精品解析：福建福州市福清西山学校2024-2025学年第一学期九年级12月份适应性练习数学（试题）

福建福州市福清西山学校2024-2025学年第一学期九年级12月份适应性练习数学（试题） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 某种彩票中奖率为，买张该种彩票一定会中奖 B. 正月十五的晚上一定能看到圆月 C. 打开电视机，正在播放广告 D. 口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 3. 已知的半径为，点到圆心的距离，则点（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 无法确定 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 若二次函数配方后为，则的值为（ ） A. 0 B. 5 C. 6 D. ﹣6 6. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 正方形内接于，若的半径为，则该正方形边心距的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点C在弧上，点D在半径上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在函数（m是常数）的图象上有三点、、，已知，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数y＝x2﹣2mx以下各点不可能成为二次函数顶点的是（　　） A. （﹣2，4） B. （﹣2，﹣4） C. （﹣1，﹣1） D. （1，﹣1） 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 在，，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则该二次函数图象开口向上的概率是_____________． 12. 一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______． 13. 若双曲线分布在第一、三象限，则k的取值范围是____________． 14. 如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 15. 如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________． 16. 在中，是的中点，将沿直线折叠得到，连接，则线段的长为____________． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程：． 18. 求证：不论k取何值，抛物线与x轴总有交点． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，，把绕点逆时针旋转后得到． （1）画出，直接写出点，的坐标； （2）求在旋转过程中，点的运动轨迹的长． 20. 张老师积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区安排，志愿者将被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）或C组（环境消杀）． （1）张老师被分到B组的概率是 ； （2）王老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法，求出他和张老师被分到同一组的概率是多少？ 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）请直接写出不等式的解集； （2）求一次函数的解析式； （3）求的面积． 22. 如图，P为外一点，M为中点． （1）过点P作的一条切线，且Q为切点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，求证：点M在上． 23. 已知是非零实数． （1）若，求证：； （2）若，，求证：； （3）若，，求正整数的最小值． 24. 已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点(1，2)，(2，5)． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，过点E(O，2)的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D． ①当CD=3时，求该一次函数的解析式； ②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得=tS1S3，都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 25. 已知中，，，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，，将三角板绕点C旋转（保持点P在内部），连接、、 （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）设射线与射线相交于点E，连接，直接写出旋转过程中、、之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建福州市福清西山学校2024-2025学年第一学期九年级12月份适应性练习数学（试题） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，中心对称图形：把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据概念逐一分析可得答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的概念与识别，掌握以上知识是解题的关键． 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 某种彩票中奖率为，买张该种彩票一定会中奖 B. 正月十五的晚上一定能看到圆月 C. 打开电视机，正在播放广告 D. 口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的概念判断即可． 【详解】解：选项：买张中奖率为的彩票不一定中奖，为随机事件，不符合题意； 选项：正月十五晚上可能因天气等原因看不到圆月，为随机事件，不符合题意； 选项：打开电视机不一定在播放广告，为随机事件，不符合题意； 选项：口袋中装有个红球和个白球，白球仅有个，摸出个球时，最多有个白球，故必有红球，是必然事件，符合题意． 3. 已知的半径为，点到圆心的距离，则点（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断；由得，即可判断；掌握“点与圆心的距离为，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内；”是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ， 在外， 故选：A． 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得或，再求出解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 5. 若二次函数配方后为，则的值为（ ） A. 0 B. 5 C. 6 D. ﹣6 【答案】D 【解析】 【分析】可将y=(x-3)2-4的右边运用完全平方公式展开，再与y=x2+bx+5比较，即可得出b的值． 【详解】解：∵y=(x-3)2-4=x2-6x+9-4=x2-6x+5， 又∵y=x2+bx+5， ∴b=-6． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等． 6. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得到抛物线平移后的表达式． 【详解】解：根据题意可得，抛物线平移后的解析式为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象的平移，熟练掌握函数图象的平移法则：左加右减，上加下减是解题的关键． 7. 正方形内接于，若的半径为，则该正方形边心距的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先连接圆心与正方形相邻顶点，得到等腰直角三角形，利用圆半径和勾股定理求出正方形边长；再借助三角形面积的两种表达形式，通过等面积法，求出边心距． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点，则为边心距， ∵正方形内接于，的半径为， ∴，， 在中， ， ∵， ∴ 解得． 8. 如图，点C在弧上，点D在半径上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在优弧上取点，连接，由圆周角定理得到，再由圆内接四边形得到，，再判断各选项即可． 【详解】解：在优弧上取点，连接， ∴ ∵ ∴，故B正确，C错误 由题意得，， ∴，故A错误； ∵， ∴，故D错误． 9. 在函数（m是常数）的图象上有三点、、，已知，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再结合自变量的取值范围，利用函数的增减性与象限特征比较函数值大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵， ∴点，在第二象限的图象上， ∴． ∵， ∴点在第四象限的图象上， ∴， ∴． 10. 已知二次函数y＝x2﹣2mx以下各点不可能成为二次函数顶点的是（　　） A. （﹣2，4） B. （﹣2，﹣4） C. （﹣1，﹣1） D. （1，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点公式求得顶点坐标为（m，﹣m2），即可得出横坐标和纵坐标的关系，然后就能确定可能的顶点． 【详解】∵y=x2﹣2mx=（x﹣m）2﹣m2，∴顶点坐标为（m，﹣m2）． ∵﹣m2≤0， ∴不可能成为函数顶点的是（﹣2，4）． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点公式是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 在，，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则该二次函数图象开口向上的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】当a大于0时，该二次函数图象开口向上，根据这个性质利用简单概率计算公式可得解． 【详解】解：当a大于0时，二次函数图象开口向上， ，，1，2，3中大于0的数有3个， 所以该二次函数图象开口向上的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和简单的概率计算，难度不大，是一道较好的中考题． 12. 一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出这个圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：这个圆锥的底面圆的半径==3， 所以这个圆锥的侧面积=×2π×3×5=15π． 故答案为：15π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 13. 若双曲线分布在第一、三象限，则k的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，图象位于第一、三象限，比例系数大于0，列不等式求解的范围． 【详解】解：∵双曲线的图象分布在第一、三象限， ∴， 解得． 14. 如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，由反比例函数的几何意义可得，由题意可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵点A在函数的图象上，过点A作轴于点H， ∴， ∵点P是x轴上一点， ∴， ∴， ∴的面积为． 15. 如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出阴影部分扇形的圆心角，再求出扇形面积即可解答； 【详解】解：∵正六边形的边长为1， ∴，, ∴． 16. 在中，是的中点，将沿直线折叠得到，连接，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接交于点，作，垂足为．首先证明垂直平分线段是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于点，作，垂足为． ∵在中，， ， ∵为的中点， ， ， ， 解得：， 由翻折的性质可知， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中：． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先移项提取公因式，得到两个一元一次方程，再分别求解即可，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法步骤是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， 或， ． 18. 求证：不论k取何值，抛物线与x轴总有交点． 【答案】证明： ∵ 即： ∴不论k取何值，该抛物线与x轴总有交点 【解析】 【分析】运用与x轴有两个不同的交点，与x轴有一个交点，结合题意列式计算即可． 【详解】略． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，，把绕点逆时针旋转后得到． （1）画出，直接写出点，的坐标； （2）求在旋转过程中，点的运动轨迹的长． 【答案】（1）见解析；， （2）． 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转，勾股定理，弧长公式； （1）根据旋转的性质找出点A、B的对应点、的位置，顺次连接，再根据所作图形得出点，的坐标； （2）先利用勾股定理求出，再根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，由图得：，； 【小问2详解】 ∵， ∴点的运动轨迹的长为：． 20. 张老师积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区安排，志愿者将被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）或C组（环境消杀）． （1）张老师被分到B组的概率是 ； （2）王老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法，求出他和张老师被分到同一组的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单概率公式，列表或画树状图求概率，解题的关键是理解题意，熟练列出表格或画出树状图． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）用列表法表示所有等可能出现的结果，进而计算他和张老师被分到同一组的概率． 【小问1详解】 解：张老师被分到B组的概率是：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： ∵共有9种等可能的情况，其中王老师和张老师被分配到同一个组的情况有3种， ∴王老师和张老师被分配到同一个组的概率为：． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）请直接写出不等式的解集； （2）求一次函数的解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）不等式的几何含义是一次函数图象在反比例函数图象上方，找到两个图象交点的横坐标可直接写出的取值范围； （2）先把点代入反比例函数求出，然后算出点坐标，再将、两点代入，解出，； （3）求出一次函数与轴交点，把拆成和，以为公共底，分别算面积再相加． 【小问1详解】 解：据图可知，当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上方， 故不等式的解集为或． 【小问2详解】 解：把代入， 可得， 解得， 则反比例函数的解析式为， 把代入， 可得， 则点的坐标为， 把，代入， 可得， 解得， 故一次函数的解析式为． 【小问3详解】 解：如图，连接、，直线与轴交于点， 对于直线， 当时，解得， 则点的坐标为，即， 故． 22. 如图，P为外一点，M为中点． （1）过点P作的一条切线，且Q为切点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，求证：点M在上． 【答案】（1） 如图，为所求作的的切线，其中为切点． （2） （1）得，与相切于点． 连接， ， ． 设，则． 是的中点， ，， 在中，， 即的半径， ， 点在上． 【解析】 【分析】（1）以点M为圆心，的长为半径画弧交于点Q，连接，则即为所求； （2）连接，设，则，可得，，在中，由勾股定理可得，从而得到的半径，即可求解． 【小问1详解】 解：理由：如图，连接， 由作法得：， ∵M为中点， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∵为的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，点与圆的位置关系，勾股定理，尺规作图等知识，熟练掌握切线的判定和性质，点与圆的位置关系是解题的关键． 23. 已知是非零实数． （1）若，求证：； （2）若，，求证：； （3）若，，求正整数的最小值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，通过完全平方公式变形即可证明； （2）由题意可知，则，通过配方求出的最大值即可证明； （3）通过等式变形消去，得到关于的一元二次方程，利用构造不等式可得，则，在此范围内最小的正整数为，验证后得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 将其看成关于a的一元二次方程， 由题意得，该方程必有实数根， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴， ∴， 在此范围内最小的正整数为， 检验：当时，，解得：，符合题意， ∴正整数的最小值为． 24. 已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点(1，2)，(2，5)． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，过点E(O，2)的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D． ①当CD=3时，求该一次函数的解析式； ②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得=tS1S3，都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）①或，②存在实数，使得成立 【解析】 【分析】（1）根据对称轴方程、和过点(1，2)，(2，5)，用待定系数法即可解答． （2）①设过点的一次函数的解析式为，则，解得m=2,即该一次函数的解析式为. 设，，则，.将代入，得，再由即可求出解得k，所以一次函数的解析式是或. ②根据三角形面积公式可得，，，所以，即S1S3=-x1y1·x2y2=- x1 x2(kx1+2)( kx2+2)= - x1 x2[k2x1x2+2k(x1 +x2)+4]从而求解. 【详解】（1）依题意，得，解得， ∴二次函数的解析式为. （2）设过点的一次函数的解析式为， 则， ∴， 即该一次函数的解析式为. 设，，则，. 将代入，得， 即， 解得， ∴，. ①依题意， 得， ∵， ∴， 解得， ∴该一次函数的解析式是或. ②依题意，得， ， ， ∴， . ∵，， ∴，， ， ∴， 故存在实数，使得成立. 【点睛】本题考查一次函数的与二次函数的综合运用，难度较大，解题关键是熟练掌握一次函数的与二次函数的性质. 25. 已知中，，，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，，将三角板绕点C旋转（保持点P在内部），连接、、 （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）设射线与射线相交于点E，连接，直接写出旋转过程中、、之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：如图1中， ，，， ， ， （2） （3）当点E在线段上时，；当点E在线段延长线上时， 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定及勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）欲证明，只要证明即可； （2）如图2中，作于首先证明A、P、Q共线，利用勾股定理求出，即可解决问题； （3）Ⅰ、当点E在线段上时，作于M，于N，设交于由题意可证．，可得，即可证，．则可求得之间的数量关系． Ⅱ、当点E在线段的延长线时，同Ⅰ的方法． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2中，作于 ， ， ， ， ， ， ， 、P、Q共线， ， ， ， 在中，， 【小问3详解】 解：结论：或． 理由：Ⅰ、当点E在线段上时，如图3中，作于M，于N，设交于 ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ，， 当点E在的延长线上时， 同法可得： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $