6.1.1《立体图形》讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第九讲 立体图形 模块一：立体图形的相关概念 1．几何图形： (1)几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形； (2)立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体等）的各部分不全在同一平面内，它们是立体图形； (3)平面图形：有些几何图形（如线段、角、正方形等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形． 2．点、线、面、体： (1)点、线、面、体的概念： ①几何体也简称为体，例如长方体、正方体等； ②包围着体的是面，面有平面和曲面两种； ③面与面相交的地方形成线，线有直线和曲线两种； ④线与线相交形成点； (2)点动成线、线动成面、面动成体． 3．几何图形都是由点、线、面、体构成的，点是构成图形的基本元素． 4．基本图形 常见的几何体 名称 特征 圆柱 由三个面组成，上、下两个底面是半径相同的圆，侧面是曲面． 棱柱 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，一般只讨论直棱柱，其上、下两个面为形状、大小相同的多边形，其余各面为长方形；底面为边形的棱柱叫棱柱． 圆锥 由两个面围成，底面是圆形，侧面为曲面，有一个顶点． 棱锥 由底面与侧面组成，底面为多边形，侧面为三角形；底面为边形的棱锥叫棱锥． 球 由一个曲面围成． 5．图形的分类 分类标准 圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球 按柱、锥、球分类 柱 圆柱、棱柱 锥 圆锥、棱锥 球 球 按面是否有曲面 直面体 棱柱、棱锥 曲面体 圆柱、圆锥、球 按是否有顶点 是 棱柱、圆锥、棱锥 否 圆柱、球 6．欧拉公式：． 【例1】认识立体图形和平面图形 (1)下图中，立体图形有____个，平面图形有____个；在平面图形中，由4条线段组成的图形有____个，由曲线组成的图形有____个. (2)下列几何体属于柱体的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (3)如下图，柱体有___个，其中_________是圆柱，_________是棱柱；锥体有___个，其中___________是圆锥，___________是棱锥． 【答案】(1)7，10，5，5；(2)D；(3)2，b，c；2，g，e． 【例2】空间几何体相关元素和计数 (1)一个棱柱有________个顶点，________个面，________个侧面． (2)下列的立体图形中，有4个面的是(　　) A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 (3)一个棱柱有12条棱，那么它的底面一定是(　　) A．十八边形 B．六边形 C．四边形 D．八边形 【解答】(1) ， ，；(2)A；(3)C． 【例3】点动成线，线动成面，面动成体 (1)用钢笔写字是一个生活中的实例，用数学原理分析，它所属于的现象是(　　) A．点动成线 B．线动成面 C．线线相交 D．面面相交 (2)下面现象说明“线动成面”的是(　　) A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 B．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线 C．天空划过一道流星 D．汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹 (3)(2025荔湾区期末)将下列平面图形绕轴旋转一周,可得到右图中所示的立体图形的是(　　) A． B． C． D． (4)如图，长方形的长和宽分别是7cm和3cm，分别绕着它的长和宽所在的直线旋转一周，回答下列问题： ①如图(1)，绕着它的宽所在的直线旋转一周，所得到的是什么样的几何体？得到的几何体的体积是多少？(π取3.14) ②如图(2)，绕着它的长所在的直线旋转一周，所得到的是什么样的几何体？得到的几何体的体积是多少？(π取3.14) 【解答】(1)A；(2)D；(3)D； (4)解：①得到的是底面半径是7cm，高是3cm的圆柱， V=3.14×72×3 =461.58()， 答：得到的几何体的体积是461.58 ； ②得到的是底面半径是3cm，高是7cm的圆柱， V=3.14×32×7 =197.82()， 答：得到的几何体的体积是197.82． 【例4】欧拉公式 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______； (2)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由五边形和六边形两种多边形拼接而成，且有60个顶点，每个顶点处都有3条棱，分别求该简单多面体的外表面五边形和六边形的个数． 【解答】解：(1)顶点数(V)+面数(F)﹣棱数(E)=2； (2)∵有60个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； ∴共有60×3÷2=90条棱， ∴五边形和六边形的个数分别为12和20． 模块二：几何体的截面与展开图 1．截面：用一个平面去截一个立体图形，截出的面叫做截面． 2．展开图：将立体图形的表面沿某些棱剪开，可以展成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图，正方体平面展开图一共11种，分为4大类． (1)141型 中间4个做为侧面，上下两个各做上下底面． (2)132型 (3)33型 (4)222型 【例5】空间几何体的截面 (1)用一个平面去截一个几何体，得到的截面是平面四边形，这个几何体不可能是(　　) A．三棱锥 B．棱柱 C．四棱台 D．球 (2)用一个平面去任意截下面几何体，所得截面为圆的可能性最大的是(　　) A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．球 (3)用一个平面去截一个正方体，余下的几何体最多有(　　)个面． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】(1)D；(2)D；(3)D． 【例6】正方体展开图形状判断 (1)下列图形中，不是正方体展开图形的是(　　) A． B． C． D． (2)下列图形是正方体的展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是(　　) A．(1)和(2) B．(1)和(3) C．(2)和(3) D．(3)和(4) 【答案】(1)D；(2)D． 【例7】正方体展开图找对面问题 (1)(2025南沙区期末)如图是正方体的展开图，每个面均有一个汉字，把展开图折叠成正方体后，“学”的相对面是“习”，则“勒”与“力”的位置关系是______．(填“相邻”或“相对”) (2)如图为一个多面体的表面展开图，每个面内都标注了数字．若数字为的面是底面，则朝上一面所标注的数字为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 (3)如图，一个正方体，其对面图案都相同，那么这个正方体的展开图可能是(　　) A． B． C． D． 【解答】(1)相邻；(2)D；(3)B． 【例8】正方体展开图中标志位置问题 (1)有一个正方体和四个展开的正方体表面图形，(　　)可以折成如下图的正方体； A． B． C． D． (2)如图，下面哪一个图形是这个正方体的展开图(　　) A． B． C． D． 【解答】(1)B：(2)C． 【例9】其它几何体展开图 (1)在下列各平面图形中，圆锥的表面展开图是(　　) A． B． C． D． (2)下列图形中为三棱柱的表面展开图的是(　　) A． B． C． D． (3)下图所示的展开图能折叠成的长方体是(　　) 【答案】(1)C；(2)B；(3)C． 模块三：几何体的三视图 1．从正面看到的图叫主视图，也叫正视图． 2．从左面看到的图叫左视图． 3．从上面看到的图叫俯视图． 主视图、左视图、俯视图统称三视图． 【例10】三视图的判断 (1)如图“马头牌”冰激凌，它的三视图是(　　) A． B． C． D． (2)用6个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，如果拿去它上面的1个小正方体，则关于新的立体图形的三视图的说法中正确的是(　　) A．左视图没有变化 B．左视图一定没有变化 C．俯视图没有变化 D．左视图和俯视图都没有变化 (3)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(　　) ①正方体，②圆锥，③正三棱台，④正四棱锥． A．①② B．①③ C．①③ D．②④ 【答案】(1)B；(2)C；(3)D． 【例11】由三视图还原几何体 (1)一个几何体的主视图、左视图、俯视图的图形完全相同，它可能是(　　) A．三棱锥 B．长方体 C．球体 D．三棱柱 (2)若一个立体图形从正面看与从左面看到的平面图形都是等腰三角形，从上面看到的平面图形是圆，则这个立体图形可能是(　　) A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．三棱锥 【答案】(1)C；(2)C． 【例12】从三视图确定小正方体的个数 (1)右图是由若干个相同的小正方体组成的立体图形的三视图．则组成此立体图形的小正方体的个数是(　　) A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 (2)如图所示是由几个完全相同的小正方体组成的几何体的三视图．若小正方体的体积是1，则这个几何体的体积为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (3)桌上摆放着一个由若干个相同正方形组成的几何体，其主视图和左视图如下所示，这个几何体最多可由______个这样的正方体，最少可由______个这样的正方体． 【答案】(1)B；(2)C；(3)个，个． 【例13】根据三视图计算体积、表面积 棱长为的正方体摆放成如图的形状，问： (1)如图摆放成的几何体，共有几个正方体？表面积是多少？ (2)如果将正方体按如图的方式摆放4层，共有几个正方体？表面积是多少？ (3)若摆放成层，那么几何体表面积又是多少． 【解答】解：(1)图中个正方体，根据以上分析该物体的表面积为； (2)根据以上分析可得：如果将正方体按如图的方式摆放4层，则4层共有个正方体，表面积为； (3)由题意知，从正面看到的正方形个数有个， 表面积为：． 巅 峰 突 破 【突破1】直四棱柱，长方体和正方体之间的包含关系是(　　) 【答案】A． 【突破2】将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4)放置于水平桌面上，如图，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，若骰子的初始位置为图所示的状态，那么按上述规则连续完成 16 次变换后，骰子朝上一面的点数是________． 【答案】5． 【突破3】如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位：cm)，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是(　　) A． B． C． D． 【解答】C． 【突破4】如图所示，由27个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，若自上而下和从前到后去掉中间的小正方体，则剩下的几何体的表面积是(　　) A．68 B．25 C．52 D．74 【答案】根据题干可得，去掉后原正方体减少了4个小正方体的面(上、下、前、后各一个)，而又增加了 个小正方体的面，所以去掉后实际是比原来增加了 个小正方体的面，再加上左右两个面，由此即可解决问题． 答：剩下的几何体的表面积是68． 故选：A． 【突破5】(2025天河区期末)某校七年级(6)班同学们计划用卡纸制作长方体礼盒，图1为长方体礼盒不完整的展开图和尺寸、、(单位：厘米). (1)用直尺在图1中适当的位置画一个长方形，补全展开图； (2)若将补全的展开图制作成长方体礼盒，用彩带(加粗线)按照图2的示意图进行包装，问： ①填空：长方体礼盒的棱长为____________； ②若彩带价格为每厘米2元，则包装彩带至少要花费多少元？ 【答案】(1)如图所示 (2)①； ②． 课 后 自 测 【练习1】如图，在下列几何体中是棱柱的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【练习2】如图，直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是(　　) 【答案】C． 【练习3】周长为20的矩形绕其一边所在直线旋转形成一个封闭几何体，则该几何体的侧面积的最大值是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【练习4】(2025黄浦区期末)如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“国”字一面的相对面上的字是(　　) A．少 B．年 C．强 D．则 【练习5】如下图所示的几何体,其俯视图是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【练习6】如图，一个几何体由5个大小相同．棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是(　　) A．主视图的面积为5 B．左视图的面积为3 C．俯视图的面积为3 D．三种视图的面积都是4 【答案】B． 【练习7】一个外表涂上红漆的长方体木块，长．宽都是2厘米，高是3厘米，如果把它切成体积都是1立方厘米的小正方体，一共可以切成________个，其中有两个面涂有红漆的有______个． 【答案】12，4． 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $