2.2.2 有理数的除法 教学设计 2026—2027学年人教版七年级数学上册

2.2.2 有理数的除法 教学设计 姓名 学科段 授课班级 职称 教龄 授课时间 课题 2.2.2 有理数的除法 教材分析 本节课是人教版（2024年版）七年级上册第二章《有理数的运算》第4课时，安排在有理数的乘法之后。教材先复习有理数乘法法则与倒数的概念，指出“数的范围扩大到有理数以后，为使除法运算具有一致性，规定有理数的除法与乘法之间仍然具有逆运算的关系”，再以 8÷(−4) 为例展开思考：由 (−2)×(−4)=8 得 8÷(−4)=−2，又 8×(−1/4)=−2，从而 8÷(−4)=8×(−1/4)，由特殊到一般归纳出“除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数”，并进一步得到商的符号法则。 随后教材安排例4（除法运算）、例5（化简分数）与相应练习，指出“形如 p/q（p，q 是整数，q≠0）的数都是有理数”；再由例6研究乘除混合运算，由例7、例8研究“先乘除，后加减”的混合运算顺序与用计算器计算。因此本节课的主线仍然是“转化”——把除法转化为乘法，把混合运算统一为已学运算，并在此过程中完善有理数的运算体系。 核心素养目标 1. 数学抽象：经历“除法是乘法的逆运算”的思考过程，理解“除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数”，掌握有理数除法法则 a÷b=a·1/b（b≠0）； 2. 数学运算：能正确进行有理数的除法运算，掌握商的符号法则；掌握有理数乘除混合运算与加减乘除混合运算的顺序，会用计算器进行较复杂的计算； 3. 逻辑推理：理解分数与除法的关系，理解有理数都可以表示为 p/q（p，q 是整数，q≠0）的形式； 4. 应用意识：会用有理数的除法解决公司盈亏等实际问题，体会运算的实际价值。 教学重点 有理数除法法则 a÷b=a·1/b（b≠0）与商的符号法则；乘除混合运算与加减乘除混合运算的顺序；利用除法化简分数。 教学难点 由“除法是乘法的逆运算”推出除法法则的过程；分数除法与分数化简中的符号处理；混合运算中“先乘除，后加减”与运算律的综合运用。 学情分析 学生已经掌握了有理数的乘法法则，理解了倒数的概念，也积累了“减法转化为加法”的经验，具备用“逆运算”研究新运算的基础。学生的困难主要在于：一是容易把除法与乘法割裂开来，只会机械地“乘倒数”而说不清道理；二是分数除法与分数化简中符号容易算错，如把 −45/−12 算成负数；三是在加减乘除混合运算中运算顺序出错，或省略括号时符号处理错误。 因此教学中要重复使用“逆运算—两种算法—结果相同”的推理范式，让学生在类比中自主生成法则；对符号问题要通过集中辨析与对比练习加以强化；对混合运算要强调先确定顺序、再逐步计算，并适当借助计算器减轻繁琐运算的负担，把精力集中在算理与符号判断上。 教学方法 情境教学法、问题驱动法、启发引导法相结合；采用“独学—合学—展示—点评”的小组合作探究模式组织课堂。 课时安排 1课时 教学资源 多媒体课件；科学计算器（教师演示用及学生分组使用）；学习任务单（含“除法转乘法”探究记录表与混合运算步骤表）；“有理数四则运算法则”对比表。 教学流程设计 任务/环节 教学内容与问题设计 教师活动 学生活动 学习评价设计 环节一 情境导入，回顾逆运算 复习：①有理数的乘法法则是什么？②什么是倒数？0 有倒数吗？ 引入：由 3×4=12 可以得到 12÷4=3、12÷3=4，这说明除法是乘法的逆运算。数的范围扩大到有理数以后，为使除法运算具有一致性，规定有理数的除法与乘法之间仍然具有这样的关系。那么，有理数的除法该怎样进行呢？ 引导学生复述有理数乘法法则与倒数的概念； 以“逆运算”和“运算的一致性”为线索提出本课任务，板书课题 2.2.2 有理数的除法。 复述有理数乘法法则与倒数的概念； 举例说明“除法是乘法的逆运算”（由乘法算式写出相应的除法算式）； 明确本课的研究任务。 通过复习提问评价：能否准确复述乘法法则与倒数概念；能否举例说明除法是乘法的逆运算。 设计意图：以“逆运算”与“运算的一致性”为线索引入，让学生明确除法不是新的规定，而是乘法法则的自然延伸，为下面的推理做好观念准备。 环节二 思考探究：除法转化为乘法 思考：怎样计算 8÷(−4)？ 因为 (−2)×(−4)=8，所以 8÷(−4)=−2 ①； 另一方面 8×(−1/4)=−2 ②； 由①②得 8÷(−4)=8×(−1/4) ③。 追问：③式表明了什么？（一个数除以 −4，可以转化为乘 −1/4。） 验证：仿照上面的过程，研究 8÷(−2) 与 8×(−1/2)、(−15)÷3 与 (−15)×1/3。 归纳：除以一个不等于 0 的数，可以转化为乘这个数的倒数。 引导：“根据除法是乘法的逆运算，8÷(−4) 就是要求一个数与 −4 相乘得 8”； 组织学生比较①②两式得到③式，追问③式表明什么； 让学生仿照研究其他例子，进一步验证结论。 依据“逆运算”，找出与 −4 相乘得 8 的数； 独立计算 8×(−1/4)，并与 8÷(−4) 比较； 仿照写出其他例子（如 (−15)÷3=(−15)×1/3）； 用自己的语言概括发现的结论。 通过探究与追问评价：能否由“逆运算”得出 8÷(−4)=−2；能否由③式归纳出“除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数”。 设计意图：把“除法法则”放在“逆运算—两种算法—结果相同”的推理链条中生成，学生不仅知道“怎么算”，更知道“为什么可以这样算”；多个例子的验证使结论更具说服力。 环节三 归纳法则：符号与特例 有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。即 a÷b=a·1/b（b≠0）。 商的符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 追问1：为什么“两数相除”的符号规律与“两数相乘”相同？ 追问2：0÷(−8) 等于多少？(−8)÷0 呢？（0÷(−8)=0；(−8)÷0 没有意义。） 结论：0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 板书除法法则，强调“除数的倒数不能求错，且除数不能为 0”； 引导学生由乘法法则类比得到符号法则，并解释理由； 组织讨论 0÷(−8) 与 (−8)÷0 的区别。 说出除法法则的两条要点，用字母表示并说明 b≠0 的理由； 类比乘法法则说出商的符号规律并解释理由； 讨论 0÷(−8) 与 (−8)÷0 的区别。 通过表述与追问评价：能否准确表述除法法则与符号法则；能否说明“除数不能为 0”的理由。 设计意图：把符号法则建立在“除法转化为乘法”的基础上，避免孤立记忆；对“0 的除法”作专门辨析，落实运算的严谨性。 环节四 除法运算与化简分数 例4　计算：(1) (−36)÷9；(2) (−12/25)÷(−3/5)。 （1）(−36)÷9=−(36÷9)=−4；（2）(−12/25)÷(−3/5)=(−12/25)×(−5/3)=4/5。 追问：第(2)题用“乘倒数”与“分子分母分别相除”相比，哪种更可靠？为什么？ 例5　化简：(1) −2/3；(2) −45/−12。 （1）−2/3=(−2)÷3=−(2÷3)=−2/3；（2）−45/−12=(−45)÷(−12)=45÷12=15/4。 结论：形如 p/q（p，q 是整数，q≠0）的数都是有理数；有理数都可以写成这种形式。 板演例4，突出“先定符号、再算绝对值”或“转化为乘法”； 引导回到“分数就是分子除以分母”的意义完成例5，追问“−45/−12 为什么是正数”； 补充教材结论，说明有理数都可以写成分数形式。 独立完成例4，先判断商的符号再计算； 比较两种方法，说明分数除法为什么应当“乘倒数”； 完成例5，把分数改写成除法算式后化简； 举例说明有理数都可以写成分数形式（如 5=5/1，−3=−3/1，0.25=1/4）。 通过板演与举例评价：能否正确进行除法运算与化简分数；能否说明“有理数都可以表示为 p/q 形式”。 设计意图：例4落实除法法则的两种运用（直接算绝对值、转化为乘法）；例5把“分数化简”与“有理数的分数表示”联系起来，使学生理解 p/q 形式的普遍意义，这是本章数系认识的重要一步。 环节五 练习巩固与乘除混合运算 练习（教材P45）1. 计算：(1) (−18)÷6；(2) (−63)÷(−7)；(3) 1÷(−9)；(4) 0÷(−8)；(5) (−6.5)÷0.13；(6) (−6/5)÷(−2/5)。 练习 2. 化简：(1) −72/9；(2) −30/−45；(3) 0/−75；(4) 27/−6。 乘除混合：有理数的除法可以转化为乘法，可以利用与乘法有关的运算律简化运算。乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 例6　计算：(1) (−125 5/7)÷(−5)；(2) −2.5÷(5/8)×(−1/4)。 （1）(−125 5/7)÷(−5)=(125+5/7)×1/5=125×1/5+5/7×1/5=25+1/7=25 1/7；（2）−2.5÷(5/8)×(−1/4)=5/2×8/5×1/4=1。 追问：第(1)题为什么把带分数拆成 @@125+5/7@@？用到了哪条运算律？ 组织学生完成练习1、2，讲评要点：1÷(−9)=−1/9；0÷(−8)=0；(−63)÷(−7)=9；(−6/5)÷(−2/5)=3；化简(1)−8，(2)2/3，(3)0，(4)−9/2； 指出乘除混合的转化思路，示范例6； 追问例6(1)中拆分带分数的依据（乘法分配律）。 独立完成练习1、2，注意“0 作被除数”的情形与符号处理； 归纳化简分数的程序：写成除法—判断符号—约分； 在教师示范下完成例6，说出“先把除法转化为乘法”的步骤； 解释例6(1)中拆分带分数的合理性。 通过练习与追问评价：整数、分数、小数相除与分数化简是否准确；能否说明乘除混合运算“先转化、后定号、再求值”的程序。 设计意图：练习覆盖整数、分数、小数相除与分数化简多种情形；例6把“除法转乘法”与“运算律”结合起来，使学生把除法运算纳入已有的运算体系。 环节六 混合运算与计算器 运算顺序：有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照先乘除，后加减的顺序进行。 例7　计算：(1) −8+4÷(−2)；(2) (−7)×(−5)−90÷(−15)。 （1）−8+4÷(−2)=−8+(−2)=−10；（2）(−7)×(−5)−90÷(−15)=35−(−6)=35+6=41。 追问：(2)中 35−(−6) 为什么要写成 35+6？ 例8　某公司去年 1月—3月平均每月亏损 1.5 万元，4月—6月平均每月盈利 32 万元，7月—10月平均每月盈利 21.7 万元，11月—12月平均每月亏损 2.3 万元。这个公司去年总的盈亏情况如何？ 记盈利额为正数、亏损额为负数，则 (−1.5)×3+32×3+21.7×4+(−2.3)×2 =−4.5+96+86.8−4.6=173.7，即全年盈利 173.7 万元。 计算器：若计算器带符号键 (−)，按键 (−)1.5×3+32×3+21.7×4+(−)2.3×2=，显示 173.7。 明确“先乘除，后加减”的顺序； 示范例7，追问“−(−6) 为什么写成 +6”； 引导分析例8：各月盈亏额怎样用正负数表示？“每月盈亏额×月数”表示什么？ 演示计算器操作，提示不同品牌计算器的差异。 读记混合运算顺序，说明它在例7中的应用； 独立完成例7，注意 −(−6) 的化简； 参与例8的分析，说出正负数表示与“乘对应月数”的理由； 用计算器验算例8，与笔算结果对照。 通过例题与操作评价：能否按“先乘除，后加减”的顺序正确计算；能否说清例8算式中每一部分的实际意义；能否用计算器验算。 设计意图：例7明确顺序，例8体现运算的实际应用价值；把“每月盈亏额×月数”的模型讲清楚，学生才能理解算式每一部分的实际意义，避免“照着式子算”的机械操作。 环节七 课堂练习，分层落实 练习（教材P47）1. 计算：(1) 1/5÷(−6)；(2) (−36 9/11)÷9；(3) (−12)÷(−4)÷(−1 1/5)；(4) (−2/3)×8/5÷(−0.25)。 练习 2. 计算：(1) 6−(−12)÷(−3)；(2) 3×(−4)+(−28)÷7；(3) (−48)÷8−(−25)×(−6)；(4) 42×(−2/3)+(−3/4)÷(−0.5)。 练习 3. 用计算器计算（结果保留小数点后三位）：(1) 357+(−154)+26+(−212)；(2) −5.13+4.62+(−8.47)−(−2.3)；(3) 26×(−41)+(−35)×(−17)；(4) 1.252÷(−44)−(−356)÷(−0.196)。 变式训练：① 计算 a÷b 时，若 b=0 会怎样？举例说明；② 计算 (−4)÷2，4÷(−2)，(−4)÷(−2)，判断 −a/b=a/(−b)=−(a/b) 与 (−a)/(−b)=a/b（a，b 是有理数，b≠0）是否成立。 巡视并集中讲评：① 1/5÷(−6)=−1/30；② (−36 9/11)÷9=−4−1/11=−4 1/11；③ (−12)÷(−4)÷(−1 1/5)=3÷(−6/5)=−5/2；第2题重点讲运算顺序与符号； 组织变式训练，引导归纳分数的三种等价写法：−a/b=a/(−b)=−(a/b)，(−a)/(−b)=a/b。 独立完成第1、2题，每一步注明运算顺序； 用计算器完成第3题，并按要求取近似值； 参与讲评，重点纠正带分数除法与符号错误； 探究变式②，归纳分数的符号规律。 通过练习与讲评评价：除法、乘除混合、加减乘除混合运算的正确率与计算器使用是否达标；能否归纳分数的符号规律。 设计意图：练习分层覆盖除法、乘除混合、加减乘除混合与计算器使用；变式②指向分数的符号规律，既是运算能力的提升，又为后续分式运算埋下伏笔。 环节八 课堂小结，作业布置 小结问题1：有理数除法法则是什么？它是怎样得到的？ 小结问题2：怎么确定商的符号？ 小结问题3：分数与除法有什么关系？化简分数要注意什么？ 小结问题4：有理数混合运算的顺序是什么？ 引导学生围绕四个问题小结；完善板书：除法是乘法的逆运算→除法法则 a÷b=a·1/b→符号法则→分数化简→混合运算顺序→实际应用； 布置分层作业。 围绕四个问题口头小结，整理本课的知识结构； 归纳易错点（除数为 0、分数除法的符号、混合运算顺序）； 记录分层作业，着手整理“有理数四则运算法则”对比表。 通过小结发言评价：能否完整说出除法法则、符号法则与混合运算顺序；能否把除法纳入有理数运算的整体结构。 设计意图：小结把除法纳入有理数运算的整体结构，并顺势布置四则运算法则的整理任务，为本小节复习与后续乘方学习做好衔接。 板书设计 2.2.2 有理数的除法 一、除法是乘法的逆运算：8÷(−4)=8×(−1/4)=−2 二、除法法则：a÷b=a·1/b（b≠0） 三、符号法则：同号得正，异号得负；0 除以任何不为 0 的数都得 0 四、分数化简：−45/−12=15/4；有理数都可写成 p/q（p，q 是整数，q≠0） 五、混合运算：先乘除，后加减 作业设计 《2.2.2 有理数的除法》课后作业 1. 必做：教材习题2.2 第6题、第7题、第8题、第9题； 2. 选做：教材习题2.2 综合运用第10题； 3. 拓展：教材习题2.2 拓广探索第14～16题（用字母表示数与运算规律），并整理“有理数加法、减法、乘法、除法法则”对比表。 1 学科网（北京）股份有限公司 $