第四章 专题 一次函数与三角形存在性问题讲义-2026-2027学年北师大版数学 八年级上册

03 一次函数与三角形存在性问题 【知识梳理】 1．等腰三角形存在性问题 等腰三角形的构造方法： （1）如图①所示，以线段AB为边的等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上， （2）或以A，B为圆心，AB长为半径的圆上(不与线段AB共线). 若没有明确指出等腰三角形的底或腰，则需要进行分类讨论 （1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，最后利用等腰三角形的性质来计算。 （2）代数法，先罗列三边长（可利用两点距离公式），再分类讨论列出方程，最后解方程并检验。 案例1. 在平面直角坐标系中，点A（3,1），O（0,0） （1）在x轴上找一点P，使得△OAP是以OA为腰的等腰三角形，则满足条件的点P有几个? （2）在坐标轴上找一点P，使得△OAP是以OA为腰的等腰三角形，则满足条件的点P有几个? （3）在坐标轴上找一点P，使得△OAP是等腰三角形，则满足条件的点P有几个? （4）在x=2上找一点P,使得△OAP是等腰三角形，则满足条件的点P有几个? 2. 直角三角形存在性问题 直角三角形的构造方法：如图②所示， （1）以线段AB为边的直角三角形的另一个顶点在以AB为直径的圆上， （2）或过点A，B且与AB垂直的直线上(A，B两点除外). 若没有明确指出直角三角形直角，则需要进行分类讨论 （1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，最后利用直角三角形的性质来计算。 （2）代数法，先罗列三边长（可利用两点距离公式），再分类讨论直角，利用勾股定理列出方程，最后解方程并检验。 案例2. 在平面直角坐标系中，点A（3,1），O（0,0） （1）在x轴上找一点P，使得△OAP为直角三角形，则满足条件的点P有几个? 3. 等腰直角三角形存在性问题 若没有指明直角顶点与斜边，必须分类讨论直角顶点位置： （1）几何法：先确定直角顶点，构造一线三垂直模型（K全等），画图推导坐标； （2）代数法：两点距离公式，结合两个条件：①两腰长度相等；②两腰互相垂直（斜率乘积=-1），列方程求解并检验三点不共线。 案例3. 在平面直角坐标系中，点A(3,1)，O(0,0)，在x轴上找一点P，使得△OAP为等腰直角三角形，则满足条件的点P有几个？ 【题型精讲】 题型一、一次函数与等腰三角形存在性问题 例1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． (1)求直线的表达式与点的坐标； (2)如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点（2，3）在直线上，点C是线段上一点（不与点O，B重合）． (1)求点A，B的坐标． (2)连接，将沿直线翻折得到，点D为点O的对应点，点D在第一象限，且． ①求点D的坐标． ②若直线与交于点E，在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二、一次函数与直角三角形存在性问题 例2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如下图，已知直线：与直线：交于点，两直线与x轴分别交于点B和点C． (1)求直线和的函数表达式； (2)求四边形的面积； (3)如下图，点P为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E．当为直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 【针对训练】 1．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 题型三、一次函数与等腰直角三角形存在性问题 例3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，，则的面积为______； 【模型拓展】 （2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点， ①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标； ②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 【针对训练】 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)点的坐标是，求证：是直角三角形． (3)在直线是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出的面积，如果不存在，请说明理由． (4)点是直线上的点，若面积是10，请你求出点的坐标． 【课后作业】 1. 如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求的值及的面积； (2)点在轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)点在轴上，若点是直线上的一个动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线分别与x轴、y轴交于B点和A点，点C在线段上，沿着直线对折，使点O落在直线上． (1)点B的坐标为______；直线的表达式为______． (2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线分别交直线和直线于点M、N，若，求出点P的坐标． (3)是否存在等腰直角三角形，使直角顶点D在直线上，同时点E在直线上，如果存在，直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【建立模型】 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 (1)如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； (2)在（）的条件下，求直线的表达式； (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是面积的2倍，求出D点的坐标； (3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，存在点M，使得为等腰直角三角形，请直接写出M点的坐标． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知． (1)求的面积； (2)直线l经过两点，求直线的解析式； (3)点D是在直线上的动点，是否存在动点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 6．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9 一次函数与三角形存在性问题 【知识梳理】 1．等腰三角形存在性问题 等腰三角形的构造方法： （1）如图①所示，以线段AB为边的等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上， （2）或以A，B为圆心，AB长为半径的圆上(不与线段AB共线). 