第三章勾股定理单元检测 2026-2027学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

鲁教版五四制七年级数学上第三章勾股定理单元检测 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.直角三角形两直角边分别为和，则其斜边的高为(    ) A. B. C. D. 3.下列条件中，不能判断是直角三角形的是(    ) A. ：：：： B. ：：：： C. D. ：：：： 4.如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为(    ) A. B. C. D. 5.如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边长，则下列四个说法：：；；其中正确的是(    ) A. B. C. D. 6.已知三角形的三边长、、满足，则三角形的形状是(    ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 7.如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为(    ) A. B. C. D. 8.勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝．勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图的直角三角形纸片拼成的四个图形中，可以证明勾股定理的图形有个． A. B. C. D. 9.我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国古代的长度单位，则该沙田的面积为(    ) A. 平方里 B. 平方里 C. 平方里 D. 平方里 10.某社区为了让居民享受“开窗见景，推门见绿”的环境，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场图是该区域的设计图，图是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设平方米塑胶需要元，则铺满该区域需要的费用是(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.中，若，则          ． 12.观察下面几组勾股数，并寻找规律： ，，； ，，； ，，； ，，； 请你根据规律写出第组勾股数是           ． 13.在中，，，边上的中线则的长为          ． 14.如图，一架长米的梯子斜靠在墙上，到墙底端的距离为米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的端向墙的方向移动了米到处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的端向上移动了          米． 15.如图，在矩形中，，，为上一点，把沿折叠，使点落在边上的处，则的长为          ． 三、解答题：本题共6小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． 求的长； 求证：是直角三角形． 17.本小题分 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米． 问是否为从村庄到河边的最近路？即问：与是否垂直？请通过计算加以说明； 求原来的路线的长． 18.本小题分 图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接即，通过计算说明该车是否符合安全标准． 19.本小题分 如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点、，且． 求证：； 若，，求的长． 20.本小题分 综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ 同学们经过思考得到如下解题方法：如图，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 如图，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 如图，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？杯壁厚度不计 21.本小题分 【问题情境】如图，在中，为边上的高． 【特例研究】 若，，，的形状为           【猜想证明】 根据中的结论，小明发现：当满足时，是直角三角形，请你验证小明的发现是否正确 【问题解决】如图是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图所示的图形，已知斜梁经测量，斜梁，，横梁若横梁与竖梁垂直则为安全房梁，请问该房梁是否安全 答案和解析 1.【答案】  【解析】此题考查勾股定理逆定理的运用，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．根据勾股定理的逆定理进行判断，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． 解：、因为，所以三条线段不能组成直角三角形； B、因为，所以三条线段能组成直角三角形； C、因为，所以三条线段不能组成直角三角形； D、因为，所以三条线段不能组成直角三角形． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是三角形的面积，勾股定理有关知识，根据勾股定理可求出斜边．然后根据三角形面积一定，可列方程直接解答． 【解答】 解：直角三角形的两条直角边分别为，， 斜边为：， 设斜边上的高为，则， 解得． 故选D． 3.【答案】  【解析】解：、因为：：：：，所以设，，， 则，故为直角三角形； B、因为：：：：，所以设，则，， 故，解得，，，，故此三角形是锐角三角形． C、因为，，则，故为直角三角形； D、符合勾股定理的逆定理，故为直角三角形； 故选：． 根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为度进行判定即可． 此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，那么的面积减去的面积就是所求的面积． 【解答】 解：如图，连接． 在中， ，，， ， ， 又， 是直角三角形， 这块地的面积的面积的面积 故选A． 5.【答案】  【解析】解： 为直角三角形， 根据勾股定理：， 故本选项正确； 由图可知，， 故本选项正确； 由可得， 故本选项正确； ， 整理得，， ， 故本选项错误； 正确结论有． 故选B． 根据直角三角形面积的计算公式、完全平方公式及勾股定理解答． 本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查勾股定理的逆定理，非负数的性质有关知识，利用非负数的性质求出，，的值，然后再利用勾股定理的逆定理进行解答即可． 【解答】 解：， ，，， ，，， ， 三角形是直角三角形． 故选C． 7.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明≌． 运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明≌，再结合全等三角形的性质和勾股定理求解即可． 【解答】 解：由于、、都是正方形，所以，； ，即， 在和中， ≌， ，； 在中，由勾股定理得：， 即， 的面积为， 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理的证明，正确利用图形中有关面积的等量关系得出勾股定理是解题的关键． 在图中，无法用面积的等量关系证明勾股定理；在图中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即可得出；在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得出；在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得出；即可得出结果． 【解答】 解：在图中，无法用面积的等量关系证明勾股定理； 在图中，梯形的面积等于两个直角边为，的直角三角形和一个直角边为的等腰直角三角形的面积的和，即，化简得：，故可以证明勾股定理； 在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即，化简得：，故可以证明勾股定理； 在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即，化简得：，故可以证明勾股定理， 综上所述可以证明勾股定理的图形有，共个． 故选：． 9.【答案】  【解析】，该三角形沙田是直角三角形， 沙田的面积故选D． 10.【答案】  【解析】连接， ，，， ， 又，， ， ， 四边形的面积， 元． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形的斜边，由斜边所对的角是直角即可解答． 【解答】 解：， 边所对的角是直角，即． 故答案为． 12.【答案】，，  【解析】【分析】 本题主要考查了数字规律题，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键． 根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第组数，则这组数中的第一个数是，第二个数是：，第三个数是：根据这个规律即可解答． 【解答】解：观察前组数据的规律可知：第一个数是；第二个数是：；第三个数是：， 所以第组勾股数是，，． 故答案为，，． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理与线段的垂直平分线的性质，关键是利用勾股定理的逆定理证得． 在中，根据勾股定理的逆定理即可判断，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得到，从而求解． 【解答】 解：是中线，，， ， ，即， 是直角三角形，则， 又， ． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：如图，在中， 根据勾股定理知，，即米， 在中，由题意可得：米， 根据勾股定理知，，即米， 所以米．故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了翻折问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，由折叠性质可知，，，所以，，在中利用勾股定理列式求出的值即可求解． 【解答】 解：设，则，由折叠性质可知，，， 在中，，， 由勾股定理得， ， 在中，， 即， 解得， 故答案为． 16.【答案】解：因为中，，，， 所以， 所以． 证明：因为在中，，，， 所以， 所以是直角三角形．  【解析】本题考查了勾股定理及其逆定理． 在中，根据勾股定理即可求得的长； 利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形． 17.【答案】解：是， 理由是：在中， ， 是直角三角形， ， 所以是从村庄到河边的最近路； 设千米， 在中，由已知得千米，千米，千米， 由勾股定理得：， ， 解得， 答：原来的路线的长为千米．  【解析】根据勾股定理的逆定理解答即可； 根据勾股定理解答即可． 此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理． 18.【答案】解：在中，， 在中，， ． ． ． 故该车符合安全标准．   【解析】略 19.【答案】解：证明：如图 连接， 边上的垂直平分线为， ， ， ， ， ； 设，则， 在中，， ， 解得：， 的长为．  【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用． 连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解； 设，则，在中，根据列出方程计算即可求解． 20.【答案】解：； ； 如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，  【解析】解：由勾股定理，得：； 故答案为：； 将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，，， 由勾股定理得：； 故答案为：； 见答案． 直接利用勾股定理进行求解即可； 将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； 将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 本题考查平面展开最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 21.【答案】【小题】 直角三角形 【小题】 解：小明的发现正确，理由如下：，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，得，， ，，移项得，化简得，即，为直角三角形． 【小题】 不安全．   【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $