第3章 勾股定理 测试卷-【练测考】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四制·新教材）

第三章测试卷 害 (时间：120分钟分值：120分) 孙 、选择题（每小题3分，共30分） 馨 1.下列四组数：①0.6,0.8,1；②7,24,25；③8,15,17；④4,5,6， 其中是勾股数的有 A.4组 B.3组 C.2组 D.1组 2.生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长 等来估计距离.某校教室新安装了一批屏 幕为长方形的多媒体设备，某同学想知道 屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕 1拆 的长是12柞，宽是5柞，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角 线长度大约是(1拃≈20cm) A.100 cm B.240 cm C.260 cm D.340 cm 3.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直 角三角形的周长为 ( A.121 B.120 C.90 D.不能确定 输 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是边BC 上的点，若BD=3,DC=2,则AB2一AD 的值为 ( A.13 B.21 C.25 D.29 5.下列说法：①如果a,b,c为一组勾股数，那么4a,4b,4c仍是 勾股数；②如果直角三角形的两边长是3,4，那么斜边长必是 5;③如果一个三角形的三边长是12,25,21，那么此三角形必 是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a,b,c(a> b=c),那么a2:b2:c2=2:1:1.其中正确的是() A.①② B.①④ C.①③ D.②④ 6.若△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(a-b)(a2+ b2-c2)=0,则△ABC是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距 离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点 B,需要爬行的最短距离是 () A.20 B.25 C.30 D.35 C 20 150 A B2---- 第7题图 第8题图 8.如图，在4×4的正方形网格中，点A,B,C都在格点上，则 ∠ABC= A.30° B.40° C.45 D.60° 9.如图，已知在Rt△ABC中，E,F分别是边AB,AC上的点， AE=3AB,AF=3AC,分别以BE,EF,FC为直径作半 圆，面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3之间的关系是 A.S1+S3=2S2 B.S1十S3=4S2 C.S1=S3=S2 Ds,-S+s,) E S 第9题图 第10题图 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,AD 平分∠CAB交BC于点D,点M,N分别是AC和AD边 上的动点，则MN+NC的最小值为 () A.2 B.2 c.2 12 D.5 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的 细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm B 12cm 9cm 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图所示，已知圆柱的底面周长和高都为8，BC,AD分别 为上、下底面的直径，点P在线段AB上，且AP=1,点S 为线段CD的中点.若一只蚂蚁从点P出发，沿圆柱的外侧 面爬行到点S处，则蚂蚁爬行的最短路程为 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,D为AC 上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD= 14.在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的 周长为 I图，在长方形ABCD中，AB=3,BC=12,AG=13, 边AE所在直线翻折△ABE,AB与AF重合，点F在AG 上，则CE的长是 勾(a 弦(c) 股 第15题图 第16题图 16.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“弦图”， 后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和 一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为a,b, 斜边长为c,若b一a=4,c=20,则每个直角三角形的面积 为 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17.(本小题满分8分)如图，方格纸中每个小方格的边长为1， 在方格纸内画一个面积为6.5的等腰直角三角形.要求：所 画三角形的顶点在小方格的顶点上. 5 18.(本小题满分8分)如图，将一块四边形ABCD空地铺草 坪，量得四边长AB=3m,BC=4m,DC=12m,AD= 13m,∠B=90°，若每平方米造价200元，求这块草坪的总 造价. 19.(本小题满分8分)在△ABC中，AB=15,BC=14, AC=13,求△ABC的面积. 20.