若没有明确指出等腰三角形的底或腰，则需要进行分类讨论 （1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，最后利用等腰三角形的性质来计算。 （2）代数法，先罗列三边长（可利用两点距离公式），再分类讨论列出方程，最后解方程并检验。 案例1. 在平面直角坐标系中，点A（3,1），O（0,0） （1）在x轴上找一点P，使得△OAP是以OA为腰的等腰三角形，则满足条件的点P有几个? （2）在坐标轴上找一点P，使得△OAP是以OA为腰的等腰三角形，则满足条件的点P有几个? （3）在坐标轴上找一点P，使得△OAP是等腰三角形，则满足条件的点P有几个? （4）在x=2上找一点P,使得△OAP是等腰三角形，则满足条件的点P有几个? 2. 直角三角形存在性问题 直角三角形的构造方法：如图②所示， （1）以线段AB为边的直角三角形的另一个顶点在以AB为直径的圆上， （2）或过点A，B且与AB垂直的直线上(A，B两点除外). 若没有明确指出直角三角形直角，则需要进行分类讨论 （1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，最后利用直角三角形的性质来计算。 （2）代数法，先罗列三边长（可利用两点距离公式），再分类讨论直角，利用勾股定理列出方程，最后解方程并检验。 案例2. 在平面直角坐标系中，点A（3,1），O（0,0） （1）在x轴上找一点P，使得△OAP为直角三角形，则满足条件的点P有几个? 3. 等腰直角三角形存在性问题 若没有指明直角顶点与斜边，必须分类讨论直角顶点位置： （1）几何法：先确定直角顶点，构造一线三垂直模型（K全等），画图推导坐标； （2）代数法：两点距离公式，结合两个条件：①两腰长度相等；②两腰互相垂直（斜率乘积=-1），列方程求解并检验三点不共线。 案例3. 在平面直角坐标系中，点A(3,1)，O(0,0)，在x轴上找一点P，使得△OAP为等腰直角三角形，则满足条件的点P有几个？ 【题型精讲】 题型一、一次函数与等腰三角形存在性问题 例1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． (1)求直线的表达式与点的坐标； (2)如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为或 (3)存在，M点的坐标为或或或 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】（1）分别求出，，再确定函数解析式即可； （2）设，则，则，再求，由题意可得，即可求点坐标； （3）分三种情况：①当以为等腰三角形的顶点时，；②当以为等腰三角形的顶点时，，则点与点关于轴对称；③当以为等腰三角形的顶点时，，设，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数图象分别交轴、轴于点、， 当时，则，得：， 当时，得：， ∴，， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴直线的表达式为：， 当时，则，得：， ∴点的坐标为； （2）解：存在，理由如下： 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ①当以为等腰三角形的顶点时， ∴， ∴点的坐标为或； ②当以为等腰三角形的顶点时， ∴， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； ③当以为等腰三角形的顶点时， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，等腰三角形的性质等知识点，运用了方程的思想，难度较大．熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点（2，3）在直线上，点C是线段上一点（不与点O，B重合）． (1)求点A，B的坐标． (2)连接，将沿直线翻折得到，点D为点O的对应点，点D在第一象限，且． ①求点D的坐标． ②若直线与交于点E，在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，或或 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定等知识，求出直线解析式和分类讨论是解题的关键． （1）将点代入先求出b的值，即可得点A，点B坐标； （2）①过点P作于F，由折叠的性质可得 ，，可得则，即可求解；②求出点E的坐标，利用勾股定理得，再分三种情况求解即可． 【详解】（1）解∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，         ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴点，； （2）①过点P作于F， ∵将沿直线翻折得到，， ∴，， ∴， ∵点， ∴，， ∴， ∴点， ②如图： ∵，， ∴， ∴，解得， ∴点E的坐标， ∴， 当是以为腰的等腰三角形时，， ∴， ∴点Q的坐标为； 当是以为腰的等腰三角形时，， ∴， ∴点Q的坐标为； 当是以为腰的等腰三角形时，， ∵，∴， ∴， ∴，∴点Q的坐标为； 综上，存在点Q，使是以BE为腰的等腰三角形，点Q的坐标为或或． 题型二、一次函数与直角三角形存在性问题 例2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如下图，已知直线：与直线：交于点，两直线与x轴分别交于点B和点C． (1)求直线和的函数表达式； (2)求四边形的面积； (3)如下图，点P为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E．当为直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为：，直线的表达式为： (2) (3)P点坐标为：或 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由四边形的面积，即可求解； （3）①当时，证明，得到，即可求解；②当时，得到，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：将点A的坐标分别代入两个函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：，则点， 直线的表达式为：，则点； （2）解：由（1）知，， ， 点F在直线：上，则令，， ，则， 四边形的面积 ； （3）解：为直角三角形，分两种情况讨论： ①当时， 如图2，由对折可得，， ， 过点A作于G， ， ， ， ； ②当时，如图3所示： 由图可知：， ， 由对折得，， ， 设，则， 由勾股定理可知：， 则， 解得：， ∴， ， ∵P在x轴负半轴， ． 综上所述：P点坐标为：或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，构造出图形是解本题的关键． 【针对训练】 1．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①点坐标为或；②存在，点D的坐标为或或或 【难度】0.64 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、等腰三角形的定义 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据求出长即可求解； ②分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ②设D的坐标是 ∴，，， 当时，，解得：，（舍去）； 当时，，解得：，； 当时，，解得：； 综上可知，点D的坐标为或或或． 题型三、一次函数与等腰直角三角形存在性问题 例3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，，则的面积为______； 【模型拓展】 （2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点， ①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标； ②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 【答案】（1）50；（2）①点的坐标为；②的坐标为或 【难度】0.4 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据得到，，再利用计算即可； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且，过点B作轴于．先求出点A、点C的坐标，再证明，得到，，即可求出点B的坐标； ②由题意设点P的坐标为，设点Q的坐标为．再根据为等腰直角三角形分情况讨论，构造“K形图”求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ， 故答案为：50； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且； 如图，过点作轴于． 当时，则， 点的坐标为，即： 当时，则， 解得， 点的坐标为，即， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为； ②由题意设点的坐标为，设点的坐标为． 分以下三种情况讨论： 情况1．如图，当，时， 过点作轴，过点作轴交于，过点作轴交于，则， 则点的坐标为，点的坐标为， ， ， ，， ， 解得，， 此时点的坐标为； 情况2．如图，当，时，过点作轴于点，过点作轴于点，则， 则点的坐标为，点的坐标为， 由“K形图”可得 ，， ，， 解得， 此时点的坐标为， 情况3．如图5，当，时，过点作轴于点，过点作于点，则， 则点的坐标为，点的坐标为， 由“K形图”可得   ，， ，， 解得，， 此时点的坐标为． 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题． 【针对训练】 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)点的坐标是，求证：是直角三角形． (3)在直线是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出的面积，如果不存在，请说明理由． (4)点是直线上的点，若面积是10，请你求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) 证明：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． (3)存在，的面积为或 (4)点E的坐标为或 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，三角形的面积． （1）分别令，，即可求出函数图形与坐标轴交点的坐标； （2）根据两点间距离公式求出，，的长，再根据勾股定理的逆定理判断即可； （3）当时，是等腰直角三角形．分点D在线段上和当点D在线段的延长线上两种情况求解即可； （4）根据，得到点E在的延长线上，或在的延长线上，分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，则，解得， ∴， 令，则， ∴． （2）略 （3）解：由（2）可知是直角三角形，， ∴当时，是等腰直角三角形． 如图，当点D在线段上时， ∵， ， ∴． 如图，当点D在线段的延长线上时， ． 综上所述，直线存在点，使得是等腰直角三角形，的面积为或． （4）解：∵，， ∴点E在的延长线上，或在的延长线上， ①如图，当点E在的延长线上，过点E作轴于点G， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴点E的纵坐标为6， 把代入一次函数，得， 解得， ∴点E的坐标为． ②如图，当点E在的延长线上，过点E作轴于点H， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴点E的纵坐标为， 把代入一次函数，得， 解得， ∴点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为或． 【课后作业】 1. 如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求的值及的面积； (2)点在轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)点在轴上，若点是直线上的一个动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或 (3)或 【难度】0.4 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用． 将点的坐标代入函数解析式求得的值，根据直线方程求得点的坐标，然后求得相关线段的长度，由三角形的面积公式解答； 根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式解答； 分类讨论：点在轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入直线，得 ， 解得， ． 当时，． ，． 当时，， ， ，， ； （2）如图， 当时，点与点关于轴对称，故C符合题意； 当时，由，得到，由得到、． 综上所述，符合条件的点的坐标是或或； （3）， ， ． 由知，， ； 当点在轴下方时，， ， 点在轴下方， ． 当时，代入得，， 解得． ； 当点在轴上方时，， ， 点在轴上方， ． 当时，代入得，， 解得． ． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线分别与x轴、y轴交于B点和A点，点C在线段上，沿着直线对折，使点O落在直线上． (1)点B的坐标为______；直线的表达式为______． (2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线分别交直线和直线于点M、N，若，求出点P的坐标． (3)是否存在等腰直角三角形，使直角顶点D在直线上，同时点E在直线上，如果存在，直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的坐标为． (3)存在，； 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）令，则可求出点B的坐标；根据题意求出，由勾股定理求得，设，则，，由折叠得出，，，在中，根据勾股定理，可求出点C的坐标，设直线的表达式为，将点A和点C的坐标代入，即可求出直线的表达式； （2）设，则，，因此可得，根据，得，点P在线段上，即可求出点P的坐标； （3）设，，过点D作轴于点M，过点E作于点N，证明，则，列式，，解得，进而可得点D的坐标；过点D作轴于点P，过点E作的延长线于点Q，证明，则，列式，解得，进而可得点D的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，解得， ，， ， ， 设，则，， 沿着直线对折，使点O落在直线上， ，，， 在中，， ， 解得， ， 设直线的表达式为， 将点A、点C的坐标代入，得 ， 解得， 直线的表达式为， 故答案为：，； （2）设，则，， ， ， ， 解得或， ∵点P在线段上， ； （3）存在，理由如下： 直角顶点D在直线上，点E在直线上， 设，， 过点D作轴于点M，过点E作于点N， 若是等腰直角三角形，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 解得， ； 过点D作轴于点P，过点E作的延长线于点Q， 若是等腰直角三角形，则， ， ， 在和中， ， ， ， 解得， ； 综上所述， ；． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，折叠的性质，勾股定理等知识． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【建立模型】 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 (1)如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； (2)在（）的条件下，求直线的表达式； (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】（）根据解析式得出、坐标，由 “”可证 可得，即可求解； （）由待定系数法可求解； （）由 “”可证 ，可得，，即可求解； 本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵与轴、轴分别交于、两点， ∴点，点， ∴，， 如图，过点作轴于， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点； （2）设直线的表达式为：， ∵， ∴， ∴， ∴直线的表达式； （3）当时，过点作轴于，过点作于， ∵点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴点， 当时， 过作于点，过作，交延长线于点， 同理， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴点， 综上所述： 点坐标为或． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是面积的2倍，求出D点的坐标； (3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，存在点M，使得为等腰直角三角形，请直接写出M点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点D的坐标为 (3)或 【难度】0.15 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质，解题关键是分情况进行讨论． （1）利用待定系数法求直线的解析式； （2）根据三角形面积公式得到到的距离等于点到的距离的 2 倍，即点的纵坐标为 4 ，然后利用直线的解析式计算函数值为 4 所对应的自变量的值，从而得到点坐标． （3）先求出直线的表达式，再求出点的坐标为，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴线段的表达式． （2）解：令，则， ∴， ∵，且点在轴正半轴上， ， ∴， ， 设点的坐标为， 如图①，过点作轴的垂线交轴于点， 则， ， 即， 解得：， ∴点的坐标为． （3）解：存在，点的坐标为或， 设直线的表达式为， 将点代入， 得， 解得， ∴直线的表达式． 已知点在线段上， 设点的坐标为， 则， ∵轴，且点在上， ∴将代入， 得， 解得：． ∴点的坐标为， 分三种情况讨论：①如图②，当为直角顶点时，点的坐标为， ， ， 解得：， ∴点的坐标为． ②如图③，当为直角顶点时，点的坐标与①中情况相同； ③如图④，当为直角顶点时，， 过点作轴，交于点， 则点为的中点，且， ∴点的坐标为， ， ， ， 解得：， ， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知． (1)求的面积； (2)直线l经过两点，求直线的解析式； (3)点D是在直线上的动点，是否存在动点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)24 (2) (3)存在点D的坐标为或使得； (4)点K的位置不发生变化，其坐标为， 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先求出B、C的坐标，进而求出，的长，再根据三角形面积公式求解即可； （2）设直线的解析式为，将，代入，利用待定系数法求解即可； （3）先据三角形面积求出，据此求解即可； （4）如图所示，过点Q作轴于H，根据一线三垂直模型证明，得到，，进而证明，得到是等腰直角三角形，则，由此可证明为等腰直角三角形则，； 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入，得， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴当时，，解得，即点D的坐标为； 当时，，解得，即点D的坐标为； 综上所述，存在点D的坐标为或使得； （4）解：点K的位置不发生变化，其坐标为，理由如下： 如图所示，过点Q作轴于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 6．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)为或 (4)第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【难度】0.4 【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据勾股定理可得，根据轴对称的性质可得，则可得，进而可得； （2）设，则，在中,根据勾股定理列方程求出x的值，即可得C点的坐标． （3）设，则，根据列方程求出m的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． ， ． 故答案为：5，． （2）解：，则， 在中, ， ∴， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 解得，． ∴M点的坐标为或． （4）解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于G点, 则， ∵， ∴， 又∵ ， 在和中， ， ， ，， ． ∴P点的坐标为． ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于H点， 同理得， ，， ∴P点的坐标为． ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于点M，轴于点N， 则， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点P的坐标为，， 则，，， 解得：， ∴点P的坐标为． 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $