2.2 一元二次方程的解及其估算 教学课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2.2 一元二次方程的解及其估算 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、本课学习目标 【学习目标】 1. 理解一元二次方程解（根）的概念，能判断一个数是不是某个一元二次方程的根； 2. 会用"夹逼法"估算一元二次方程的近似解，能根据实际问题检验解的合理性； 3. 经历"实际问题→列方程→估算解→检验合理性"的过程，体会方程模型思想。 【学习重点】一元二次方程解的概念与夹逼估算方法 【学习难点】根据实际问题确定解的大致范围，并精确估算到指定精度 北师大版 九年级上册 · 第二章 一元二次方程 · 2.2 一元二次方程的解及其估算 二、温故知新 1. 什么叫一元二次方程？ 只含有一个未知数x，并且都可以化为ax²+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）形式的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0） 其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 3. 回顾：一元一次方程的解是什么意思？ 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。一元二次方程的解也叫方程的根。 北师大版 九年级上册 · 第二章 一元二次方程 · 2.2 一元二次方程的解及其估算 三、情境引入：矩形苗圃问题 【问题】一个面积为120m²的矩形苗圃，它的长比宽多2m，求苗圃的长和宽各是多少米？ 分析：设苗圃的宽为x m，则长为(x+2) m，根据题意列方程得： x(x+2) = 120 整理为一般形式：x² + 2x - 120 = 0 想一想：x取哪些值时，方程左右两边相等？ 当x=10时，左边=10²+2×10-120=100+20-120=0=右边，所以x=10是方程的解。 此时宽为10m，长为12m，符合实际意义。x=-12时左边也为0，但宽度不能为负，舍去。 北师大版 九年级上册 · 第二章 一元二次方程 · 2.2 一元二次方程的解及其估算 四、一元二次方程解（根）的概念 【概念】一元二次方程的解（根） 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 【注意三点】 1. 一元二次方程可能有两个不相等的实数根，也可能有两个相等的实数根，也可能没有实数根； 2. 由实际问题列出方程得到的根，不一定都是实际问题的解，需要检验是否符合实际意义； 例如：长度、面积不能为负，人数必须是正整数等。 3. 检验一个数是不是方程的根，只需把这个数代入方程左右两边，看两边是否相等即可。 北师大版 九年级上册 · 第二章 一元二次方程 · 2.2 一元二次方程的解及其估算 五、典型例题1：判断方程的根 【例1】下列哪些数是方程x² - x - 6 = 0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 解：把各个数分别代入方程左边： x=-3时，左边=(-3)² - (-3) - 6 = 9+3-6=6≠0，不是根； x=-2时，左边=(-2)² - (-2) - 6 = 4+2-6=0=右边，∴x=-2是方程的根； x=3时，左边=3²-3-6=9-3-6=0=右边，∴x=3是方程的根； 其余数代入均不等于0，不是方程的根。 结论：这个方程的两个根是x₁=-2，x₂=3。 北师大版 九年级上册 · 第二章 一元二次方程 · 2.2 一元二次方程的解及其估算 六、估算一元二次方程近似解的方法 当一元二次方程的根不是整数时，我们可以用"夹逼法"估算近似解，步骤如下： 【夹逼估算三步法】 第一步：确定大致范围 根据实际问题，确定未知数的取值范围，排除不符合实际意义的值； 第二步：列表取值，逐步逼近 在范围内取x的整数值，计算ax²+bx+c的值，找到使ax²+bx+c由正变负（或由负变正）的两个相邻整数，确定解在这两个整数之间； 第三步：进一步细化精度 在这两个整数之间继续取十分位、百分位的值，逐步缩小范围，直到达到题目要求的精度（通常精确到0.1）。 北师大版 九年级上册 · 第二章 一元二次方程 · 2.2 一元二次方程的解及其估算 七、典型例题2：用夹逼法估算解 【例2】一个长方形铁片，长比宽多5cm，面积为150cm²，求铁片的宽约为多少cm（精确到0.1cm）？ 解：设宽为x cm，则长为(x+5) cm，列方程得x(x+5)=150，整理为：x²+5x-150=0 第一步：确定范围：宽x必须是正数，x>0；若x=10，x²+5x-150=150-150=0，正好是整数根，实际宽为10cm。 【变式】若面积改为140cm²，方程为x²+5x-140=0，估算宽： x=9时：81+45-140=-14<0；x=10时：100+50-140=10>0，所以解在9~10之间； x=9.6时：92.16+48-140=0.16≈0，所以宽约为9.6cm。 北师大版 九年级上册 · 第二章 一元二次方程 · 2.2 一元二次方程的解及其估算 八、典型例题3：梯子滑动问题 【例3】一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，那么梯子底端滑动多少米（精确到0.1m）？ 解：滑动前底端距墙√(10²-8²)=√(100-64)=√36=6m； 设底端滑动x m，则滑动后底端距墙(6+x)m，顶端距地面7m，由勾股定理： (6+x)² + 7² = 10²，整理得：x²+12x-15=0 估算：x=1时：1+12-15=-2<0；x=2时：4+24-15=13>0，解在1~2之间； x=1.1时：1.21+13.2-15=-0.59<0；x=1.2时：1.44+14.4-15=0.84>0，解在1.1~1.2之间； x=1.1时更接近0，所以底端约滑动1.1m。 北师大版 九年级上册 · 第二章 一元二次方程 · 2.2 一元二次方程的解及其估算 九、检验解的实际意义 求出方程的根后，一定要结合实际问题检验根的合理性，不符合实际意义的根要舍去： 【常见需要舍去的情况】 1. 长度、面积、体积、速度等实际量不能为负数； 2. 人数、物体个数必须是正整数； 3. 增长率可以是正数（增长）也可以是负数（下降），但下降率不能超过100%（否则变为负数无意义）； 4. 三角形边长要满足三角形三边关系； 5. 几何图形中的线段长度不能超过图形本身的尺寸。 例如：解方程得到x=10和x=-12两个根时，x=-12表示负长度，要舍去。 北师大版 九年级上册 · 第二章 一元二次方程 · 2.2 一元二次方程的解及其估算 十、易错点专项辨析 【易错点1】忽略实际意义保留不合理的解 错例：求矩形宽得到x=10和x=-12，认为两个都是解；正解：舍去x=-12，宽为10m。 【易错点2】夹逼时范围找错 错例：没有先排除负数x，直接从0开始取值，浪费计算量；正解：先根据实际确定x>0的范围。 【易错点3】代入检验时代算错误 注意平方计算和符号：x=-2代入x²是(-2)²=4，不是-4。 【易错点4】没化一般形式就估算 一定要先整理为ax²+bx+c=0的形式，再代入数值计算。 北师大版 九年级上册 · 第二章 一元二次方程 · 2.2 一元二次方程的解及其估算 十一、随堂练习（一）基础巩固 1. 下列各数是方程2x²-5x+2=0的根的是（ ） A. x=2 B. x=1 C. x=-2 D. x=-1 答案：A。代入x=2：2×4-10+2=8-10+2=0，是根。 2. 根据下列表格，判断方程x²+2x-100=0的一个解x的范围是（ ） x=9时：81+18-100=-1；x=10时：100+20-100=20 A. 8<x<9 B. 9<x<10 C. 10<x<11 D. -10<x<-9 答案：B。x=9时左边=-1，x=10时左边=20，由负变正，解在9~10之间。 北师大版 九年级上册 · 第二章 一元二次方程 · 2.2 一元二次方程的解及其估算 十二、随堂练习（二）解答题 3. 已知直角三角形两条直角边相差3cm，面积为20cm²，设较短直角边为x cm： (1) 列出关于x的方程；(2) 估算x的值（精确到0.1cm）。 解： (1) 较长直角边为(x+3)cm，面积=½x(x+3)=20，整理得：x²+3x-40=0 (2) 估算：x=5时：25+15-40=0，正好是整数根，较短直角边为5cm，较长边为8cm。 4. 两个连续整数的积为210，设较小整数为x，列方程并估算两个整数分别是多少。 解：x(x+1)=210，即x²+x-210=0，估算得x=14时196+14-210=0，所以两个数是14和15。 北师大版 九年级上册 · 第二章 一元二次方程 · 2.2 一元二次方程的解及其估算 十三、课堂小结 【知识要点】 1. 一元二次方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值； 2. 检验根的方法：代入方程左右两边，看两边是否相等； 3. 实际问题的根要检验合理性，不符合实际的根要舍去； 4. 夹逼法估算近似解三步：确定范围→列表逼近→细化精度。 【思想方法】 方程模型思想、逼近思想、估算意识、检验意识。 北师大版 九年级上册 · 第二章 一元二次方程 · 2.2 一元二次方程的解及其估算 十四、课后作业 【必做题】教材第35页 习题2.2 第1、2、3题 【选做题】 一个两位数，十位数字比个位数字大3，两个数位上数字之积等于这个两位数的2/7， 列出方程，估算这个两位数是多少。 【预习】预习下一节《用配方法求解一元二次方程》，思考： 如何通过变形把x²+ax变成完全平方式？ 北师大版 九年级上册 · 第二章 一元二次方程 · 2.2 一元二次方程的解及其估算 谢谢同学们！ 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 $