(本小题满分10分)由于大风，山坡上的一棵甲树从A点 处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部C处，如图 所示，已知AB=4m,BC=13m,两棵树的水平距离是 12m,求甲树原来的高度. A甲树 6— 21.(本小题满分12分)如图，在△ABC中，CD⊥AB,BE⊥ AC,垂足分别为点D,E,F为BC的中点，BE与DF,DC 分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE,DB=DC.试说明： BG2-GE2=EA2. 22.（本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在 AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等， BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE, (1)判断DE与PD的位置关系，并说明理由. (2)若AC=10,BC=12,PA=3,求线段DE的长. 23.(本小题满分14分)勾股定理是人类最伟大的十个科学发 现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周 髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数 学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）， 后人称之为“赵爽弦图”，流传至今. (1)①请叙述勾股定理 ②勾股定理的验证，人们已经找到了400多种方法，请从下 列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理.（以下图 形均满足验证勾股定理所需的条件) 图1 图2 图3 (2)①如图4,5,6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向 外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系 满足S1+S2=S3的有 个. S S S 图4 图5 图6 图7 ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图 中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1,S2,直 角三角形的面积为S3,请判断S1,S2,S3的关系并说明 理由.在Rt△ACD中，因为∠CAD=30°， 所以CD=2AD,所以CD=合DB. 又因为BC=12, 所以BD=号BC=8,所以AD=DB=& 20.解：(1)因为AB=AE,D为线段BE的中点， 所以AD⊥BC, 所以∠C+∠DAC=90°， 因为∠BAC=90°，所以∠BAD+∠DAC=90°， 所以∠C=∠BAD. (2)因为AFBC,所以∠FAE=∠AEB. 因为AB=AE,所以∠B=∠AEB, 所以∠B=∠FAE. 又∠BAC=∠AEF=90°，AB=EA, 所以△ABC≌△EAF(ASA),所以AC=EF. 21.解：(1)因为∠BAC=60°，∠C=40°， 所以∠B=180°-60°-40°=80°. 因为AM是△ABC的高，所以∠AMB=90°， 所以∠MAB=90°-∠B=90°-80°=10° 因为将△AMB沿AM折叠得到△AMN, 所以∠MAN=∠MAB=10°. (2)由(1)知∠MAN=∠MAB=10°， 所以∠CAN=∠BAC-∠MAN-∠MAB=60°-10° 10°=40°. 因为∠C=40°，所以∠CAN=∠C,所以AN=CN. 因为NO平分∠ANC,所以AO=CO. 因为AC=8,所以AO=4. 22.解：(1)∠DAC的度数不会改变.理由如下： 因为BA=BD,所以∠BAD=∠BDA, 所以∠BAD=2(180°-∠B). 因为EA=EC,所以∠EAC=∠ECA, 所以∠EAC=2(180°-∠ABC)=号∠BBA=2180 ∠B-∠BAE), 所以∠DAC=∠BAE-∠BAD+∠EAC=∠BAE 合Is0-∠B)+号180-∠B-∠BaE)=∠BAE =2×90=45, 故∠DAC的度数不会改变 1 1 (2)由(1)，得∠DAC=2∠BAE=2n° 23.解：(1)因为△ABC,△CDE都是等边三角形， 所以AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， 所以∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, 所以∠ACD=∠BCE. AC=BC, 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD-CE, 所以△ACD≌△BCE(SAS),所以AD=BE. (2)因为△ACD≌△BCE, 所以∠ADC=∠BEC 因为△DCE是等边三角形， 所以∠CED=∠CDE=60°， 3 所以∠ADE+∠BED =∠ADC+∠CDE+∠BED =∠BEC+6O°+∠BED =∠CED+609 =60°+609 =120°， 所以∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED)=180°-120°=60°. (3)因为△ACD≌△BCE, 所以∠CAD=∠CBE,AD=BE. 因为点M,N分别是线段AD,BE的中点， 所以AM=名AD,BN=号BE, 所以AM=BN. (AC=BC, 在△ACM和△BCN中，∠CAM=∠CBN, AM-BN, 所以△ACM≌△BCN(SAS), 所以CM=CN,∠ACM=∠BCN. 又因为∠ACB=60°， 所以∠ACM+∠MCB=60°， 所以∠BCN+∠MCB=6O°， 所以∠MCN=60°， 所以△MNC是等边三角形. 第三章测试卷 1.C2.C3.C4.B5.B6.D7.B8.C9.B10.D 1.52.518.5142或3215号 16.96 17.解：如图，画一个直角边长的平方为13的等腰直角三角形 即可. 18.解：如图，连接AC. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2= AB2+BC2=32+42=52 在△ACD中，因为AD2=132,DC2= 12,AC2=52, 122+52=132,所以AC2+CD2=AD2,所以∠ACD=90°， 所i以SgAm=SAc+SAMm=号AB·BC+2AC. CD=号×3X4+号×5X12=36(m, 所以所需费用为36×200=7200（元）. 因此，这块草坪的总造价是7200元. 19.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.在△ABC中，AB= 15,BC=14,AC=13,设BD=x,则CD=14-x. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2= AB2-BD2=152-x2」 在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2= AC2-CD2=132-(14-x)2, 所以152-x2=132-(14-x)2, 解得x=9,所以AD=12, 所以Sae=合C·AD-号×1X12= 1 20.解：如图所示，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D, 则∠D=90° 由题意，可得BC=13m,DC= 甲树 12m, 故BD2=132-122=25, 所以BD=5m, -口0 所以AD=4+5=9(m). 在Rt△ACD中，因为∠D=90°，AD=9m,CD=12m, 所以AC2=AD2+CD2=92+122=225, 所以AC=15m, 所以AC+AB=15+4=19(m). 所以甲树原来的高度为19m. 21.解：如图，连接CG. 因为DB=DC,F为BC的中点， 所以DF垂直平分BC,所以BG=CG. 因为BE⊥AC,所以∠AEB=∠CEB. 在△ABE和△CBE中， 因为∠AEB=∠CEB,BE=BE,∠ABE ∠CBE, 所以△ABE≌△CBE(ASA), 所以EA=EC. 在Rt△CGE中，由勾股定理，得CG2一GE2=CE2, 所以BG2-GE2=EA2. 22.解：(1)DE⊥PD.理由如下： 因为PD=PA,所以∠PDA=∠A. 因为EF垂直平分BD,所以ED=EB, 所以∠EDB=∠B. 在Rt△ABC中，因为∠C=90°，所以∠A+∠B=90°， 所以∠PDA十∠EDB=90°， 所以∠PDE=90°，所以DE⊥PD (2)连接PE,如图所示. 因为AC=10,BC=12,PA=3, 所以CP=AC-PA=7,PD= PA=3. 设DE=BE=x,则CE=12-x. 在Rt△PEC中，根据勾股定理， 得PE2=72+(12-x)2. 在Rt△PDE中，根据勾股定理，得PE2=32十x2, 所以+12-)-+，解科x-孕。 所以DE-号 23.解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边 为c,那么a2+b2=c2 (或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的 平方.) ②在图1中，c2= 1 b×4+(b-a)2,化简，得 a2+b2=c2. 在图2中，a+b2=c2+2b×4,化简，得a2+b=c, 在图3中，2a十6)a十b)=26×2+,化简， 得a2十b2=c2. (2)①3 ②S1十S2=S3.理由如下： 3 因为s+s,=合x(号)》'+号x()》+5, 2),所以s1+s,=8a2+62-)+s 因为a2+b2=c2,所以S1+S2=S3. 期中测试卷 1.C2.D3.C4.D5.A6.C7.B8.D9.C10.D 1.912.3em13.90或50°141015g 16.28°或31° 17.解：正确.理由如下： 在△APC和△CBA中， (AP=CB, ∠CAP=∠ACB, AC=CA, 所以△APC≌△CBA(SAS), 所以∠APC=∠ABC. 18.解：在△ABC和△ADC中， (AB=AD, BC=DC,所以△ABC≌△ADC(SSS), AC=AC, 所以∠BAC=∠DAC. 又因为OM⊥AB,ON⊥AD,垂足分别为M,N, 所以OM=ON,∠AMO=∠ANO=90°， 所以∠AOM+∠BAC=∠AON+∠DAC=90°， 所以∠AOM=∠AON,即OA平分∠MON. 又因为AM⊥OM,AN⊥ON, 所以AM=AN, 所以四边形AMON是筝形. 19.解：因为AB⊥BC,所以∠ABC=90° 设OA=OC=xcm. 因为BC=12cm,所以BO=BC-OC=(12-x)cm. 在Rt△ABO中，因为AB=6cm,AB2+OB2=OA2, 所以36+(12-x)2=x2,解得x=7.5, 所以OA=OC=7.5cm, 所以量角器的半径OC长为7.5cm. 20.解：如图所示，作AF⊥BO于点 0 F,CG⊥BO于点G, 则∠AFO=∠OGC=90°，易得 G-------------- BD=AF,CE=GB 由题可知，OA=OB=OC. 因为∠AOC=∠AOF十 ∠COG=90°，∠AOF+∠OAF=90°， 所以∠COG=∠OAF. I∠AFO=∠OGC, 在△AOF和△OCG中，{∠OAF=∠COG, OA-CO, 所以△AOF≌△OCG(AAS), 所以OG=AF=BD=2米. 设OA=OB=x米，则OF=(x-0.5)米. 在Rt△AFO中，根据勾股定理，得AF2+OF2=OA2, 即22十(x-0.5)2=x2,解得x=4.25, 所以OB=4.25米， 所以CE=GB=OB-OG=4.25-2=2.25(米)， 所以点C与点B的高度差为2.25米.