第12讲 极值与最值 专项训练-2027届高三数学一轮复习

极值与最值 函数与导数 · 专题篇 求函数的极值 一、极值的判据是两侧导数的符号，不是导数为零 先增后减的点是极大值点，先减后增的点是极小值点；判断时看驻点左右两端导数的正负。 二、求极值的三步 求导 → 令导数为零解出驻点 → 逐个检查驻点两侧导数的符号。 三、导数为零不等于极值点 驻点两侧导数同号（例如重根处）时它不是极值点；导数不存在的点也可能是极值点。 四、含参时先看根的个数与位置 导数的零点个数随参数变，要按「两根谁大」「根在不在定义域内」分类。 五、极值点与极值不是一回事 极值点是横坐标、极值是函数值 —— 题目问哪个就答哪个。 例1（填空·★★☆☆☆） 函数的极大值点为________. 【切入点】三次函数求极值点，标准三步：求导、解驻点、看两侧符号。 【关键】，两个驻点是 与 。在 上两个因式都为负、乘积为正，函数递增；在 上前者为负、后者为正，乘积为负，函数递减。所以 是先增后减的点，即极大值点。 【易错】答案要写极大值点 ，不是极大值 ——题目问的是点。 处导数也为零，但两侧导数都是正的，它对应的是极小值点，别答错。 【答案】 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】三次函数的两个驻点谁大谁小由 、 的关系定；「5 是极小值点」正好把 定住。 【关键】。由 得 ，所以函数在 、 上递增、在 上递减。于是 是极小值点，故 ； 是极大值点。要让开区间 内有最大值，极大值点要落在区间内，且右端不能越过「函数值等于极大值的另一个点」。由 在 处有二重根，设它等于 ，比较 的系数得 ，解出 。于是需要 ，解得 、 且 ，合起来 。故选 D。 【易错】「函数值等于极大值的另一个点」 要算出来，凭图象猜容易把端点写错。区间是开的，所以左端界的等号取不到（ 严格），而右端 可以取等号。 【答案】D 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，其中，3为的极大值点。若在内有最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】与上一题同型，但这里 —— 两个驻点的大小关系反过来，极大与极小的位置也随之互换。 【关键】。由 得 ，所以函数在 、 上递增、在 上递减。于是 是极大值点，由题设 ； 是极小值点。要让 内有最小值，极小值点要落在区间内：，即 。左边给出 ，右边自动成立。故选 D。 【易错】上一题 、本题 ，极大与极小正好对调 ——照抄上一题的结论会整题错。「区间内有最小值」等价于极小值点落在区间内，两个端点都要卡。 【答案】D 变式1-3（单选·★★★☆☆） 若函数存在极大值点和极小值点，，其中，都是实数，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】「存在极大值点和极小值点」等价于导函数有两个变号零点；把参数分离出来，就变成两条曲线的交点问题。 【关键】。要有极大值点和极小值点， 必须有两个不相等的实根。 时方程只剩 一个根，所以 。在 处两边除以 ，得 。记 ，： 在 与 上递减、在 上递增； 时 取负值， 时最小值为 ，且两端分别趋于 与 。所以方程有两解当且仅当 。若 ，由 得 ，即 ，于是 ，A 项正确；若 ，不等式两边乘 反向，得 ，B 项错误。C、D 两项的式子与 、 的符号配合不上。故选 A。 【易错】分离参数时除以了 ，要先说 、。 里 的正负会影响不等号方向，必须分两种情形讨论。判 的取值不必画图：导数符号把单调性定死了，再看 与 的趋势即可。 【答案】A 变式1-4（单选·★★★☆☆） 若函数有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】真数里含参数 ，先换元把参数挪到指数上，问题就化成「导函数有没有变号零点」。 【关键】令 ，则 ，函数化为 （），。记 ，，驻点 。当 时 落在定义域外， 在 上递减，而 时 、 时 ，所以恰有一个零点，函数有极值。当 时 ， 先减后增，最小值是 ；它小于零时 才有两个零点、函数才有极值。由 得 ，即 。综上 。故选 A。 【易错】换元后定义域是 ，驻点 落不落在定义域内要分 的正负看。 的符号由 决定，界是 而不是 —— 这一点最容易写错。 【答案】A 变式1-5（单选·★★★☆☆） 若函数在区间上有奇数个极小值点，则的值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【切入点】 出现在频率上，换元 把区间拉直，极值点就变成「每个单调区间恰有一个」的计数问题。 【关键】令 ，则 （），。驻点由 给出，即 （在 处）。对每个整数 ，函数 在区间 上严格递增，两端分别趋于 与 ，所以每段恰有一个零点。逐段看导数的符号可知，这些零点交替成为极大值点与极小值点。因此 为奇数时极值点总数是奇数、其中极小值点也是奇数个； 为偶数时极小值点是偶数个。四个选项里只有 是奇数。故选 B。 【易错】 的根要按每个单调区间一段来数，只解第一个根远远不够。极值点极大、极小交替出现 —— 认出这一点，本题就只剩「 的奇偶性」一件事。 【答案】B 变式1-6（单选·★★★★☆） 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为 “局部反比例对称函数”. 若的导函数是定义在区间上的 “局部反比例对称函数”，则实数的最大值与最小值之差为（ ） A. B. C. D. 【切入点】新定义给的是一个函数方程，把它翻译成「关于参数 的方程在 上有解」。 【关键】。条件即：存在 使 。展开并把 记作 ，整理得 。当 时 单调递增（可由作差看出），所以 。于是问题化为 在 上有零点。若 （即 ）， 在区间上递增，只需 ，解得 ；若 （即 ），最小值在 处，令 得 ，与 矛盾。所以 ，最大值与最小值之差为 。故选 B。 【易错】换元后必须算出 的范围（ 时 ）——它决定了对称轴落在区间内还是区间外。二次函数在区间上有零点要分「对称轴在区间内／外」两种情况，只算一种会漏掉整个分支。 【答案】B 例2（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则在内的极大值点为（ ）。 A. B. C. D. 【切入点】解析式里带着 这个常数，先把它定出来，函数才明确下来。 【关键】，代入 得 ，解得 。所以 ，。令 得 ；在 内 ，所以 ，即 。在 上 、导数大于零，函数递增；在 上导数小于零，函数递减。所以 是先增后减的点，是极大值点。故选 B。 【易错】 是常数，求导时它跟着 一起走： ——这一层的系数 最容易丢。解 要在 内找，得到正负两个解，只取正的那个就会选错。 【答案】B 例3（填空·★★★☆☆） 已知函数的极小值点为2，则的极大值点为_________． 【切入点】「极小值点为 2」一下子给出两条信息：导函数在 2 处为零，且 2 两侧是先减后增 —— 前者用来定参数，后者用来筛支。 【关键】，分母恒正。由 得 ，即 。代入并把分子分解：，两个驻点是 与 。要 2 处先减后增，需要 ；又 是正整数，所以 ，取 。此时另一个驻点是 ，它是先增后减的点，即极大值点。 【易错】 只说明 2 是驻点，还得用「先减后增」把另一支筛掉 —— 若 ，2 就成了极大值点。「 是正整数」这个条件是筛出唯一解的钥匙，不能忽略。 【答案】 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知是函数的极小值点，则 = _________，曲线的对称中心为_________． 【切入点】两个驻点里哪一个等于 1，要两种都试；第二空问三次曲线的对称中心，先求出解析式再定。 【关键】，驻点是 与 。若 ，驻点为 与 ：函数在 上增、 后减，所以 是极大值点，不符；若 即 ，驻点为 与 ：函数在 上减、 上增，所以 是极小值点，符合。故 。于是 。设对称中心为 ，由 恒成立，展开后 的系数是 ，令它为零得 ；再代回得 。所以对称中心是 。 【易错】两个驻点谁是 1 必须两路都算 —— 只代 会漏掉对 那支的排除。三次曲线的对称中心落在两个极值点的中点：这里极值点是 与 ，中点正是 。 【答案】， 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知函数在有极大值，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 方程有且只有一个实数解，则或 D. 当时， 【切入点】题干给了「 处有极大值」，先用它把参数 定下来，再逐项判。 【关键】，。由 得 或 。 时 ， 处先减后增、是极小值点，舍去； 时 ， 处先增后减、是极大值点。所以 ，A 项错误。B 项：、，切线方程是 ，B 项正确。C 项：函数在 、 上递增、在 上递减，极大值 、极小值 ，所以方程只有一个解当且仅当 或 ；选项写的是 ，而 时方程有 与 两个解，C 项错误。D 项： 时 ，而函数在 上递增，所以 ，D 项正确。故选 BD。 【易错】 解出两个 ，必须验哪个使 是极大值点 —— 直接取 就全错了。C 项的坑在端点： 时方程有两个解，所以只能写 而不是 。 【答案】BD 极值点的个数 一、把「有几个极值点」翻译成「导函数有几个变号零点」 「有 个极值点」等价于导数的方程有 个变号零点；「无极值」等价于导数在定义域上不变号；「存在极值点」等价于导数有零点。 二、分离参数：看的是值域，不是单调性 把参数甩到一边后，要看另一条曲线在区间上的取值范围（必要时再配合单调性），而不是只看它增还是减。 三、二次方程根的分布：三条一起卡 判别式大于零、两根之和、两根之积 —— 三条都要看；定义域是 时，「两根」还要满足两根同正。 四、区间上的极值点：先求出极值点，再让区间包含它 题目给的区间含参数时，让极值点落在区间内（必要时再加上区间落在定义域内）。 五、别忘定义域 负根、以及落在定义域外的根都不产生极值点。 例4（填空·★★★☆☆） 若函数无极值，则的取值范围为_________． 【切入点】「无极值」翻译成「导函数在定义域上不变号」，接着把参数分离出来求最值。 【关键】。无极值意味着导数不变号。当 时 ，所以导数不可能恒非正，只能是 恒成立。分离参数得 恒成立。记 ，： 在 上递减、在 上递增，最小值是 ，所以 的取值范围为 。 【易错】「无极值」含「恒非负」与「恒非正」两种情况，两个都要试 ——本题靠 时导数趋于正无穷，把恒非正那一支排除掉。分离参数后取的是最小值（因为条件是 不超过它）。 【答案】 变式4-1（单选·★★★☆☆） 若函数无极值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例题同型 —— 导数里含参的一次项与指数混在一起，先看它有没有可能不变号。 【关键】。无极值意味着它不变号；因为 时 ，所以只能是 恒成立，即 恒成立。记 ，，最小值是 ，所以 。故选 C。 【易错】与例题只差一个常数项 ，但那个常数求导后消失，所以两道题的答案完全相同 —— 看到「加了个常数」不要以为题目变了。 的最小值在 处取到，别算成 。 【答案】C 变式4-2（单选·★★★★☆） 已知函数，有下列四个命题，其中正确的个数是（ ）（1）有两个极值点 （2）直线是曲线的切线（3）点是曲线的对称中心 （4）有三个零点 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【切入点】四次判断各考一个点：极值点个数、切线、对称中心、零点个数 ——先把导数与单调性算出来，四条都能挂上去。 【关键】，，两个零点 ，且导数在这两点处都变号，所以函数有两个极值点，（1）正确。（2）要判断 是不是切线：设切点横坐标为 ，斜率 得 ；代回求切线： 处切线为 、 处切线为 ，都不是 ，所以（2）错误。（3）三次曲线 的对称中心是 ，（3）正确。（4）两个极值是 与 ，都大于零，而 时 ，所以只有 1 个零点，（4）错误。正确的有 2 个。故选 C。 【易错】（2）的坑在于切点有两个（）——必须把两条切线都算出来再逐一比对，只算 或只验斜率都会判错。（4）要看两个极值的符号：两个极值同号时三次函数只有一个零点；这里两个极值都为正，所以只有一个零点。 【答案】C 变式4-3（单选·★★★☆☆） 已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】导数是关于 的二次式，解出来就变成「余弦取某值的点有几个」，再用余弦的对称性把和算出来。 【关键】，分解得 ，所以 或 。在 上： 有 4 个解（每个周期 2 个，共两个周期）； 也有 4 个解。它们按从小到大排成 。注意每组解都关于 成对出现（若 是解， 也是），所以 ；同理 。再把 逐项算出来，其中含正弦的两项都为零，含 的项为零，只剩常数项。故选 B。 【易错】解 时要用反余弦写解、不能只写一个值；在 上有 4 个解而不是 2 个。求和不用真去解出每个 —— 利用「解关于原点成对」这一条，、 直接得出。 【答案】B 变式4-4（单选·★★★☆☆） 函数在区间上的极值点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【切入点】求导后 与三角函数分开成了两个因式，零点就是一个一次零点加一串正弦零点。 【关键】。令 得 或 。在 内， 共 5 个候选点。逐个看两侧符号： 是 两侧变号； 在 （）两侧也变号；而 处 与 同时变号、乘积不变号 ——所以 不是极值点，真正的极值点是 与 共 4 个。故选 A。 【易错】 处两个因式同时变号，乘积不变号，所以它不是极值点 ——这一条最容易被漏掉，漏掉就会数成 5 个。求导时 ，那个负号别丢。 【答案】A 变式4-5（单选·★★★★☆） 设函数，给定下列命题①不等式的解集为；②函数在单调递增，在单调递减；③时，总有恒成立；④若实数，则函数有两个极值点。则正确的命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】四个命题都绕着 转 ——先把它的定义域、单调性与值域一次性算清。 【关键】 的导数是 ，所以 （）。，所以 在 上递增、在 上递减，最大值是 ；又 时 、 时 。命题①： 即 ，解集为 ，正确。命题②： 的递增区间是 、递减区间是 ，选项写的是 与 ，错误。命题③：在 上 （ 处取零），而 （ 处取零），两个零点错开，所以 恒成立，正确。命题④：，。要有两个极值点，需 有两个根，即 有两个根。由 的值域知这要求 ，即 ；而命题给的是 ，范围偏大，错误。正确的只有①③，共 2 个。故选 B。 【易错】命题②问的是 的单调区间，不是 的 ——两者差一个横坐标的伸缩（ 相当于 在 处取值），分界点由 变成 ，直接照搬会选错。命题③的两个零点分别在区间两端、互不重合，这是「严格小于」成立的关键。 【答案】B 变式4-6（解答·★★★★★） 已知函数．判断在区间上极值点的个数，并说明理由． 【切入点】函数里带 ，求导后分子是 ——把它当成新函数再求一次导，零点个数就能数清了。 【关键】定义域为 ，，分母恒正，符号由分子决定。记 ，。在 上 ，所以 ， 递减；在 上 ，， 递增；在 上 ，， 递减。四个关键值：、、、。所以 在 上从 递减到 ，恒负、没有零点；在 上从 递增到 ，恰好一个零点；在 上从 递减到 ，恰好一个零点。这两个零点处 都变号，所以 有两个变号零点，函数在 上有两个极值点。 【易错】 前面那个负号决定各段的增减方向，丢了就全反了。 用不上： 不在定义域内，而 在 上是严格递减的，所以那一段恒负。数零点时要说明每段恰有一个：靠的是该段上单调加两端异号。 【答案】 在 上有两个极值点。 例5（填空·★★★☆☆） 若函数有两个极值点，则实数的取值范围_______． 【切入点】通分后分子是二次式，于是「两个极值点」变成「二次方程有两个不同的正根」。 【关键】定义域为 ，，分母恒正。两个极值点等价于 ，即 ，在 上有两个不同的根。两根之和为 （恒正），两根之积为 。要有两个正根，需要积为正，即 ；还要判别式为正，即 ，也就是 。合起来 。 【易错】「两个根」不等于「两个正根」—— 定义域是 ，负根不产生极值点。两根之和恒正，所以本题靠两根之积卡出 。判别式给的是另一侧的界，两条缺一不可。 【答案】 变式5-1（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个极值点，则的取值范围为_______. 【切入点】求导后是「对数 ＋ 含参一次式」，把参数分离出来，就变成直线与曲线有两个交点。 【关键】定义域为 ，。两个极值点等价于 有两个根，也就是直线 与这条曲线交两次。记 ，： 在 上递增、在 上递减，最大值是 ；又 时 、 时 ，所以 的值域在正半轴上是 、且只取到一次最大值。直线 与它有两个交点，当且仅当 ，解得 。 【易错】分离参数后要的是 的值域（＝图象的水平截线能交几次），不是它的单调性。把 的正负与 一起卡：既要大于零、又要小于最大值。求导时 里的两个 正好抵消，剩下 ，这一步不能算错。 【答案】 变式5-2（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个极值点，，且，则 = __________. 【切入点】两个极值点给出韦达关系，绝对值条件负责定参数 ——先把定义域上的对称性认出来。 【关键】，由 与韦达定理得 、。因为导数开口向上， 是极大值点、 是极小值点，所以 。条件 说明 与 互为相反数，即 。把 的两式相加并用 、 表示，代入后解出 。 【易错】绝对值去掉时要先判两个式子的正负 ——这里由 是极大值点、 是极小值点得 ，但 与 谁大谁小还要另算，本题恰是互为相反数，所以取「和为 」这一支。别忘了先由「有两个极值点」定出 ，再验 满足。 【答案】 变式5-3（多选·★★★☆☆） 已知，函数有两个极值点，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. 曲线的对称中心的横坐标为 C. 存在实数，使得是的极大值点 D. 当时，经过点的切线有且只有1条 【切入点】四个选项各管一件事：判别式定范围、对称中心、极值点的位置、切线条数 ——都挂在同一个导数上。 【关键】。A 项：要有两个极值点，判别式 ，结合 得 ，A 项正确。B 项：三次曲线的对称中心在其导函数图象的对称轴上， 的对称轴是 ，所以横坐标是 而不是 ，B 项错误。C 项：若 是极值点，由 得 ；此时 ，函数在 上递增、在 上递减，所以 确实是极大值点，C 项正确。D 项： 时 ，设切点横坐标为 ，由切线过点 列出关于 的三次方程，解得三条不同的切线，D 项错误。故选 AC。 【易错】B 项的对称轴符号最容易错：导函数的对称轴是 （由 的系数与韦达关系得来），选项写的是 ，差一个负号。C 项先由 解出 ，还要回代验证 是极大而不是极小。 【答案】AC 例6（单选·★★★☆☆） 已知存在两个不同极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】导数是「指数 ＋ 含参一次式」的混合形状，要先按参数的符号定下它有没有可能变号。 【关键】。当 时 ，没有零点，不符；当 时，记 ， 恒成立，所以 在 上单调递增、最多一个零点，不符；当 时， 在 处为零， 先减后增，最小值是 。要有两个零点，需最小值小于零，即 ，也就是 。此时 与 时 都趋于正无穷，两侧各有一个零点。故选 A。 【易错】 那一支要先判断 的符号： 里 ，所以 恒正、 单调，不可能有两个零点。最小值小于零只是「有零点」的必要条件，还要说明两侧都趋于正无穷，零点才真的是两个。 【答案】A 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知函数，．讨论的极值点个数． 【切入点】导数是 ，含参的一次式与指数混在一起 ——按 的符号分类，看导函数有没有变号零点。 【关键】。当 时， 而 ，两项之和恒正，所以 在 上单调递增，无极值点。当 时，令 得 ，即 。 是 上的增函数，所以 时 、 时 。于是该点是先减后增的点，即唯一的极小值点，没有极大值点。综上： 时无极值点； 时只有一个极小值点（在 处），没有极大值点。 【易错】答「极值点个数」要把是极大还是极小一并写清 ——只写「一个极值点」拿不到分。 时 ，归在「」这一类里。说明 是增函数这一步不能省：它是「零点两侧符号相反」的依据。 【答案】 时 无极值点； 时它只有一个极小值点（在 处），没有极大值点。 变式6-2（解答·★★★★★） 已知函数，．当时，讨论函数极值点的个数． 【切入点】导数里的参数能分离出来，于是「极值点个数」变成「水平线与一条曲线有几个交点」。 【关键】定义域为 ，。令 ：因为 ，两边同除以 得 ……直接整理更稳妥：由 得 。记 （），。当 时 、当 时 ，所以 在 上递增、在 上递减，最大值是 ；又 时 ， 时 。题设 ，即水平线 落在最大值 的下方，它与 的图象有两个交点，也就是 的两个零点都变号，因此极值点共有 个。 【易错】分离参数后要比较 与 的最大值（不是最小值）——因为「方程有两解」看的是水平截线能切几次。 时 从负方向趋于零，所以 （）与右侧那一支必有交点，这一点要说明，不能只靠图象印象。 【答案】 变式6-3（解答·★★★★★） 已知函数，．已知，函数，讨论的极值点的个数． 【切入点】 由这两个函数乘参数相减拼成，而 与 的导数结构相同 —— 求导后正好能提取公因式。 【关键】。因为 、，所以 。令 ，三个候选零点是 、 与 。当 时 ，与第一个零点重合，此时 在 上非正、在 上非负，函数只有 个极小值点 。当 时 ，与第二个零点重合，此时 在 上非正、在 上非负，函数只有 个极小值点 。当 时 ，三个零点互不重合，按从小到大排为 ，导数的符号依次为「负、正、负、正」，函数有 个极值点。当 时 ，顺序为 ，符号同样依次为「负、正、负、正」，也有 个极值点。综上， 的极值点个数为： 或 时为 个， 或 时为 个。 【易错】三个零点的重合是分类的钥匙 —— 重合处导数不变号，极值点就少两个。、 这两个值必须单独成类，不能并进「」里。提取公因式 是本题最省力的一步，分别展开 与 的导数再相减会非常冗长。 【答案】 的极值点个数为： 或 时为 个； 或 时为 个。 变式6-4（解答·★★★★★） 已知函数，，令，其中．求函数在上的极值点个数． 【切入点】 里带着 这个分式，先乘进去化简 —— 正好把分母消掉，化简后是「三角 ＋ 一次」的形状。 【关键】。把 代入得 ，所以 。求导得 。令 ，即 。记 ，。在 处 、在 处 ，所以 在 内先增后减，且 ；在 上 、，所以 ， 单调递减。配合 、、，可知 的值域在 上是 的一部分、在 上从 单调降到 。因为 ，所以 ：它与 的图象在 上恰好相交一次，而在 上 、不相交。所以 在 上恰有一个变号零点， 在 上的极值点个数为 。 【易错】 这一步化简是整题的钥匙 ——不化简就要对分式求导，式子会长得没法看。 的范围 是用来定 所在的区间的，这是「恰好一个交点」的依据。 在 上的最大值要说明大于零，才能断定它与 不相交。 【答案】 在 上的极值点个数为 。 例7（单选·★★☆☆☆） 若定义在上的函数存在极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数只有一个极值点，所以「区间内存在极值点」就是要求这个区间把那个点圈进去。 【关键】定义域为 ，。当 时后面三个因式都为正，导数的符号只由 决定： 时导数小于零、 时大于零，所以 是唯一的极小值点。要让 内存在极值点，只需 ，即 ；同时区间要落在定义域内，即 ，也就是 。合起来 。故选 C。 【易错】两个条件缺一不可：区间含极值点、区间落在定义域内 ——只写 就会把区间有一半在定义域外的情形也算进来。求导后分子的三个因式在 时都恒正，判号时可以直接丢掉。 【答案】C 变式7-1（单选·★★★☆☆） 若函数有两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】分段函数要在每一段上分别找极值点，再让两段的极值点合起来恰好两个。 【关键】当 时 ，对称轴是 ；若 ，这一段在 处取到极大值，就有一个极值点。当 时 是一次函数，只有 时它单调递增，才会在分段点 附近再产生一个极值点。于是需要 且 ，解得 。故选 B。 【易错】分界点 处是不是极值点，要看左右两段的单调方向是否相反 —— 时右段递减，两侧方向一致， 就不是极值点。左段的极值点是对称轴处，条件写成 而不是 （取等号时对称轴落在分界点上，那一点要按分界点单独判）。 【答案】B 变式7-2（填空·★★★☆☆） 已知函数在内存在个极值点，则的取值范围为______. 【切入点】函数含 ，先认出它是偶函数 ——这样 内的极值点关于原点成对出现，只需数一半。 【关键】，所以 是偶函数。 处导数由对称性知为零，且两侧单调性相反，所以它是一个极值点。要在 内共 5 个极值点，只需 在 内有 2 个极值点（加上 与负半轴的对称点）。 时 ，。记 ，它要在 上有 2 个变号零点。 在 处为零， 先减后增，所以要 、最小值小于零、。由 得 ，结合 的最小值条件解得 。 【易错】偶函数的题要先数一半再翻倍 —— 直接按「5 个」去卡会多算一倍。 那个极值点是免费的（偶函数必然在原点处或对称轴处给出一个），别忘了把它算进 5 个里。 与最小值小于零这两个条件要联立，只用一个解不出来的。 【答案】 变式7-3（单选·★★★☆☆） 已知函数有且仅有个极值点、、，且，则（ ） A. 为奇数 B. 为奇数 C. 若，则 D. 若，则 【切入点】导数的零点有三个，但重根处不产生极值点 ——所以「有且仅有 3 个极值点」要对 、 的奇偶与 、 的大小分类。 【关键】，三个可能的零点是 、 与 。要三个都是变号零点，指数 、 都必须是奇数，即 、 都是偶数 —— 否则某个根是偶重根，导数在那里不变号，不产生极值点。在此前提下再看 与 、 的大小关系：它必在 与 之间（因为它是 、 按 、 的加权平均），于是三个零点从小到大排列的顺序随 、 的大小而变，从而决定 是哪一个、并给出 与 的大小。故选 D。 【易错】本题考查的是「重根处不变号」这条判据 ——只要有一个指数为偶数（对应奇重根之外的偶重根），导数在该处就不变号，极值点个数就不够。三个零点的排序要用「加权平均必介于两端之间」来定，硬代数字会绕远。 【答案】D 变式7-4（单选·★★★☆☆） 我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”。已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】新定义要的是「极值点个数」与「极大、极小的排列顺序」，所以先把 的导数零点个数与顺序定下来。 【关键】，。令 得 。记 ，，所以 单调递增、 先减后增，图象最多与 轴相交两次。已知 是一个；又 时 （因为 主导且趋于正无穷），而 ，所以另一个零点 落在 内。于是导数有两个零点 ；看符号得函数在 上增、 上减、 上增，即极值点顺序是「先极大、后极小」。四个选项里只有 C 项的函数也满足「两个极值点、先极大后极小」。故选 C。 【易错】新定义要两件事同时满足：极值点个数相同、极大极小的先后顺序相同 ——只看个数会选错。定第二个零点不必求出具体值：用二阶导恒正说明 单调递增，从而 先减后增、零点最多两个；再用端点处的符号说明确实存在第二个。 【答案】C 由极值反求参数 一、两条信息来源 已知极值点的位置，用 列方程；已知极值的大小，还要加上 。 二、导数为零只是必要条件 解出参数后要回代，确认导数在该点两侧变号——不变号的话那只是驻点，不是极值点。 三、极大还是极小，由两侧符号定 把导数的两个零点按大小排好，再看「先增后减」还是「先减后增」，这一步决定了分类的界是哪个常数。 四、解集形式反推函数结构 不等式解集的形态（例如 挖掉一点）会暴露出零点的重数，据此写出因式形式的解析式。 五、极值点个数与极值大小是两件事 「有几个极值点」看导数的变号零点个数；「极值是多少」要把驻点代回原函数。 例8（单选·★★☆☆☆） 已知函数的极小值为，则实数的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【切入点】极值点由导数零点定，极值大小要把那个点代回原函数 ——两条信息一起用。 【关键】，零点 。导数在 上为负、在两侧为正，所以 是极小值点， 是极大值点。极小值 。令它等于 得 。故选 A。 【易错】极小值点是 而不是 —— 处先增后减、是极大值点。「极小值为 6」说的是 ，不是 ，把极值当成导数会整题错。 【答案】A 变式8-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）。 A. 0 B. 36 C. 72 D. 108 【切入点】不等式的解集形态暴露了函数的结构：「 且 」说明函数有两个零点，其中 是二重零点。 【关键】由解集「 且 」知 。与原式 比较 的系数得 ；又题设 ，两式联立解得 、。所以 ，。由导数的符号知函数在 处取极大值，。故选 D。 【易错】「 且 」里的「」正是二重零点的标志 ——漏掉它就会把函数写成三个一次因式之积。比较系数时两个式子要同次幂对齐， 的系数给的是 。 【答案】D 变式8-2（单选·★★☆☆☆） 已知函数的极小值为，极小值点为，零点为。若底面半径为1的圆锥的高，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个量分别是极小值、极小值点、零点 ——前两个从导数来，第三个从原函数来，各算各的。 【关键】定义域为 ，，令它为零得 。导数在 上为负、在 上为正，所以极小值点 ；极小值 。零点由 得 （ 不在定义域内），所以 。于是 。圆锥的体积为 。故选 B。 【易错】三个量里只有 和 来自导数， 要解原方程 ——把 也当成导数零点就会算错。 恰好抵消（、），这是本题设计好的；若算成 就抵消不掉了。 【答案】B 变式8-3（单选·★★☆☆☆） 已知函数的一个极值点为1，若，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 【切入点】「一个极值点为 1」给出 ，整理后正好是一个一次约束 —— 后面就是基本不等式的活儿。 【关键】。由 得 ，即 。因为 ，用乘一法：。由基本不等式 ，所以原式 ，等号当且仅当 时取到。故选 B。 【易错】 不能直接套基本不等式 ——要用条件 做「乘一」，把两项配成能约分的形式。等号成立的条件要写出来（，结合 得 、），否则等于没说清最小值能不能取到。 【答案】B 变式8-4（填空·★★★★☆） 已知定义在上的函数，其导函数满足，且，若函数存在极大值，且极大值为，则的最小值是______. 【切入点】题干给的是导函数满足的关系式，先把它积出原函数，再谈极值。 【关键】由 得 ，左边正好是 。所以 ；由 得 ，即 。于是 ，，。当 时 ， 不变号，无极值；当 时 在 上有唯一变号零点，最大值（极大值）给出约束，由此把 用 表示出来，代入 后求最值，得 。 【易错】「」要一眼认出是 ——这是构造原函数的固定套路。求 的最值时， 的表达式由「极大值为 2」这一条给出；别漏掉 那一支（它没有极值，直接排除）。 【答案】 变式8-5（多选·★★★☆☆） 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当且时， 【切入点】由「 处取极大值」把 定下来，后面三项都要用到这个函数的对称性。 【关键】定义域由 得 ，，。A 项：由 得 ，A 项正确。B 项： 时 ，而函数在 上递增、在 上递减，两个自变量都落在 内，由递增得 ——需要再核对单调区间，实际该段递增，B 项不成立。C 项：直接计算 与 ，两者相等，C 项正确。D 项：由 且 得 ，由函数在 上递增得 ；再算出 ，于是 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】C 项要真算：、，两者相等靠的是对称轴 。D 项的关键是 是定值（同样来自关于 的对称性）。 【答案】ACD 变式8-6（多选·★★★☆☆） 已知函数在处取得极小值，为其导函数，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 【切入点】由「 处取极小值」定 ，后面三项分别考导数的对称性、三次不等式的解、以及单调性比较。 【关键】。A 项：由 得 ，并回代确认 处确实是极小值点，A 项正确。B 项： 开口向上、对称轴 。 到对称轴的距离是 ， 到对称轴的距离是 ；开口向上的二次函数离对称轴越远值越大，所以 ，B 项错误。C 项：，，所以 的解集是 ，C 项正确。D 项： 时 、，而函数在 上递增、在 上也递增，且 、，所以不等式成立，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项比的是 在两点的取值 —— 要用二次函数的对称性（离对称轴远的更大），不是直接代数字硬算。C 项要会因式分解：，分解出来后解集一眼看出。 【答案】ACD 变式8-7（填空·★★★★☆） 已知函数的零点为，极值点为，则 = _________， = _________. 【切入点】两个空分别对应两个条件：零点给 、极值点给 ，一个一个解。 【关键】，在 上 ，由 得 ，即 ；所以 ，。求导得 ，由 得 ，所以 ，即 、。于是 。 【易错】零点方程里 才能约掉 —— 要说清区间 保证这一点。极值点方程要解 ，把右边写成 才好看出来 。最后一空是两角差的正切，分母 是加号，别写成减号。 【答案】， 例9（填空·★★★☆☆） 若函数在 处取得极值，则实数 = ________． 【切入点】「在 处取得极值」直接给出方程 ，但解完还要回代验证它真的是极值点。 【关键】。由 得 ，即 。回代：，导数在 上为负、在 上为正，所以 确实是极小值点， 符合要求。 【易错】 只保证 3 是驻点 ——若解出的参数使导数在 3 处不变号（例如两根重合），就要舍去。本题 时两根是 与 ，互不重合，才保留。 【答案】 例10（填空·★★★☆☆） 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 【切入点】 对任何 都是驻点，所以定不出参数 ——要靠另一个驻点落在 0 的哪一侧来决定 0 处是极大还是极小。 【关键】。两个驻点是 与 。要 处先增后减，需要另一个驻点落在 0 的左侧，即 ，解得 。此时导数在 上为正、在 上为负，0 处确实取极大。所以 。 【易错】「 是极大值点」要翻译成导数在 0 处左正右负，不能只写 —— 本题那个条件对一切 都成立。分子写成 与一个一次因式之积后，比较两个零点的大小即可；别忘了题设已限定 。 【答案】 变式10-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，记的非零极值点为，则取最大值时， = （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【切入点】先求出非零极值点的表达式 ，再把它当成新函数求最大值。 【关键】。因为 ，（），所以非零极值点满足 ，即 。记 （），，所以 在 上递增、在 上递减，在 处取最大值。但题设要求 是正整数，所以取最靠近 的两个整数 与 比较：、，由 （即 ）知 更大。故选 B。 【易错】 的最大值在 处取到，但 不是整数 ——所以要在最靠近 的两个正整数 与 之间比大小。比较 与 时可以化归成比较 与 。 【答案】B 变式10-2（多选·★★★☆☆） 已知函数的极大值为4，则下列结论正确的有（ ） A. B. 函数有3个零点 C. 的对称中心为 D. 过点有且仅有1条直线与函数的图象相切 【切入点】「极大值为 4」定参数 ，而 与 2 的大小关系会影响极大值点的位置，所以要先分类。 【关键】。A 项：分 、、 三种情况看极大值点。 时极大值点是 ，而 ，不符； 时两根重合、函数没有极值，不符； 时极大值点是 ，令 解得 。A 项正确。B 项： 时 ，零点只有 与 （后者二重），共 2 个，B 项错误。C 项：直接验证 恒成立，所以对称中心是 ，C 项正确。D 项：设切点横坐标为 ，把切线方程代入点 ，得到关于 的三次方程；它有 2 个不同的解，也就是有 2 条切线，D 项错误。故选 AC。 【易错】A 项必须三种情况都试：直接假定 会漏掉对另两支的排除。 时两根重合、导数不变号，函数根本无极值 —— 这一支最容易被忽略。C 项的对称中心横坐标是 （由 定），不是 。 【答案】AC 极值点的结构 一、极值点序列：借对称性比较和的大小 三次曲线关于两个极值点的中点对称，求有关极值点之和的不等式时先用这条对称性。 二、重根与极值点 导数的零点若是偶重的，函数在该处不变号、不产生极值点；所以「有且仅有 个极值点」会对指数的奇偶提出要求。 三、极值点成对出现的情形 函数有奇偶性或中心对称时，极值点也成对出现，两点的横坐标之和（或积）可以用韦达定理写出来。 四、结构型多选题的断案套路 选项常各考一条：对称中心、切线条数、斜率之和、两点间距离 ——每一项都用它自己的判据，不能一个结论通吃。 例11（多选·★★★☆☆） 已知函数，设和为函数的两个极值点，则（ ） A. 存在使得为曲线的对称中心 B. 不存在使得只有一个零点 C. 若，则当时， D. 若，则与两点间的距离最小 【切入点】先把函数因式分解，零点结构一目了然；四个选项分别考对称中心、零点个数、区间符号、两点距离。 【关键】。A 项：计算 ，令它对一切 为零得 （此时 ），所以 时 是曲线的对称中心，A 项正确。B 项： 时函数有两个零点（ 与 中的一个与 重合），其余情形有三个零点，所以无论 取何值都不会只有一个零点，B 项正确。C 项：取 （满足 ），此时 ，并非小于零，C 项错误。D 项：，两个极值点满足 、。算出两点间距离的平方后记 ，它随 增大而增大且 ；距离是关于 的增函数，所以 取最小值（即 ）时距离最小，D 项正确。故选 ABD。 【易错】A 项要算 的展开式，不是只看 就下结论。B 项的关键是： 至少有两个零点 、，第三个零点 至多让其中之一重合，所以零点个数只能是 2 或 3。D 项不必真去解 、 —— 用韦达定理把距离写成 的函数再求最值。 【答案】ABD 变式11-1（多选·★★★☆☆） 已知函数的极值点从小到大依次为，，，，是的导函数，则（ ） A. B. C. 是的极小值点 D. 【切入点】导数的分子是「 乘余弦减正弦」，把它除以 就化成只看 这个辅助函数的符号。 【关键】，分母恒正，符号由分子决定；而在 处分子与 的乘积只相差一个正因子，所以记 。，在 上为正、在 上为负，所以 在每段上先增后减，且每段恰有一个零点落在 内。A 项：，由 知它大于零，A 项正确。B 项：第一个零点 落在 ，不在 ，B 项错误。C 项： 上 ，而 由正变负，两者相乘后 由负变正，所以 是极小值点，C 项正确。D 项：由零点在各段中的位置可以比较 与 的大小，得 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项的零点位置靠「每段恰有一个零点、且落在极大值点的右侧」定 ——不能说「在 内」就了事。C 项要同时看 的符号与 的符号，两者相乘才决定导数的符号。D 项里 离两端点的「中点」更远一点，这是由零点的分布规律决定的。 【答案】ACD 变式11-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，，为的极大值点，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个函数各自的性质要分开算： 的极大值点用导数定， 的零点与 有关。 【关键】，记分子为 ，： 在 上递增、在 上递减，最大值 ；又 时 ， 时 。所以 的两个零点中一个在 内 —— 它就是 的极大值点 。A 项：由 得 ，所以 ，A 项正确。B 项：，所以 ，B 项正确。C、D 两项：记 ，由 的单调性知 的零点 满足 ，所以 ，C 项正确、D 项错误。故选 ABC。 【易错】A 项的关键是把 整理成 ——这个式子正好是 里出现的那一块，代进去就归零。B 项要说明零点确实落在 ：靠 、 加单调性。 【答案】ABC 变式11-3（多选·★★★★☆） 已知函数分别在点，处取极大值和极小值，曲线和轴的三个交点依次为，，（），为曲线上异于，，的动点，则（ ） A. B. 四边形为平行四边形 C. 在曲线上存在三个不同的点的切线与直线平行 D. ，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等 【切入点】四个选项都是由极值点派生的几何结论：参数值、四边形形状、平行切线的条数、斜率之和。 【关键】，极值点是 。A 项：题设说 、 的纵坐标互为相反数，把 代进去比较，可得 ，A 项正确。B 项：算出 ，且 与 不共线，所以四边形 是平行四边形，B 项正确。C 项：直线 的斜率由两极值点定出，是 ；而 的取值中，每个大于 的数恰好被两个点取到，所以与 平行的切线最多两条、不可能有三条，C 项错误。D 项：设 ，把 算出来，结果恰为 ，正是 ，D 项正确。故选 ABD。 【易错】C 项要把「切线与 平行」转化为方程 的解的个数，而不是只看有没有解 —— 的值域是 ，每个大于 的值恰好对应两个 ，所以平行的切线最多两条。D 项的结论很漂亮，但要靠老老实实算三个斜率之和 ——设出 的坐标后代入三个交点，化简过程不能跳。 【答案】ABD 例12（多选·★★★★☆） 已知函数（，，，）有且仅有3个极值点、、，且，则（ ） A. 为奇数 B. 为偶数 C. 若，则 D. 若，则 【切入点】导数的三个候选零点里，指数为偶数的那些不变号 ——「有且仅有 3 个极值点」就压在这个奇偶条件上。 【关键】，三个候选零点是 、 与 。A、B 两项：要三个零点都是变号零点，指数 、 必须都是奇数，也就是 、 都是偶数。所以 B 项正确、A 项错误。又 是 、 按 、 的加权平均，必介于 、 之间。C 项：若 ，三个零点从小到大是 、、，此时 ，由 、 知它小于零，C 项错误。D 项：若 ，顺序反过来，同样的式子符号也随之翻转，得 ，D 项正确。故选 BD。 【易错】「偶重零点处导数不变号」是本题的核心判据 —— 次幂对应变号，其余偶次幂都不变号。C、D 两项的差只在于 、 的大小顺序，而 的符号正好由这两个差决定，算一次就能同时判两项。 【答案】BD 学科网（北京）股份有限公司 $ 极值与最值 函数与导数 · 专题篇 求函数的极值 一、极值的判据是两侧导数的符号，不是导数为零 先增后减的点是极大值点，先减后增的点是极小值点；判断时看驻点左右两端导数的正负。 二、求极值的三步 求导 → 令导数为零解出驻点 → 逐个检查驻点两侧导数的符号。 三、导数为零不等于极值点 驻点两侧导数同号（例如重根处）时它不是极值点；导数不存在的点也可能是极值点。 四、含参时先看根的个数与位置 导数的零点个数随参数变，要按「两根谁大」「根在不在定义域内」分类。 五、极值点与极值不是一回事 极值点是横坐标、极值是函数值 —— 题目问哪个就答哪个。 例1（填空·★★☆☆☆） 函数的极大值点为________. 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，其中，3为的极大值点。若在内有最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式1-3（单选·★★★☆☆） 若函数存在极大值点和极小值点，，其中，都是实数，则（ ） A. B. C. D. 变式1-4（单选·★★★☆☆） 若函数有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式1-5（单选·★★★☆☆） 若函数在区间上有奇数个极小值点，则的值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 变式1-6（单选·★★★★☆） 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为 “局部反比例对称函数”. 若的导函数是定义在区间上的 “局部反比例对称函数”，则实数的最大值与最小值之差为（ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则在内的极大值点为（ ）。 A. B. C. D. 例3（填空·★★★☆☆） 已知函数的极小值点为2，则的极大值点为_________． 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知是函数的极小值点，则 = _________，曲线的对称中心为_________． 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知函数在有极大值，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 方程有且只有一个实数解，则或 D. 当时， 极值点的个数 一、把「有几个极值点」翻译成「导函数有几个变号零点」 「有 个极值点」等价于导数的方程有 个变号零点；「无极值」等价于导数在定义域上不变号；「存在极值点」等价于导数有零点。 二、分离参数：看的是值域，不是单调性 把参数甩到一边后，要看另一条曲线在区间上的取值范围（必要时再配合单调性），而不是只看它增还是减。 三、二次方程根的分布：三条一起卡 判别式大于零、两根之和、两根之积 —— 三条都要看；定义域是 时，「两根」还要满足两根同正。 四、区间上的极值点：先求出极值点，再让区间包含它 题目给的区间含参数时，让极值点落在区间内（必要时再加上区间落在定义域内）。 五、别忘定义域 负根、以及落在定义域外的根都不产生极值点。 例4（填空·★★★☆☆） 若函数无极值，则的取值范围为_________． 变式4-1（单选·★★★☆☆） 若函数无极值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式4-2（单选·★★★★☆） 已知函数，有下列四个命题，其中正确的个数是（ ）（1）有两个极值点 （2）直线是曲线的切线（3）点是曲线的对称中心 （4）有三个零点 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 变式4-3（单选·★★★☆☆） 已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-4（单选·★★★☆☆） 函数在区间上的极值点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 变式4-5（单选·★★★★☆） 设函数，给定下列命题①不等式的解集为；②函数在单调递增，在单调递减；③时，总有恒成立；④若实数，则函数有两个极值点。则正确的命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式4-6（解答·★★★★★） 已知函数．判断在区间上极值点的个数，并说明理由． 例5（填空·★★★☆☆） 若函数有两个极值点，则实数的取值范围_______． 变式5-1（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个极值点，则的取值范围为_______. 变式5-2（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个极值点，，且，则 = __________. 变式5-3（多选·★★★☆☆） 已知，函数有两个极值点，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. 曲线的对称中心的横坐标为 C. 存在实数，使得是的极大值点 D. 当时，经过点的切线有且只有1条 例6（单选·★★★☆☆） 已知存在两个不同极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知函数，．讨论的极值点个数． 变式6-2（解答·★★★★★） 已知函数，．当时，讨论函数极值点的个数． 变式6-3（解答·★★★★★） 已知函数，．已知，函数，讨论的极值点的个数． 变式6-4（解答·★★★★★） 已知函数，，令，其中．求函数在上的极值点个数． 例7（单选·★★☆☆☆） 若定义在上的函数存在极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式7-1（单选·★★★☆☆） 若函数有两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式7-2（填空·★★★☆☆） 已知函数在内存在个极值点，则的取值范围为______. 变式7-3（单选·★★★☆☆） 已知函数有且仅有个极值点、、，且，则（ ） A. 为奇数 B. 为奇数 C. 若，则 D. 若，则 变式7-4（单选·★★★☆☆） 我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”。已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ） A. B. C. D. 由极值反求参数 一、两条信息来源 已知极值点的位置，用 列方程；已知极值的大小，还要加上 。 二、导数为零只是必要条件 解出参数后要回代，确认导数在该点两侧变号——不变号的话那只是驻点，不是极值点。 三、极大还是极小，由两侧符号定 把导数的两个零点按大小排好，再看「先增后减」还是「先减后增」，这一步决定了分类的界是哪个常数。 四、解集形式反推函数结构 不等式解集的形态（例如 挖掉一点）会暴露出零点的重数，据此写出因式形式的解析式。 五、极值点个数与极值大小是两件事 「有几个极值点」看导数的变号零点个数；「极值是多少」要把驻点代回原函数。 例8（单选·★★☆☆☆） 已知函数的极小值为，则实数的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 变式8-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）。 A. 0 B. 36 C. 72 D. 108 变式8-2（单选·★★☆☆☆） 已知函数的极小值为，极小值点为，零点为。若底面半径为1的圆锥的高，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 变式8-3（单选·★★☆☆☆） 已知函数的一个极值点为1，若，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 变式8-4（填空·★★★★☆） 已知定义在上的函数，其导函数满足，且，若函数存在极大值，且极大值为，则的最小值是______. 变式8-5（多选·★★★☆☆） 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当且时， 变式8-6（多选·★★★☆☆） 已知函数在处取得极小值，为其导函数，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 变式8-7（填空·★★★★☆） 已知函数的零点为，极值点为，则 = _________， = _________. 例9（填空·★★★☆☆） 若函数在 处取得极值，则实数 = ________． 例10（填空·★★★☆☆） 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 变式10-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，记的非零极值点为，则取最大值时， = （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 变式10-2（多选·★★★☆☆） 已知函数的极大值为4，则下列结论正确的有（ ） A. B. 函数有3个零点 C. 的对称中心为 D. 过点有且仅有1条直线与函数的图象相切 极值点的结构 一、极值点序列：借对称性比较和的大小 三次曲线关于两个极值点的中点对称，求有关极值点之和的不等式时先用这条对称性。 二、重根与极值点 导数的零点若是偶重的，函数在该处不变号、不产生极值点；所以「有且仅有 个极值点」会对指数的奇偶提出要求。 三、极值点成对出现的情形 函数有奇偶性或中心对称时，极值点也成对出现，两点的横坐标之和（或积）可以用韦达定理写出来。 四、结构型多选题的断案套路 选项常各考一条：对称中心、切线条数、斜率之和、两点间距离 ——每一项都用它自己的判据，不能一个结论通吃。 例11（多选·★★★☆☆） 已知函数，设和为函数的两个极值点，则（ ） A. 存在使得为曲线的对称中心 B. 不存在使得只有一个零点 C. 若，则当时， D. 若，则与两点间的距离最小 变式11-1（多选·★★★☆☆） 已知函数的极值点从小到大依次为，，，，是的导函数，则（ ） A. B. C. 是的极小值点 D. 变式11-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，，为的极大值点，，则（ ） A. B. C. D. 变式11-3（多选·★★★★☆） 已知函数分别在点，处取极大值和极小值，曲线和轴的三个交点依次为，，（），为曲线上异于，，的动点，则（ ） A. B. 四边形为平行四边形 C. 在曲线上存在三个不同的点的切线与直线平行 D. ，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等 例12（多选·★★★★☆） 已知函数（，，，）有且仅有3个极值点、、，且，则（ ） A. 为奇数 B. 为偶数 C. 若，则 D. 若，则 学科网（北京）股份有限公司 $