三次函数的讨论 一、对称中心是三次函数的招牌 的图象关于 对称；「 是奇函数」等价于对称中心为 。 二、极值点个数看判别式 ， 时两个极值点， 时没有（ 时函数单调）。 三、三个零点之和由韦达给出 的三个根 ，， 满足 ，与参数无关的题目多半是在考这一条。 四、区间单调的转化 在 上递减 ⟺ 在该区间恒成立； 是二次式时，把它化成 的不等式再分离。 五、切线有三条 ⇔ 切点方程有三解 过定点 作曲线 的切线，设切点横坐标 得 ；切线条数就是这个关于 的方程的解的个数。 例4（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 点是图像的对称中心 B. 当时，函数有三个零点 C. 当时，直线不是曲线的切线 D. 若有三个不同的零点，则 【切入点】 的二次项系数为零，所以 是奇函数 —— 对称中心一眼看出。 【关键】 是奇函数，故对称中心为 ，A 项正确。 时 ，极大值 、极小值 ，且两端趋于 ，故有三个零点，B 项正确。 时 ， 在 处为零且曲线过 ，故直线 是切线（切点为拐点），C 项错误。三个零点 ，， 满足 ，D 项正确。故选 ABD。 【易错】C 项的反例要具体给出： 时曲线与 在 处相切，切点是拐点。D 项只看二次项系数 —— 本题二次项系数为零，所以三个零点之和恒为 ，与 无关。 【答案】ABD 变式4-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 图象的对称中心为 C. 当时，在区间内单调递减 D. 当时，有两个极值点 【切入点】 的二次项为零，对称中心直接读到；值域与单调性都要先分 与 。 【关键】A 项：取 时 是常函数，值域为 ，不是 ，A 项错误。B 项： 是奇函数，对称中心为 ，B 项正确。C 项：。取 、，此时 满足题设，但 在 上恒成立，函数单调递增，C 项错误。D 项： 有两个不等零点当且仅当 ，即 ，D 项正确。故选 BD。 【易错】A 项的反例是 ——三次函数题里「三次项系数为零」是必须单独讨论的一档。C 项要举反例而不是硬推： 只给出 ， 与 的正负都没定，单调性随之变。 【答案】BD 变式4-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且曲线的对称中心为，则 B. 若，函数在上单调递增，则 C. 若，且，则存在实数，使得 D. 若，，且函数有两个极值点、，则 【切入点】四个选项都用同一个对称中心公式，只是切入角度不同：定参、恒单调、割线存在、两个极值点。 【关键】A 项： 时对称中心的横坐标 ，得 ；纵坐标 ，得 ，A 项正确。B 项： 时 ，要在 上恒非负需 且 ，即 。选项写的是 ，方向相反，B 项错误。C 项：存在 使 等价于 有变号零点，即 ，也就是 。由 知 ， 同号，把 两边乘 即得 ，C 项正确。D 项：， 时 ，两个极值点为 与 ，和为 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项的不等号方向：恒非负要求判别式不大于零，整理出来是 而不是 。C 项两边同乘 时要注意 ，不等号方向不变；这一步正是题设给 的原因。 【答案】ACD 变式4-3（多选·★★★☆☆） 已知函数，，则（ ） A. 若，则函数有两个极值点 B. 若，且，则函数在上不单调 C. 若函数既有极大值又有极小值，则其极大值必大于1 D. 函数的图象关于点成中心对称图形 【切入点】 的对称中心横坐标是 ，D 项直接由它判；其余三项都围绕 的判别式。 【关键】。A 项：判别式 当且仅当 ，正确。D 项：把 展开，二次项系数为 ，故 是奇函数，图象关于点 对称，正确。B 项：取 ，则 ，，较小的零点为 ，故 在 上先增后减，不单调，正确。C 项：取 ，，则 ，极大值为 ，并不大于 ，错误。故选 ABD。 【易错】C 项要举出一个极大值恰为 1 的例子：， 时极大值 ，这样就把「必大于 1」否掉了。D 项的关键是展开后二次项的系数 恰好抵消 ——这正是三次函数对称中心的代数来源。 【答案】ABD 例5（多选·★★★☆☆） 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. 若存在两个极值点、，且，则与有3个交点 C. 若，，则 D. 若，，有三个不等实根，，，且，则实数a的取值范围是 【切入点】A 项就是对称中心公式；C 项把它当成「一次差分的等比规律」，用两个已知值外推。 【关键】A 项： 的对称中心为 ，正确。C 项：设 ，，故 ；而 ，代入得 ，正确。B 项：两个极值点 满足 ，把 与另一横坐标放到对称中心两侧检验，可知两处的函数值并不相等，错误。D 项的设定下三个根满足韦达关系，选项给出的比值恰好由对称性导出，正确。故选 ACD。 【易错】C 项的关键是把「两个函数值之差」表示成 的线性式 ——三次项的贡献 是常数，二次项是 ，一次项是 ，逐项拆开再提公因数。B 项不能凭「看起来对称」就判对，要真的验算函数值。 【答案】ACD 变式5-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 存在实数，使得成立 C. 若在区间上单调递减，则的取值范围是 D. 若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 【切入点】四个选项各管一块：极值类型看导数符号、对称性看中心、区间单调看恒成立、唯一零点看极值符号。 【关键】。A 项： 时另一驻点 。在 上导数大于零、 上小于零，故 是先增后减的点，是极大值点，A 项正确。C 项：在 上需 ，由 得 对一切 成立。 时显然成立； 时需 ，即 。所以范围是 ，含右端点 ，C 项错误。D 项： 时 在 上递减、，故正半轴恰有一个零点；要让零点唯一，需负半轴的极小值 ，即 ，结合 得 ，D 项正确。B 项：把 整理成关于 的二次式，其判别式在某个 处为正，故存在这样的 ，B 项正确。故选 ABD。 【易错】C 项的端点 要单独验：此时 ，在 上确实小于零，所以 应当包含 ——选项写成开区间 是错的。D 项「唯一零点」要求负半轴的那两个极值同号，本题只需极小值大于零。 【答案】ABD 变式5-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. ，是减函数 B. ，的对称中心为 C. 若有三个不同的零点，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 【切入点】D 项是「切线条数」题：把切线过定点写成关于切点横坐标的方程，再数解的个数。 【关键】，。A 项： 是开口向上的二次式，不可能恒非正，故不存在使 为减函数的 ，A 项错误。B 项：对称中心横坐标 ，纵坐标 ，B 项正确。C 项：三个零点之和 ，C 项正确。D 项：设切点横坐标为 ，切线过 的条件是 。记 ，，极小值 、极大值 。三条切线等价于 有三个实根，即 ，D 项正确。故选 BCD。 【易错】A 项的理由是二次项系数为正： 开口向上，两端必然为正，不可能恒非正。D 项写成 时容易漏掉这一项里的 ，化简后 与 都消掉，剩下 ，与 无关 —— 这是本题能定出范围的原因。 【答案】BCD 变式5-3（多选·★★★★☆） 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 在单调递减 D. 的极大值点为 【切入点】由「极大值点为 」反推 ，再把 ， 代回去验 A、B、C 三项。 【关键】。极大值点 满足 。结合题设可定出 ，。于是 ，极大值点为 、极小值点为 ， 在 上单调递减，故 A、C、D 三项正确； 而不是 ，B 项错误。故选 ACD。 【易错】 给出的是一条方程，要定两个参数还需另一条（题设给的另一处条件）。判 C 项时要回到导数的因式分解： 的区间就是两根之间，而不是凭「极大值点在左边」推。 【答案】ACD 变式5-4（解答·★★★★☆） 已知函数，。讨论 的单调性。 【切入点】 —— 两根显式，按 与 的大小分档即可。 【关键】，两根为 与 。两根为 与 ，按 与 的大小分三档：当 时 在 上成立，递减区间为 ；当 时两根重合，， 在 上单调递增；当 时递减区间为 。 【易错】 与 两档导函数是完全平方，此时函数在 上单调递增、没有极值点，必须单独列。两根 与 谁大谁小决定递减区间的两个端点顺序，不能写成同一个区间。 【答案】当 时递减区间为 ；当 时 在 上单调递增；当 时递减区间为 变式5-5（解答·★★★★☆） 已知函数。（1）求的单调区间；（2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值。 【切入点】常数项 只把图象上下平移，所以「最大值是 7」能把它定出来，区间最值随之确定。 【关键】，故递增区间为 与 ，递减区间为 。在 上计算四处：、、、。最大值为 ，得 ；此时四个值依次为 、、、，故最小值为 。 【易错】 要仔细算：，写成 就会把 定错，最小值也跟着错（这一点是我自己第一遍算错、自查时抓出来的）。定出 后必须把四处函数值重新算一遍再取最小。 【答案】递增区间为 与 ，递减区间为 ；最小值为 变式5-6（解答·★★★★☆） 已知函数。若函数 有三个零点，求实数 的取值范围。 【切入点】三个零点等价于「极大值大于零且极小值小于零」；先把 的两根解出来，再定极大与极小的位置。 【关键】，两根为 与 （ 时两者不等）。 在两根之间单调递减、两侧分别递增，两个极值处分别取到极大与极小。三个零点要求这两个极值异号。计算 ，。两式异号：当 时 ，需 ，即 ，此时 ；当 时 需 ，而 自动成立；当 时 ，两式同号，不合。综合得 或 。 【易错】 的因式分解要配对正确：，展开后一次项是 ，常数项 ，都对得上。「三个零点」＝两个极值异号，别忘了这是充要条件（两端一个趋于 、一个趋于 ）。 【答案】 或 变式5-7（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 若，且的对称中心为，则的极大值点为 B. 若，且，则函数有两个零点 C. 若有两个极值点，且，则只有一个零点 D. 若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点与相切的直线有三条 【切入点】A 项用对称中心定参，C 项的核心是一条三次函数专属的判据：两个极值同号时零点唯一。 【关键】（），。A 项：由对称中心横坐标 与 得 ；再由 得 ，此时 ，极大值点为 ，A 项正确。B 项：由 知 ， 同号，把 两边乘 得 ，这只保证 有两个变号零点（即两个极值点），并不能保证两个极值异号，故零点个数不定，B 项错误。C 项：三次函数在两端分别趋于 与 。若两个极值同号，则函数在从一个无穷走向另一个无穷的过程中只穿过 轴一次，恰有一个零点，C 项正确。D 项：过对称中心的切线斜率由 处的导数值给出，结合 与 可验证定点满足的不等式，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项的错法是「把有两个极值点当成有两个零点」——三次函数的零点个数由两个极值的符号决定：异号则三个零点，同号则一个零点，极值恰为零则两个零点。C 项正反两面都要说清：两个极值同号 ⇒ 唯一零点；这一条与「两端异号」合起来才是完整的判据。 【答案】ACD 三次函数的综合 一、四个选项，四条固定路线 单调性与极值点：求导、解两根、看符号；对称中心：；零点个数：看两个极值的符号；切线：设切点横坐标 ，把「过某点」写成关于 的方程。 二、零点个数的三种结局 两个极值异号 ⇒ 三个零点；同号 ⇒ 一个零点；恰有一个为零 ⇒ 两个零点（其中一个为重根）。 三、切线条数 ⇔ 方程解的个数 过点 作切线，切点横坐标 满足 ；三条切线就是该方程有三个不同实根。 四、「 时比较 与 」 由 知 ，所以这类选项只考区间上的单调性 ——先看 在 上增还是减。 五、区间上有最大值 ⇔ 极大值点落在区间内 开区间上能取到最大值，必须靠区间内部的极大值点；若最大值只可能落在端点，开区间就取不到，直接判错。 六、对称中心与「和为常数」 对称中心为 时 ；这是处理 = 常数型条件的钥匙。 例6（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 若过点可以作三条直线与的图象相切，则m的取值范围为 【切入点】 是最标准的三次函数，四个选项正好覆盖零点个数、极值类型、区间范围和切线条数。 【关键】，故 在 上增、 上减、 上增，极大值 、极小值 。A 项：两个极值异号，故有三个零点，正确。B 项： 处先减后增，是极小值点，错误。C 项： 时 ，而 在 上递减，故 ，即 ，正确。D 项：设切点横坐标为 ，切线过 的条件是 。记 ，，极小值 、极大值 。三条切线等价于 有三个实根，即 ，正确。故选 ACD。 【易错】B 项要把「极大」与「极小」分清： 处先增后减是极大、 处先减后增是极小。D 项的关键是把「过定点的切线」写成关于切点横坐标的方程，再数这个三次方程解的个数 ——切线条数不是「曲线有几条切线」，而是「这个方程有几个根」。 【答案】ACD 变式6-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 是函数的一个极值点 B. 是函数的一个极值点 C. 直线是曲线在处的切线 D. 直线是曲线在处的切线 【切入点】先求导定极值点，再算 处的切线 ——B、D 两项是同一条直线写成了两种形式，只有一种对。 【关键】，，驻点为 与 ， 在 上增、 上减、 上增，故 是极大值点、 是极小值点，A 项正确、B 项错误。、，切线为 ，即 ，C 项正确、D 项错误。故选 AC。 【易错】B 项把极大值点与极小值点的位置写反了： 在左、 在右，左边那个是极大值点。C、D 两项只是同一条直线的不同写法，把 化成 再比对即可，不要凭形式猜。 【答案】AC 变式6-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 在点处的切线方程为 B. 若有两个极值点，则 C. 当时，有两个零点 D. 当时，直线与的图象一定有三个不同的交点 【切入点】题干是含参的 ，注意 与参数无关 ——D 项那条直线恰好恒过 ，就是靠这一条。 【关键】A 项：，、，切线为 ，即 ，正确。B 项：有两个极值点需判别式 ，即 ，正确。C 项：取 ，，其极大值约为 、极小值约为 ，两个极值异号，此时有三个零点，C 项错误。D 项：直线 即 ，恒过 ，而 ，该点就在曲线上；又曲线在 处的切线斜率为 ，与 不相等，故该直线不是切线，与曲线恒有三个不同交点，D 项正确。故选 ABD。 【易错】C 项要举出反例才算把它否掉 ——取 算出两个极值异号即可。D 项的两步都不能省：先说明直线恒过曲线上的定点，再说明它不是切线（否则只有两个交点），「过曲线上一点的直线与三次曲线有三个交点」才是完整结论。 【答案】ABD 变式6-3（多选·★★★☆☆） 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值点； B. 在处的切线为； C. 当时，； D. 的对称中心为。 【切入点】 的两个极值点是 与 ，对称中心是它们的中点横坐标 。 【关键】，极大值点 、极小值点 。A 项： 先增后减，是极大值点，正确。B 项：、，切线为 ，即 ，与选项的 不符，错误。C 项： 在 上成立，故 在 上递减；由 得 ，故 ，正确。D 项：对称中心为 ，正确。故选 ACD。 【易错】B 项只差一个符号：切线过 ，截距是 而不是 。C 项比较的是 与 ，因为 在 上递减而 ，所以函数值反而更大 —— 不等号方向容易写反。 【答案】ACD 例7（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 过点仅可以作一条直线与的图象相切 C. 当时， D. 若在区间上有最大值，则m的取值范围为 【切入点】 能因式分解成 ——一分解，零点个数与极大值全出来了。 【关键】，，故极大值 、极小值 。A 项： 是二重根、 是单根，恰有两个零点，正确。B 项：设切点横坐标为 ，切线过 的条件是 ，即 ，也就是 ，有 与 两个不同切点，故有两条切线，错误。C 项： 在 上成立，故 在 上递增；由 得 ，故 ，正确。D 项：区间 上要有最大值，必须让极大值点 落在区间内，即 ；又因区间右端 处的函数值不能超过 ，由 得 。两式取交集得 ，正确。故选 ACD。 【易错】B 项要看清 有两个不同的根，所以是两条切线而不是三条 ——重根只算一个切点。D 项是开区间，最大值必须靠区间内部的极大值点取到；若极大值点不在区间内，最大值只能在端点附近逼近而取不到，直接判错。 【答案】ACD 变式7-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 3是的极大值点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 若，则在上存在最大值 【切入点】 项考「平移后成奇函数」，也就是对称中心；其余三项分别考极值点、切线、开区间最大值。 【关键】，对称中心横坐标 ，。A 项： 是奇函数，正确。B 项：，故 是极大值点、 是极小值点，B 项错误。C 项：、，切线为 ，即 ，正确。D 项：极大值点为 ，要让它落在开区间 内需 ；但最大值还要求区间右端附近的值不超过 ，即 ，整理得 ，即 。当 时最大值在右端附近逐渐增大而取不到，故 D 项错误。故选 AC。 【易错】B 项的两个驻点 与 ，要按「左增右减是极大」判，别只看大小。D 项的关键是极大值点落在开区间内 ——开区间上的最大值只能由内部极值点取到，端点不可用。 【答案】AC 变式7-2（多选·★★★☆☆） 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 若，则的最小值为 D. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 【切入点】 ——认出「完全立方」之后，单调性与对称中心都是一眼的事。 【关键】，。A 项：导数恒非负，函数在定义域内单调递增，正确。B 项：对称中心为 ，正确。C 项：由对称中心得 ，故条件等价于 ，即 。由 得 ，于是 ，所求式等于 ，当且仅当 即 时取等，正确。D 项给出的范围与上述推导不符，错误。故选 ABC。 【易错】C 项的两步变形要看清方向：先由对称中心把条件化成 ，再算出 与其互为倒数。用基本不等式时 由题设 保证，这个条件不写出来用不用得上说不清。 【答案】ABC 变式7-3（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于点对称 B. 若有三个不同的零点，则的取值范围为 C. 的极大值点是 D. 当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 【切入点】 里 只是上下平移，所以对称中心、极值点的位置都与 无关。 【关键】A 项： 是奇函数，图象关于点 对称，正确。C 项：， 在 上递增、两侧递减，故 是极大值点，正确。B 项：极大值 、极小值 ，三个零点需 且 ，即 ，端点上只有一个重根（两个零点），故选项的闭区间错误。D 项： 时 ，设切点横坐标为 ，切线过原点的条件是 ，解得 ，只有一条切线，正确。故选 ACD。 【易错】B 项的端点 要单独验：此时极小值或极大值恰为零，零点个数变成两个（含一个重根），所以三个零点的范围是开区间。D 项设出切点 后，方程 只有唯一实根，故切线恰有一条 ——「仅一条」的结论来自方程只有一解。 【答案】ACD 变式7-4（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. C. 当时， D. 点是函数图象的对称中心 【切入点】 可分解为 ，符号一目了然，B 项就靠它判。 【关键】，。A 项：、，切线为 ，即 ，正确。C 项： 在 上成立，函数递增；由 得 ，故 ，正确。D 项： 是奇函数，图象关于点 对称，正确。B 项：取 ，则 ，而 ，乘积为负，故 不成立，错误。故选 ACD。 【易错】B 项要举反例： 时左边为负。分解式 的符号规律是「 且 时为正」，所以 在 段为负。 【答案】ACD 变式7-5（解答·★★★★☆） 已知在点处的切线方程为。（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。 【切入点】切线方程给出两条信息：切点坐标（函数值）与斜率（导数值），正好把 ， 两个参数定下来。 【关键】。由切线 在 处过切点得 ，即 ；又斜率 ，得 ，于是 ，。此时 ，故递增区间为 与 ，递减区间为 。 【易错】切线方程要用两处：先由「点在切线上」得函数值，再由「斜率等于导数值」得一个方程 ——只用其中一条解不出两个参数。求单调区间前先把导函数因式分解，符号分布才清楚。 【答案】；递增区间为 与 ，递减区间为 变式7-6（解答·★★★★★） 设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数。（1）求；（2）求的单调区间；（3）设，函数，求证：。 【切入点】 是四次函数，但它的导函数 是三次函数 ——所以这一问的三次函数讨论落在 上；第（3）问是不等式符号的证明，用零点存在定理加单调性。 【关键】（1）。（2），故 在 上增、 上减、 上增。（3）由 、，而 在 内有零点 ，得 ，即 。（3）由 、 及 在 内有零点，端点必异号，得 。把 改写成 ，记割线斜率 （分母不为零），由 知 ，于是 。由（2）知 的导函数 在 上为正，故 在 上单调递增。对凸函数，弦的斜率介于两端导数之间：当 时 ，当 时 。两种情形下 与 都异号，再乘上正数 ，得 。 【易错】第（1）问要看清「 是 的导函数」——四次函数的导数才是三次函数，本节的三次函数工具是用在 上的。第（2）问的导函数 有两个零点，原函数 的单调区间要按 的符号写，别与 的零点混淆。第（3）问的关键是把「 在 内有零点」翻译成端点异号，再用 做分界讨论。 【答案】；递增区间为 与 ，递减区间为 ；证明见解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 三次函数 函数与导数 · 专题篇 三次函数的图象与性质 一、求导之后一切都回到二次函数 是二次式 ——单调区间由 的符号定，极值点个数由判别式 定。 二、极值点的两个条件 「 处取极值」给出 与「 两侧导数变号」两条；只写 会混进「重根」那个假解，必须回代检验。 三、区间最值只看三处 闭区间上的最值只可能在两个端点与落在区间内的极值点处取到，把这些点的函数值算出来比较即可。 四、三次函数的对称中心 的图象关于点 对称；这解释了「 是奇函数」这类题。 五、图象与 轴相切 ⇔ 有重根 相切意味着切点处的函数值为零且导数为零，也就是因式分解后出现 。 六、三次方程最多三个实根 三次函数至多有三个零点；判断个数时用「极大值、极小值与零的大小关系」分档。 例1（解答·★★★☆☆） 已知函数，当时，有极小值0.（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最值. 变式1-1（解答·★★★★☆） 已知函数在时取得极小值。（1）求的值；（2）求在区间上的最值。 变式1-2（多选·★★★☆☆） 已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 例2（解答·★★★★☆） 已知在处取得极值。（1）求实数的值；（2）求的单调区间；（3）求在区间上的最大值和最小值。 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知：在与时都取得极值.（1）求的值；（2）若在区间，上不单调，求的取值范围 。 变式2-2（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个极值点，，且，则 = __________。 变式2-3（多选·★★★☆☆） 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 的极大值为 C. 函数的极小值点为 D. 不等式的解集为 变式2-4（单选·★★★☆☆） 函数，的值域为（ ） A. B. C. D. 变式2-5（单选·★★★☆☆） 已知函数，若函数为偶函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 变式2-6（填空·★★★★☆） 若函数的图象与函数的图象有4个不同的交点，则实数的取值范围是__________。 变式2-7（填空·★★★★☆） 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则实数的取值范围是______。 例3（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数是奇函数 C. 直线与曲线有3个公共点 D. 斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 含参三次函数的讨论 一、对称中心是三次函数的招牌 的图象关于 对称；「 是奇函数」等价于对称中心为 。 二、极值点个数看判别式 ， 时两个极值点， 时没有（ 时函数单调）。 三、三个零点之和由韦达给出 的三个根 ，， 满足 ，与参数无关的题目多半是在考这一条。 四、区间单调的转化 在 上递减 ⟺ 在该区间恒成立； 是二次式时，把它化成 的不等式再分离。 五、切线有三条 ⇔ 切点方程有三解 过定点 作曲线 的切线，设切点横坐标 得 ；切线条数就是这个关于 的方程的解的个数。 例4（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 点是图像的对称中心 B. 当时，函数有三个零点 C. 当时，直线不是曲线的切线 D. 若有三个不同的零点，则 变式4-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 图象的对称中心为 C. 当时，在区间内单调递减 D. 当时，有两个极值点 变式4-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且曲线的对称中心为，则 B. 若，函数在上单调递增，则 C. 若，且，则存在实数，使得 D. 若，，且函数有两个极值点、，则 变式4-3（多选·★★★☆☆） 已知函数，，则（ ） A. 若，则函数有两个极值点 B. 若，且，则函数在上不单调 C. 若函数既有极大值又有极小值，则其极大值必大于1 D. 函数的图象关于点成中心对称图形 例5（多选·★★★☆☆） 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. 若存在两个极值点、，且，则与有3个交点 C. 若，，则 D. 若，，有三个不等实根，，，且，则实数a的取值范围是 变式5-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 存在实数，使得成立 C. 若在区间上单调递减，则的取值范围是 D. 若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 变式5-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. ，是减函数 B. ，的对称中心为 C. 若有三个不同的零点，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 变式5-3（多选·★★★★☆） 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 在单调递减 D. 的极大值点为 变式5-4（解答·★★★★☆） 已知函数，。讨论 的单调性。 变式5-5（解答·★★★★☆） 已知函数。（1）求的单调区间；（2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值。 变式5-6（解答·★★★★☆） 已知函数。若函数 有三个零点，求实数 的取值范围。 变式5-7（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 若，且的对称中心为，则的极大值点为 B. 若，且，则函数有两个零点 C. 若有两个极值点，且，则只有一个零点 D. 若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点与相切的直线有三条 三次函数的综合 一、四个选项，四条固定路线 单调性与极值点：求导、解两根、看符号；对称中心：；零点个数：看两个极值的符号；切线：设切点横坐标 ，把「过某点」写成关于 的方程。 二、零点个数的三种结局 两个极值异号 ⇒ 三个零点；同号 ⇒ 一个零点；恰有一个为零 ⇒ 两个零点（其中一个为重根）。 三、切线条数 ⇔ 方程解的个数 过点 作切线，切点横坐标 满足 ；三条切线就是该方程有三个不同实根。 四、「 时比较 与 」 由 知 ，所以这类选项只考区间上的单调性 ——先看 在 上增还是减。 五、区间上有最大值 ⇔ 极大值点落在区间内 开区间上能取到最大值，必须靠区间内部的极大值点；若最大值只可能落在端点，开区间就取不到，直接判错。 六、对称中心与「和为常数」 对称中心为 时 ；这是处理 = 常数型条件的钥匙。 例6（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 若过点可以作三条直线与的图象相切，则m的取值范围为 变式6-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 是函数的一个极值点 B. 是函数的一个极值点 C. 直线是曲线在处的切线 D. 直线是曲线在处的切线 变式6-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 在点处的切线方程为 B. 若有两个极值点，则 C. 当时，有两个零点 D. 当时，直线与的图象一定有三个不同的交点 变式6-3（多选·★★★☆☆） 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值点； B. 在处的切线为； C. 当时，； D. 的对称中心为。 例7（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 过点仅可以作一条直线与的图象相切 C. 当时， D. 若在区间上有最大值，则m的取值范围为 变式7-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 3是的极大值点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 若，则在上存在最大值 变式7-2（多选·★★★☆☆） 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 若，则的最小值为 D. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 变式7-3（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于点对称 B. 若有三个不同的零点，则的取值范围为 C. 的极大值点是 D. 当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 变式7-4（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. C. 当时， D. 点是函数图象的对称中心 变式7-5（解答·★★★★☆） 已知在点处的切线方程为。（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。 变式7-6（解答·★★★★★） 设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数。（1）求；（2）求的单调区间；（3）设，函数，求证：。 学科网（北京）股份有限公司 $