福建莆田市城厢区莆田哲理中学2026-2027学年上学期八年级数学学科第一次综合训练试卷

2026-2027学年上学期八年级数学学科第一次综合训练试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列图形中是轴对称图形的是（　　） A．A B．B C．C D．D 2．如图，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　）    A． B． C． D． 5．如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 6．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 7．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ） A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上 9．如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，分别交于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，动点C与线段构成，其边长满足，，．点D在的平分线上，且，的面积的最大值为（　　） A． B． C．9 D． 二、填空题 11．已知点A的坐标为，则点A关于轴对称的点的坐标是___________. 12．如图，在中，，D是的中点，，则的大小为_______． 13．一个等边三角形有______条对称轴． 14．如图，在中，，，斜边的垂直平分线交边于点E，垂足为点D，如果，则_______． 15．如图，在中，，的中垂线交于点D，交的延长线于点E，交于点F，若，则的周长为_________． 16．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动，若，则的度数是__________． 三、解答题 17．已知：如图，与交于点，点是线段的中点，，连接、．求证：． 18．如图，在平面直角坐标系中的顶点、、的坐标分别为，，，与关于轴对称，点、、的对称点分别为、、．请在图中作出，并写出点、、的坐标． 19．如图，是等边三角形，E是边上的点，且，．判断的形状，并说明理由． 20．如图，在中，． (1)尺规作图：在上找一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)（1）的条件下，若，求的度数． 21．如图，，，，请问，有何关系？并说明理由 22．求证：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 23．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． 证明：(1)． (2) 24．根据以下素材，探索完成任务． 如何确定箭头形指示牌 素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线，小聪测量了点A到的距离为米，米，米． 素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元． 问题解决 任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由． 任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过200元，请你确定长度的最大值． 25．已知：为等边三角形，点D、E分别为、边上一点，、相交于点F，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接并延长，与相交于点G，点M为延长线上一点，，点N为延长线上一点，，，求证：； (3)在（2）的条件下（可使用备用图），若的面积为2，，直接写出点A到的距离与点N到的距离之和． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年上学期八年级数学学科第一次综合训练试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C D C B B C A 1．B【 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．D 【分析】本题考查全等三角形的性质，利用全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可得解．解答本题的关键是明确题意，找准对应角，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选：D． 3．C 【分析】根据轴对称图形的性质解答即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，， 故A，B选项正确； 与不平行，故C选项错误； ∵对称， ∴垂直平分，垂足为点N， ∴，故D选项正确 ． 4．C 【分析】由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 5．D 【分析】标记格点，证明，得到，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ． 6．C 【分析】根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 7．B 【分析】在中可求得，在中可求得，可求出． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 8．B 【分析】根据角平分线的判定推出M在的角平分线上，即可得到答案． 【详解】解：如图： ，，， 在的角平分线上， 故选B． 【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 9．C 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，根据线段垂直平分线可得，进而可得，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别垂直平分和， ， ，， ∴． 10．A 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而可求得，结合三角形中线的性质知，确定面积的最大值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，延长交于点， ∵为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值， 即， ， 故选：A． 11． 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案． 【详解】解：根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变， 则点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 12．/20度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．3/三 【分析】此题考查轴对称的性质和等边三角形的性质，属常规题．根据等腰三角形三线合一的性质可知每条高所在的直线都是对称轴． 【详解】解：每条高所在的直线都是对称轴，所以共有3条对称轴． 故答案为：3 14．8 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等边对等角，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和外角的性质可推出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵斜边的垂直平分线交边于点E，垂足为点D， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8． 15．6 【分析】根据垂直平分线性质可知，根据等腰三角形性质，得出的周长等于． 【详解】解：∵的中垂线交于点F， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ ∴的周长， ∵， ∴的周长． 16．/100度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ，， ． 故答案为：． 17． 证明：点是线段的中点， ， 在和中， ， ． 【分析】先利用线段中点定义得到，然后根据“”判断即可． 【详解】略 18． 如图： 点，， 【分析】本题考查了坐标与图形变化-轴对称图形等知识，点A、B、C的坐标分别为，，关于轴的对称点为，，，依次连接，则即为所求，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：点、、的坐标分别为，，关于轴的对称点为，，，依次连接，则即为所求， 点，，． 19． 是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴． ∵在和中，，，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 根据条件由易证得，根据全等三角形的性质即可得到，， 接下来根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形的判定即可得到结论． 【详解】解：略． 20．(1) 解：如图，点E即为所求； (2) 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点E，连接，点E即为所求； （2）设，根据等腰三角形性质和三角形外角性质，，，，，，根据三角形内角和定理构建方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】设，根据等腰三角形性质和三角形外角性质，三角形内角和定理构建方程解决问题． 21．，，理由见解析 解：，，理由如下： 由知， ，， ∵，， ∴， 即， ， ， ∴， 则． 22． 证明：∵是边上的中线， ∴． 又 ， ∴， ∴，， ∴． ∵， 即， ∴， 即， ∴是直角三角形． 23．(1)证明：∵是的平分线，，， ， 在和中， ， ∴， ； (2)解：，理由如下： 在和中， ， ∴， ， ． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）略 （2）略 24．任务1：他的说法对，理由如下： 如图，过点B作于点G， 则， 四边形是长方形， ， ， 在与中， ， ， ， 最高点B到地面的距离就是线段长； 任务2：CE长度的最大值为米． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定，学会利用不等式解决实际问题是解题的关键． 任务1：过点B作于点G，利用全等三角形判定方法推出，即可得出结论； 任务2：设米，分别表示出长方形和三角形的面积，根据题意列出不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】解：任务1：略 任务2：该指示牌是轴对称图形，四边形是长方形， ，米， 设米，则米， 长方形的面积（平方米）， 的面积（平方米）， 当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时， 由题意得：， 解得：， 故长度的最大值为米． 25．(1) (2) 证明：延长到，使，连接，如图， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 由（1）知， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ (3)4 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，根据角和关系得出，等量代换可得出，再根据三角形外角的定义和性质得出． （2）延长到，使，先证明，由全等三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，通过三角形外角的定义和性质以及三角形内角和定理得出，根据等角对等边得出，即可得出． （3）过点N作交于点H，过点A作交于点，过点C作交于点，设，和，根据等边三角形得，即，由得，即有，则有，进一步证得，则，由（2），有，即可求得，结合，解得即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：过点N作交于点H，过点A作交于点，过点C作交于点，如图， 设，和， ∵为等边三角形， ∴，即， 由， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， 由（2）， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点A到的距离与点N到的距离之和4． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角性质等知识点，解题的关键是熟悉倍长中线和半角求解的常见做法． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $