精品解析：福建南安市昌财实验中学等校2026-2027学年九年级上学期10月阶段质量监测（一）数学试卷

2026年秋季九年级质量监测（一） 数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，记得把答案填涂在答题卡相应的位置上） 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式化简性质，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据二次根式化简性质即可作答． 【详解】解：． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据同底数幂乘法、合并同类项、同底数幂除法、二次根式加法的运算法则判断各选项即可 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A错误； ∵合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变， ∴，故B正确； ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故C错误； 与不是同类二次根式，无法合并得到，等式不成立，故D错误 3. 将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（ ） A. 5， B. 2， C. ， D. 6，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，准确运算是解题的关键．一元二次方程的一般形式为，将方程化为一般形式后判断二次项系数和常数项的值即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数为5，常数项为， 故选：A． 4. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：∵， ∴选项A不是最简二次根式； ∵， ∴选项B不是最简二次根式; ∵是最简二次根式， ∴选项C符合题意； ∵， ∴选项D不是最简二次根式； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 5. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式的定义等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，能与合并，不符合题意； B．不能与合并，符合题意； C．，能与合并，不符合题意； D．能与合并，不符合题意； 故选：B． 6. 用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法的求解步骤，求解即可． 【详解】解：， 移项可得：， 左右两边同时加上：， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法---配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 7. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 8. 某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，根据月均增长率依次推导7月和8月的产值，即可列出正确方程. 【详解】解：∵月均增长率为，6月份产值为万元， ∴7月份产值为 万元， ∴8月份产值为 万元， ∵预计8月份产值为万元， ∴列方程得 9. 用因式分解法解方程，若将左边分解后有一个因式是，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．根据题意得到，即可求出p的值． 【详解】解：根据题意得：， ∴，，解得：，则． 故选C． 10. 在除法运算中，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称这种形式的式子为根分式，例如、都是根分式． 已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在整数，使得； ③存在无数个无理数，使得是一个整数． 其中错误的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式、分式有意义的条件判断①，再通过分式化简、因式分解判断②和③，用到初中二次根式性质，完全平方公式，分式化简等知识点． 【详解】解：逐个判断三个说法： 判断① 要使根分式有意义，需满足被开方数非负，分母不为零， ∵ 对任意实数恒成立，只需满足分母，即， ∴ 的取值范围是，故①说法错误； 判断② 计算得， ∴ ， 令，得，且， 对分子因式分解得，代入得 ， 整理得，即，矛盾，方程无解， ∴ 不存在整数满足条件，故②说法错误； 判断③ ， ∵ ， ∴ ， 若是整数，则，为正整数， 整理得， 当为非完全平方正整数时，是无理数，为无理数，这样的有无数个，对应无数个无理数满足条件， ∴ ③说法正确， 综上，错误的说法共2个． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的相应位置） 11. 化简：的结果是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若是方程的一个根，那么的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，理解根的含义，代入求值是关键． 将代入方程求解 m即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为． 13. 若关于x 的一元二次方程没有实数根，则m 的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．因为一元二次方程没有实数根，所以，据此解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴ 即， 解得． 故答案为：． 14. 某班学生进行合影留念活动，每两个同学之间会留下一张合影，已知最终拍摄了1225张照片，这个班的学生人数是_________人． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意建立方程． 设学生人数为n，根据题意建立方程，再解方程即可． 【详解】解：设学生人数为n， 由题意得，， 整理得，， 解得，（舍）， ∴这个班的学生人数是人， 故答案为：50． 15. 解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程时，推理过程如下： 第一步：根据因式分解法，将右边分解为 ； 第二步：直接将方程两边同时除以，得到； 第三步：去括号，得到； 第四步：移项，得到； 第五步：系数化为1，解得 请你判断上述推理过程中，第__________步是错误的，它违背了数学的基本法则． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．第二步直接除以代数式，但可能为零，违背了方程变形的基本法则：等式两边不能除以可能为零的代数式，否则会丢失根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：正确解法应从第一步开始， 移项得， 再因式分解得， 由因式分解法可得或， 解得或， 第二步直接除以时，未考虑的情况，导致丢失根，违背了方程变形的基本法则， 即第二步是错误的，它违背了数学的基本法则 故答案为：二 16. 若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根是． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个实数根． 上述结论正确的是___________． 【答案】① ③ 【解析】 【分析】根据倒方程的定义，结合一元二次方程的相关知识逐一判断各结论即可. 【详解】解：①根据倒方程的定义，方程的倒方程为. 将代入，得 解得，故①正确. ②设是和它的倒方程的相同根，则 两式相减得， 整理得. 因为，所以，解得，即相同根为或，故②错误. ③若一元二次方程无解，则其根的判别式. 该方程的倒方程为，其根的判别式，因此倒方程也无解，故③正确. ④和它的倒方程的根的判别式都为. 当时，若，则，此时两个方程都没有实数根，例如，满足，但，无实数根，故④错误. 综上，正确结论为①③. 三、解答题（本题共9小题，共86分，把答案填在答题卡的相应位置） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算求解，即可解题； （2）根据负整数指数幂、绝对值性质、以及二次根式性质化简各项，再合并计算，即可解题． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】利用分式的相应的运算法则对式子进行化简，再把相应的值代入运算即可． 【详解】解： 当，时 原式 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）直接利用公式法求解即可； （2）直接利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， 由题知，，， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， 其中，，， ， ， 解得，． 20. 实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． （1）这个文化长廊的周长是多少米？ （2）刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【小问1详解】 解：根据题意可得，这个文化长廊的周长为： ， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为； 【小问2详解】 解： ， 答：刷涂料的面积为． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程根的判别式，证明判别式恒大于等于0即可证明结论； （2）先因式分解求出方程的两个根，再分和两种情况讨论，结合三角形三边关系舍去不合题意的解，得到m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：对于一元二次方程， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 即，的长分别为，1． 分两种情况讨论： ①若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 综上所述，． 22. 某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． （1）当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； （2）当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 【答案】（1） （2）该矩形停车区的占地面积不能达到  【解析】 【分析】（1）当时，利用平行于墙的边长不能超过墙长列出限制条件，再根据面积为列方程求解． （2）令矩形面积等于，再判断一元二次方程是否有解，从而判断能否达到该面积． 【小问1详解】 解：由题意可知，垂直于外墙的边长． 金属护栏总长为 ，且平行于外墙的一侧预留两个  宽的门． 所以平行于墙的边长为 当  时，可得， 解得， 由该电动车停放区的占地面积为， 可得，整理得 解得 因为  必须满足 ，所以  不符合题意，舍去． 所以， 所以，当时，若该电动车停放区的占地面积为， 的值为 ． 【小问2详解】 解：当外墙长度  足够大时，平行于墙的边长 为 ， 可得，解得， 又因为边长必须为正数， 所以 当矩形停放区的占地面积为时， 可得，整理得， 因为， 所以方程无实数解， 即该矩形停车区的占地面积不能达到 ． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某商场对接的工厂车间借助智能化，对某种衬衫进行一体化加工，生产效率提升，该衬衫4月份生产2500件，6月份生产3600件． 素材2 该商场销售这批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． 问题解决 （1）该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率是多少？ （2）为使降价后商场销售这批衬衫每天赢利1250元，那么衬衫的单价应该降多少元？ 【答案】（1） 该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为 （2） 衬衫的单价应该降15元 【解析】 【分析】（1）利用月平均增长率的数量关系列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列一元二次方程求解． 【小问1详解】  解：设4月份到6月份生产数量的月平均增长率为，则6月份产量为件， 根据题意可知，， 解得，（不符合实际意义，舍去）， 答：4月份到6月份生产数量的月平均增长率是． 【小问2详解】 解：设衬衫的单价降元， ∵原平均每天售出20件，每件赢利40元，单价每降1元多售2件， ∴降价后每件利润为元，每天销售量为件， ∵每天赢利1250元， ∴， 解得， 答：衬衫的单价应该降15元． 24. 如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． （1）图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． （2）求图1中阴影部分图形的周长和面积． （3）小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 【答案】（1）； （2）阴影部分图形的周长，阴影部分图形的面积 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据正方形的面积公式结合图形直接求解即可； （2）由（1）所求的长和宽，结合长方形的周长和面积公式求解即可； （3）先求出长方形的长为，宽为，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：因为两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中， 所以阴影部分图形的长为，宽为； 【小问2详解】 解：阴影部分图形的周长． 阴影部分图形的面积． 【小问3详解】 解：由图2可知，， 长方形的长为，宽为， ． 25. 关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． （1）求证：无论取何值，是方程①的一个根． （2）当时，求的取值范围． （3）若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 ∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级质量监测（一） 数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，记得把答案填涂在答题卡相应的位置上） 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（ ） A. 5， B. 2， C. ， D. 6，2 4. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 8. 某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 用因式分解法解方程，若将左边分解后有一个因式是，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5 10. 在除法运算中，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称这种形式的式子为根分式，例如、都是根分式． 已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在整数，使得； ③存在无数个无理数，使得是一个整数． 其中错误的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的相应位置） 11. 化简：的结果是________． 12. 若是方程的一个根，那么的值是_____． 13. 若关于x 的一元二次方程没有实数根，则m 的取值范围是_______ 14. 某班学生进行合影留念活动，每两个同学之间会留下一张合影，已知最终拍摄了1225张照片，这个班的学生人数是_________人． 15. 解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程时，推理过程如下： 第一步：根据因式分解法，将右边分解为 ； 第二步：直接将方程两边同时除以，得到； 第三步：去括号，得到； 第四步：移项，得到； 第五步：系数化为1，解得 请你判断上述推理过程中，第__________步是错误的，它违背了数学的基本法则． 16. 若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根是． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个实数根． 上述结论正确的是___________． 三、解答题（本题共9小题，共86分，把答案填在答题卡的相应位置） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． （1）这个文化长廊的周长是多少米？ （2）刷涂料的面积是多少平方米？ 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 22. 某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． （1）当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； （2）当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某商场对接的工厂车间借助智能化，对某种衬衫进行一体化加工，生产效率提升，该衬衫4月份生产2500件，6月份生产3600件． 素材2 该商场销售这批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． 问题解决 （1）该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率是多少？ （2）为使降价后商场销售这批衬衫每天赢利1250元，那么衬衫的单价应该降多少元？ 24. 如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． （1）图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． （2）求图1中阴影部分图形的周长和面积． （3）小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 25. 关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． （1）求证：无论取何值，是方程①的一个根． （2）当时，求的取值范围． （3）若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $