第10讲 用导数研究函数单调性专项训练-2027届高三数学一轮复习

用导数研究函数单调性 函数与导数 · 专题篇 求单调区间 一、先写定义域，再求导 含 的先把定义域定住；求导后通分、提取公因式，把导数化成分式或几个因式相乘的形式。 二、令导数为零，定出零点 分母恒正时只需要看分子的零点；把零点从小到大排好，它们在数轴上把定义域切成几段。 三、逐段判号 每一段上任取一个数代入导数（或看各因式的正负），定出导数的符号：正的那段是增区间、负的那段是减区间。 四、写区间的两条规矩 几个区间并列时中间用逗号隔开，不能用并集符号把它们连成一个；端点取不取要看定义域和题目要求。 五、三角函数型要加周期 解出的是一个周期内的区间时，要在后面补上 ，并注明 。 选项里有区间的，把每个选项代进导数看符号最快。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. ， D. ， 【切入点】含 先把定义域定在 ，再求导 ——分子能分解成两个一次因式之积，零点一目了然。 【关键】定义域为 ，。分母恒正，符号由 决定。题设给了 ，两个零点 与 的大小关系是现成的、且都在定义域内。在 上 且 ，乘积为正、取负号后导数为负；在 上两个因式一正一负，导数为正；在 上两个因式都为正，导数为负。所以单调递减区间是 和 。故选 C。 【易错】 是题设给定的，所以不必讨论 与 谁大 ——这正是本题归「求单调区间」而不归「含参分类讨论」那一讲的原因。分母 恒正，判号时直接忽略。两个递减区间要用逗号并列，不能并成一个整体。 【答案】C 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为_____． 【切入点】题目只给了 那一半的解析式，先用奇函数把 那一半求出来，再求导。 【关键】设 ，则 ，代入已知式得 ；由奇函数 得 。求导时对 要按复合函数走，，所以 。令 ，得 ；因为 ，两边同乘 要反号，得 ，即 。结合 ，单调递增区间为 。 【易错】 这一层最容易丢负号 ——内层是 ，求导得 ，与 相乘才得 。解 时 是负数，两边同乘 不等号要反转。题目问的是 上的区间，右端点是 而不是 。 【答案】 变式1-2（填空·★★★★☆） 已知函数，则的单调递增区间为____________________，单调递减区间为_____________________． 【切入点】两个正弦叠在一起，求导后先用降次公式化成一个关于 的二次式，它正好能因式分解。 【关键】。因为 恒成立，导数的符号与 相同。令 得 ，解集为 ；令 得 ，解集为 。所以单调递增区间为 、单调递减区间为 ，。 【易错】降次公式要背准：，把它写成 就分解不动了。 恒非负、不改变符号，判号时可以整体丢掉，但 处的导数为零不影响开区间的写法。三角函数的单调区间是通解，后面必须补 并注明 。 【答案】单调递增区间为 ，；单调递减区间为 ，。 例2（单选·★★★☆☆） 函数在下列哪个区间上单调递减（ ） A. B. C. D. 【切入点】三角函数的单调区间一样是求导定号 ——先用和差化积把导数并成两个余弦之积。 【关键】。逐个区间看两个因式的符号：在 上 、，两个余弦都为正，导数为正；在 上 、，前者为负、后者为正，导数为负；在 上两个余弦都为负，导数为正。故选 B。 【易错】和差化积要写准：。D 项从 跨到 ，中间 越过了 、 由负转正，整段先减后增、并不单调 ——一个区间里只要导数的符号换过，它就不算单调区间。 【答案】B 由单调性求参数 一、把「单调」翻译成导数的不等号 在区间 上单调递增等价于导函数在 上恒非负，单调递减等价于恒非正。 题干只说「单调」而没说增减时，两个方向都要试，最后合起来。 二、恒成立的两条路 能分离参数的就把参数甩到一边： 恒成立求 的最大值， 恒成立求 的最小值。 分离不动的就看那个二次式：开口方向、判别式、端点值，挑最省事的两条卡住。 三、「存在单调区间」与「不单调」是另外两种问法 「存在单调递增区间」是存在性 —— 导函数在区间上能取到正值即可，分离参数后取的方向与恒成立相反。 「在区间上不单调」等价于这个区间里含有极值点，所以先把极值点求出来，再让它落进区间。 四、区间含参数时先求单调区间 题目给的区间本身带参数时，先求出函数的单调区间，再让给定的区间成为它的子集，解不等式组。 五、端点的开闭 恒非负允许个别点取零，所以端点常常能取到；写结论时按题目给的开闭形式定。 例3（单选·★★★☆☆） 函数在上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干说的是「单调」而不是「单调递增」——所以导函数恒非负和恒非正两种情况都要试，最后合起来。 【关键】。 恒成立，所以导数的符号由 决定，它在 上单调递增。若 在 上单调递增，则 恒成立，即 恒成立，取 的最小值 ，得 ；若单调递减，则 恒成立，即 恒成立，取最大值 ，得 。两种情况合起来是 或 。故选 B。 【易错】只做「递增」那一半会漏掉 这一支 ——题干说「单调」时必须两个方向都写，这是本题最容易丢分的地方。因为 在 上单调递增，所以最值出现在端点：求下界卡左端点、求上界卡右端点。 【答案】B 例4（单选·★★★☆☆） 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】「在区间上单调递增」翻译成导数恒非负，接着把参数分离到一边，问题就变成求一个新函数的最小值。 【关键】 对一切 成立。因为 ，两边同除 得 。记 ，。当 时 、当 时 ，所以 在 处取到最小值 。故 。故选 A。 【易错】两边除以 时要说清 ，否则不等号方向不能确定。条件写成 恒成立，求的是 的最小值 ——若换成 就要取最大值，两者相反。 的最小值是 ，不是 。 【答案】A 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例题同型 —— 求导后分离参数，取右边那个式子的下界；题目另外限定了 是正数。 【关键】。 在 上单调递增，等价于 对 恒成立。两边乘 得 ；当 时 ，所以只要 就恒成立。再结合题设「正数 」，得 。故选 D。 【易错】两边乘 时 ，不等号方向不变。 恒成立只要 不超过 的下界 ；因为 取不到 ，所以 是允许的。「正数」这个限定是题设给的，答要写成 而不是 。 【答案】D 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】导数里 恒正，剩下的二次因式要在给定区间上恒非正 ——转化成「二次不等式的解集包含给定区间」。 【关键】。因为 ，条件等价于 对 恒成立。这个二次式开口向上，两个零点是 与 （），解集为 。要让 落进去，只需 且 ，解得 。故选 B。 【易错】求导是两个因式相乘，别漏掉对 求导那一项。开口向上的二次式小于等于零的解集是两根之间 ——写成两根之外就把范围整个弄反了。给定区间是开的、解集是闭的，所以端点可以取等号。 【答案】B 变式4-3（单选·★★★☆☆） 若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】「存在单调递增区间」是存在性问题：只要有一个点让导数大于零就够，与恒成立的方向正好相反。 【关键】。要求存在 使 ，分离参数得 。记 ，。 在 上递增、在 上递减，最大值是 。所以 时导函数能取到正值。故选 A。 【易错】分离参数后是「 小于某个式子」，取的是这个式子的最大值；换成恒成立问题就要取最小值，方向相反。化简导数时 ，与前面的 合成 ，这一步算错后面全错。 【答案】A 变式4-4（填空·★★★☆☆） 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 【切入点】题目给的区间 本身含参数，所以先求出函数的单调递增区间，再让给定区间落进去。 【关键】定义域为 ，。令 ，因为分母恒正、，得 ，所以单调递增区间为 。要让 是它的子集，需要三个条件同时成立：、、，解得 、、，取交集得 。 【易错】三个条件一个都不能少 —— 忘了左端点小于右端点，就等于允许了一个空区间。因为定义域是 ，所以左端点必须严格大于 ，写成 会让区间碰到 ，那是定义域外的点。 【答案】 变式4-5（单选·★★★☆☆） 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】「不是单调函数」既不是递增也不是递减，而是「既有增又有减」—— 唯一的可能是这个区间跨过了极值点。 【关键】定义域为 ，，令 得 （负根不在定义域内，舍去）。 在 上递减、在 上递增，所以 是极小值点。要让 上不单调，区间必须含有 ；同时区间本身要落在定义域内，即 。由 得 ，与 取交集得 。故选 B。 【易错】「不单调」要翻译成「区间里有极值点」，而不是「导数为零」—— 导数为零但不变号的点（如重根）不产生极值。 这一条也别丢：区间有一半在定义域外的话，讨论本身就无从谈起。 【答案】B 变式4-6（填空·★★★☆☆） 若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________. 【切入点】与上一题同型 ——「不单调」就是「区间里有极值点」，而这里的极值点藏在指数方程里。 【关键】。令 得 ，要有解必须先有 ，此时极值点 。要求 在 上不单调，就要这个极值点落在 内，即 。解左边得 ，解右边得 ，所以 。 【易错】 有解的前提是 —— 先卡住这一条，后面才敢往下走。 时 ，因为区间是开的、两端取不到，所以结论里的 也是开区间。 【答案】 例5（单选·★★★☆☆） 若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】三次函数的导数是开口向上的二次式，先看它在区间内某一点的符号，就能一刀定下「恒非负」还是「恒非正」。 【关键】。因为 ，而 落在 内，所以 在整段区间上只能是恒非正（否则符号会变）。开口向上的二次式在区间上恒非正，只要两端点都非正： 得 ， 得 。取交集得 。故选 D。 【易错】 是本题的钥匙 ——它把「恒非负」那一支直接排除掉，剩下的只需卡两个端点。开口向上的二次函数在给定区间上的最大值一定在端点取到，所以用两端点非正来控制整段非正是对的。两个不等式要同时成立，答案是交集不是并集。 【答案】D 用单调性解不等式 一、先把两边凑成同一个函数的值 一个不等式能脱去函数记号 ，前提是两边都是 在某处的取值。 两边形式不一样时，先移项、拼凑，把它们变回同一个函数在两个点处的值。 二、脱去 的三种依据 单调性：函数递增时 等价于 ；递减时不等号反向。 奇偶性：把 与 互换，从而把右边的项并进左边同一个括号里。 对称性：图象关于直线 对称时，比较函数值就是比较两点到 的距离。 三、写出等价的不等式（组） 脱去函数记号后剩下的都是代数不等式；若函数只在某段上有定义，还要把定义域的条件一并列上。 四、别忘定义域 含 的函数，括号里的式子必须为正 —— 这一步常被漏掉，而它往往决定了答案端点的开闭。 例6（单选·★★★☆☆） 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】要脱去函数记号，先得知道这个函数在定义域上怎么升降 ——求导看符号。 【关键】定义域为 ，，所以 在定义域上单调递增。由 与 递增，得 ，即 。再补上定义域： 且 ，后一个更强，得 。所以解集为 。故选 B。 【易错】 只在定义域上递增，所以脱去 之后必须补定义域条件 ——漏掉 会把 这一段也算进来。 只在 处取零，整体仍然递增。 【答案】B 例7（填空·★★★☆☆） 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 【切入点】这个函数既不是奇函数也不是偶函数，但图象关于直线 对称 —— 于是比较函数值就是比较两点到 的距离。 【关键】先看对称性：把 换成 代入，，与 作差恰好为零，所以 ，图象关于直线 对称。再看单调性：。记 ，，所以 在 上单调递增；又 ，故 时 、 时 ，即 在 上递减、在 上递增。于是 等价于，即 。移项分解得 ，解得 或 ，即解集为 。 【易错】「关于直线 对称」的等价写法是 ，不是 —— 后者是偶函数、关于 对称。对称 ＋ 单调合起来才能脱 ，比的是到对称轴的距离，所以要取绝对值。两次平方相减后因式分解比直接展开更稳：。 【答案】 变式7-1（单选·★★★☆☆） 已知函数 ， 若不等式 对任意恒成立，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例题同型 —— 先找出对称轴，再把「比函数值」换成「比距离」；只是这次距离关系里还套了一层「对任意 恒成立」。 【关键】令 ，则 。因为 ， 是偶函数，所以 的图象关于直线 对称。又 ，当 时三项都为正，，所以 在 上递增，即 在 上递增。由 得，即 。右边 恒成立，绝对值可以直接去掉，展开成，也就是对一切 同时有 与 。两个二次式都开口向上，恒正的条件是判别式小于零： 得 ， 得 。取交集得 ，四个选项里只有 落在里面。故选 B。 【易错】右边 恒正，所以绝对值能直接去掉 ——若右边可能取负，这一步就不能做。「对任意 恒成立」的二次不等式，判别式要严格小于零，因为等于零时有零点、那一点上不等号取不到严格。两个判别式条件取交集，其中 更紧，它说了算。 【答案】B 变式7-2（单选·★★★☆☆） 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 里两个自变量不一样，先把右边的项挪到左边，借奇偶性把它变成同一个函数在两处的取值。 【关键】先看奇偶性：，所以 是奇函数。于是 。再看单调性： 恒成立，所以 递减。由递减得 ，即 。还要保证两个点都在定义域内： 且 ，即 。合起来是 。故选 D。 【易错】 这一步是奇函数的定义 ——没有它就没法把两项并进同一个 里。 的三项 、、 都非正且不恒为零，所以是严格递减。定义域要求 ，而 也不许为零 ——这一条最容易漏，漏掉就会误选 B。 【答案】D 变式7-3（单选·★★★☆☆） 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 本身不是奇函数，但它减去一个常数就能凑出奇函数 ——而那个常数正好是右边那个 的一半。 【关键】把 拆开：。记 ，则 。 是奇函数：把 换成 ，。由 得，即 。再判单调性： 与 都在 上递增，所以 在 上递增。于是 ，即 ，解得 或 。故选 B。 【易错】把 写成 才能一眼看出它递增 ——直接对原式求导也能做，但要麻烦不少。 用的是奇函数，这一步不做就跨不过去。最后解一元二次不等式时注意是「大于零取两边」。 【答案】B 单调性的综合判定 一、多选题的通用打法：先求导，再逐项判 每个选项都单独立一个「断案」，不要指望一个结论通吃四项。 判「 等于某个数」这类项，直接代入求导结果即可。 二、选项里出现「在区间上单调」的 把它翻译成导数在该区间上恒非负或恒非正，再用分离参数或端点卡号定出参数范围 —— 这一类的打法与「由单调性求参数」完全相同。 三、选项里出现「比较两个函数值大小」的 先求出函数的单调区间，再看两个自变量落在哪一段：同段内直接比、跨段时借对称性或图象判断。 四、选项里出现「单调区间」「不单调」的 求出导数的零点，按零点把定义域分段、逐段判号；「不单调」等价于该区间跨过了极值点。 五、写判定时的两条规矩 每一项的结论都要点明「X 项正确／错误」，并在最后把正确项汇总；错项要说出错在哪一步，不能只写「不正确」。 例8（多选·★★★☆☆） 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则 C. 当时，若方程有两个不等实根，则 D. 当时， 【切入点】四个选项各管一件事，但根子都是同一个导数 ——先把导数写出来，再逐项断案。 【关键】。A 项：代入 得 ，令它等于 解出 ，A 项正确。B 项：在 上单调递增等价于 恒成立（因为 ），即 恒成立； 在 上递减、取值都小于 ，所以条件应是 ，选项写的是 ，B 项错误。C 项： 时 ，，在 处取到最小值 ；又 趋于负无穷时 从负方向趋于 ，所以直线 与图象有两个交点当且仅当 ，C 项正确。D 项： 时记 ，。 时两项都为负、 时两项都为正，所以 在 上递减、在 上递增，最小值 ，即 恒成立，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项的界是 而不是 —— 时 在 上恒正，照样单调递增，所以 要收进来。判 的符号时把它拆成 与 两项分别看，比整体求二阶导快得多。结论记得汇总成「A、C、D」三项。 【答案】ACD 变式8-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，函数的极大值为 C. 当时，函数有2个零点 D. 可能有三个不同的零点 【切入点】导数能分解成两个因式之积， 的正负决定第一个因式有没有零点 ——分类的落点就在这里。 【关键】。A 项： 时 ，它与 在 的两侧同号，所以两者之积恒非负， 在 上单调递增，A 项正确。B 项： 时 ， 在 上递减、在 上递增，所以 是极大值点，极大值为 ，与选项写的 不符，B 项错误。C 项： 时 恒成立，导数的符号全由 决定， 在 上递减、在 上递增，最小值 ；而 趋于负无穷时 趋于正无穷、趋于正无穷时也趋于正无穷，所以两侧各穿过一次 轴，共 2 个零点，C 项正确。D 项： 时 只有 1 个零点； 时按 与 的大小分，最多也是 2 个零点 ——三种情况都不会出现 3 个零点，D 项错误。故选 AC。 【易错】A 项要看的是两个因式同号，不是各自恒正 —— 在 时为负，乘积才非负。B 项的极大值是 ，与选项里的 差一个因子 。D 项要把 、、 三种情况都过一遍，才能下「不会有 3 个零点」的结论。 【答案】AC 变式8-2（多选·★★★☆☆） 设函数，则下列结论正确的有（ ） A. 曲线是轴对称图形 B. 函数有极小值为 C. 若，则 D. 若，且，则 【切入点】定义域被两个对数卡在 ，而且把 换成 后函数值不变 —— 先认出这条对称性。 【关键】由两个真数都为正得定义域为 。A 项：，所以图象关于直线 对称，A 项正确。B 项：。当 时 、；当 时 。所以极小值为 ，B 项正确。C 项：由 得 ，所以 ，C 项正确。D 项：由 且 得 ，而 在 上递增，所以 ，D 项错误。故选 ABC。 【易错】A 项的对称轴由 定出，是 ，不是 、也不是 轴。B 项求导时 ，那个 与前面的 正好抵消 ——看不出这对抵消，导数就会多出一项。D 项要顺着「递增」这个方向比： 且两点都在递增段上，结论是小于。 【答案】ABC 变式8-3（多选·★★★☆☆） 已知函数，定义域为，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的所有极大值按对应极大值点从小到大排列，构成公比为的等比数列 C. 在区间上的最大值为 D. 方程在区间上恰有两个解 【切入点】导数化成一个余弦，单调区间就是「余弦为正的那半段」——先把区间列清楚，再逐项判。 【关键】。 恒成立，符号由余弦决定。A 项： 时 ，余弦为负，所以 、 递减，A 项正确。B 项：极大值点是 ，对应的极大值 ，相邻两项之比为 —— 选项写的是 ，B 项错误。C 项：由 B 项，极大值随 增大而减小，所以 上的最大值是 ，C 项正确。D 项：、，而 在 上递增、在 上递减，最大值 ，所以 内恰有两个解；又 时 ，取不到，故方程恰有两个解，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项要把「极大值点」与「极大值」分清：极大值点 成等差，而极大值 成公比 的等比 ——选项写成 ，正好差一个平方。D 项的关键是 之后指数衰减把 的值整个压在 以下，后面的解全部不存在。 【答案】ACD 变式8-4（多选·★★★★☆） 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的减区间为 B. 若函数有3个零点﹐则 C. D. 函数有3个零点，1，，且 【切入点】求导后分子能分解成四个一次因式，减区间一眼就能看出 ——后面的零点与对称都建在这份分解上。 【关键】定义域为 ，。分母以及 、 在 上都为正，所以符号只由 决定： 得 。A 项：单调递减区间为 ，A 项正确。B 项： 在 与 上递增、在 上递减，两个极值是 、；要有 3 个零点，水平线要夹在两个极值之间，即 ——选项写的是 ，B 项错误。C 项：把 代进去，，所以 ，C 项正确。D 项：，所以 是零点；再由三段单调性与两个极值的符号，可知 与 上各有一个零点；由 C 项的倒数对称，这两个零点互为倒数，即 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项的界是 而不是 —— 两者只差 ，算极值时通分稍不留神就会错。分子里 与 在 上恒正，判号时直接丢掉。D 项的 不用另算，它是 C 项倒数对称的直接推论 ——两个选项串起来用。 【答案】ACD 变式8-5（多选·★★★★☆） 已知函数，直线与曲线相切于不同两点和，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，的单调递增区间为 B. 的值可以为0 C. 若的导函数的图象关于点对称，则，，成等差数列 D. 直线的斜率为 【切入点】题干先给了「直线与曲线相切于不同两点」这个前提，四个选项都要在这个前提下判 —— 先记住它，再看每一项。 【关键】。A 项： 时 。因为 ，可以分解出因式 ，即 ；后面那个二次式的判别式为负且开口向上，恒正，所以 等价于 ，递增区间为 ，A 项正确。B 项： 时 单调递增，方程 最多一个解，也就是最多一个切点，与「相切于不同两点」矛盾，B 项错误。C 项：两个切点处的切线方程联立后，由 可消出 ；而导函数的图象关于 对称，中心横坐标 ，代入验证得 ，所以三者成等差数列，C 项正确。D 项：把 C 项的关系代入切线斜率，化简得公切线的斜率为 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】A 项分解因式时先试 这个根（常数项是 ，容易凑），分解完还要用判别式说明剩下的二次式恒正，否则推不出「等价于 」。B 项的关键是「导函数单调 ⇒ 方程 最多一解」，而两点相切要求 —— 直接矛盾。 【答案】ACD 变式8-6（多选·★★★☆☆） 已知函数，，则下列正确的是（ ） A. 若，则 B. 若函数在区间上单调递增，则 C. 当时，函数的单调递减区间为 D. 当时，函数的两个极值点，满足 【切入点】四个选项看着是三件事，其实都挂在同一条导数链上 ——先把导数写出来，逐项判。 【关键】。A 项：代入 得 ，令它等于 解出 ，A 项正确。B 项：在 上单调递增等价于 恒成立。记 ，它的对称轴是 ，所以在 上递增，最小值在 处；令 得 ——选项写的是 ，B 项错误。C 项： 时 ，令 得 ，单调递减区间是 ——选项写的是 ，两个端点弄反了，C 项错误。D 项： 时判别式 ，导函数有两个变号零点，由韦达定理 ，所以 ；代入得 ，D 项正确。故选 AD。 【易错】B 项的界是 而不是 —— 时 ，端点处导数为零不影响区间内部的单调性，所以能取等号。C 项的坑在端点顺序： 与 谁在左谁在右，写反就成了 。D 项用韦达定理把 一步算成 ，比解出两根再求快得多。 【答案】AD 变式8-7（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 当，时，曲线在坐标原点处的切线方程为 B. 当时，若在上单调递减，则 C. 当时，不存在，使为的极大值点 D. 当，时，在上存在唯一的零点 【切入点】三个选项各管一个场景，但都要先写出 这个通式。 【关键】A 项：、 时 ，、，所以原点处的切线方程是 ，即 ，A 项正确。B 项： 时 。在 上单调递减等价于它恒非正，分离参数得 恒成立； 在 上随 增大而减小，最小值在右端点取到、等于 ，所以 ，B 项正确。C 项： 时 ，。若 是极大值点，先要有 ，即 。取 试算，记 ，，在 上 ，所以 递减、；在 上也能判出 。所以 时 确实是极大值点 —— 选项说「不存在」，C 项错误。D 项：、 时方程 在 上恰有一个解，D 项正确。故选 ABD。 【易错】B 项求的是乘积 的最小值（因为条件是 它恒成立），而它在区间右端点取到 。C 项必须真正验证 时 是不是极大值点 ——只算出 不够，还要看两侧导数的符号。 【答案】ABD 变式8-8（多选·★★★☆☆） 已知函数，下列选项中正确的是（ ） A. 若在上存在单调递增区间，则 B. 当时，在处的瞬时变化率为 C. 当时，若在区间上有最大值，则 D. 函数图象与直线相切，且满足条件的值有且只有个，则 【切入点】四个选项落在三条线上：存在单调区间求参、瞬时变化率、区间上有最大值、切线条数 —— 共用同一个导数。 【关键】。A 项：在 上存在单调递增区间等价于 有解，即判别式 ，解得 或 ——选项只写了 这一半，而且 时判别式为零、取不到正值，A 项错误。B 项： 时 ，，即 处的瞬时变化率为 ，B 项正确。C 项： 时 ， 在 、 上递减、在 上递增，最大值是 。要让开区间 上有最大值，需要 落在区间内，并且左端点不越过另一个使函数值等于 的点；解 得到一个重根 与一个单根 ，所以由 与 得 ，C 项正确。D 项：设切点横坐标为 ，把切线方程代入定点 ，整理成关于 的三次方程；要有三条不同的切线，这个方程需有三个解，解出参数条件为 ，D 项正确。故选 BCD。 【易错】A 项有两处错：一是漏了 这一支，二是 时判别式为零、二次式取不到正值，所以正确的范围是「 或 」，不是 。C 项不要漏掉那个「函数值也等于 」的点 ——左端点越过它，最大值就不在区间里了。 【答案】BCD 例9（多选·★★★☆☆） 设为方程在区间上的解，下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【切入点】方程 的解求不出来，所以整道题靠构造辅助函数 ＋ 用单调性比大小 —— 每个选项都要现造一个函数。 【关键】把方程改写成 的形式，记 ， 在 上恒成立，所以 递增，且 。A 项：、，由递增得 ，A 项正确。B 项： 时 、 时 ，两个数分别在 的两侧，它们的和与 的大小没有必然关系，B 项错误。C 项：要证 ，只需证 。构造 ，，而 ，所以 递增，由 得 ，C 项正确。D 项：要证 ，构造 ， 在 上递减且变号，所以 先增后减 —— 由 推不出 的大小关系，D 项错误。故选 AC。 【易错】四个选项要造三个不同的辅助函数：A 用 、C 用 、D 用 ，构造对了才有单调性可用。B 项错在「两个数分别在 的两侧」推不出它们的和大于 ，这是不等式的常见误判。D 项的 在区间上先增后减，说明它不单调，而不能单调的函数是不能用来跨点比较的。 【答案】AC 例10（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 若时取得极大值，则 B. 若，则当时， C. 若在上不单调，则 D. 若，设 ，则， 【切入点】求导后是两个一次因式相乘，两个零点谁左谁右随参数变 ——四个选项全靠这一份分类表。 【关键】，两个零点是 与 。A 项：当 即 时，导数在 上为正、在 上为负，所以 是极大值点；反过来 时它是极小值点。故「 处取极大值」等价于 ，A 项正确。B 项： 时另一个零点是 ， 在 上递减、在 上递增；而 时 ，两个自变量都落在 这段不单调的区间里，函数值谁大谁小不能一概而论，B 项错误。C 项： 在 上不单调，说明这段区间跨过了极值点，两种可能：跨过 得 ；跨过 得 。合并得 ，C 项正确。D 项： 时 ， 在 、 上递增、在 上递减，且 、。在 上， 的最大值分三段看： 时取 ，差为 ； 时最大值在 处，等于 ； 时也不超过 。所以 落在 里，D 项正确。故选 ACD。 【易错】A 项要先搞清楚「 是极大还是极小」由两个零点谁左谁右决定 ——判反了整道题就翻车。C 项的「不单调」两种情况都要算：区间既可以跨过 、也可以跨过 ，只算一种会漏掉范围。D 项的关键是 这个极大值 ——它是 时函数值的天花板，最大值要么是它、要么在 处取到。 【答案】ACD 例11（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 当时， C. 函数的图象是中心对称图形 D. 当且时， 【切入点】两个对数把定义域锁死在 ，求导后分子正好能因式分解 —— 先把单调区间算出来，四个选项都靠它。 【关键】定义域为 ，。分母在定义域上恒正，所以导数的符号与 相同：在 上为正、在 与 上为负。A 项： 在 上单调递增，A 项正确。B 项： 在 上单调递减，而 时 、 时 ，两个子区间上的结论正好相反，B 项错误。C 项：由对数运算， 恒成立，所以图象关于点 中心对称，C 项正确。D 项： 是递增区间，由 得 ；又 且 上递增，得 。两式相加得 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项的坑在 与 谁大 —— 在 与 上大小关系相反，不能一概而论。D 项要同时用两件事： 上递增，以及中心对称给出的 。求导后分子分解时那个负号别丢：导数的符号跟 走，不是跟 走。 【答案】ACD 学科网（北京）股份有限公司 $ 用导数研究函数单调性 函数与导数 · 专题篇 求单调区间 一、先写定义域，再求导 含 的先把定义域定住；求导后通分、提取公因式，把导数化成分式或几个因式相乘的形式。 二、令导数为零，定出零点 分母恒正时只需要看分子的零点；把零点从小到大排好，它们在数轴上把定义域切成几段。 三、逐段判号 每一段上任取一个数代入导数（或看各因式的正负），定出导数的符号：正的那段是增区间、负的那段是减区间。 四、写区间的两条规矩 几个区间并列时中间用逗号隔开，不能用并集符号把它们连成一个；端点取不取要看定义域和题目要求。 五、三角函数型要加周期 解出的是一个周期内的区间时，要在后面补上 ，并注明 。 选项里有区间的，把每个选项代进导数看符号最快。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. ， D. ， 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为_____． 变式1-2（填空·★★★★☆） 已知函数，则的单调递增区间为____________________，单调递减区间为_____________________． 例2（单选·★★★☆☆） 函数在下列哪个区间上单调递减（ ） A. B. C. D. 由单调性求参数 一、把「单调」翻译成导数的不等号 在区间 上单调递增等价于导函数在 上恒非负，单调递减等价于恒非正。 题干只说「单调」而没说增减时，两个方向都要试，最后合起来。 二、恒成立的两条路 能分离参数的就把参数甩到一边： 恒成立求 的最大值， 恒成立求 的最小值。 分离不动的就看那个二次式：开口方向、判别式、端点值，挑最省事的两条卡住。 三、「存在单调区间」与「不单调」是另外两种问法 「存在单调递增区间」是存在性 —— 导函数在区间上能取到正值即可，分离参数后取的方向与恒成立相反。 「在区间上不单调」等价于这个区间里含有极值点，所以先把极值点求出来，再让它落进区间。 四、区间含参数时先求单调区间 题目给的区间本身带参数时，先求出函数的单调区间，再让给定的区间成为它的子集，解不等式组。 五、端点的开闭 恒非负允许个别点取零，所以端点常常能取到；写结论时按题目给的开闭形式定。 例3（单选·★★★☆☆） 函数在上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例4（单选·★★★☆☆） 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-3（单选·★★★☆☆） 若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-4（填空·★★★☆☆） 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 变式4-5（单选·★★★☆☆） 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-6（填空·★★★☆☆） 若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________. 例5（单选·★★★☆☆） 若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 用单调性解不等式 一、先把两边凑成同一个函数的值 一个不等式能脱去函数记号 ，前提是两边都是 在某处的取值。 两边形式不一样时，先移项、拼凑，把它们变回同一个函数在两个点处的值。 二、脱去 的三种依据 单调性：函数递增时 等价于 ；递减时不等号反向。 奇偶性：把 与 互换，从而把右边的项并进左边同一个括号里。 对称性：图象关于直线 对称时，比较函数值就是比较两点到 的距离。 三、写出等价的不等式（组） 脱去函数记号后剩下的都是代数不等式；若函数只在某段上有定义，还要把定义域的条件一并列上。 四、别忘定义域 含 的函数，括号里的式子必须为正 —— 这一步常被漏掉，而它往往决定了答案端点的开闭。 例6（单选·★★★☆☆） 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 例7（填空·★★★☆☆） 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 变式7-1（单选·★★★☆☆） 已知函数 ， 若不等式 对任意恒成立，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 变式7-2（单选·★★★☆☆） 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式7-3（单选·★★★☆☆） 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 单调性的综合判定 一、多选题的通用打法：先求导，再逐项判 每个选项都单独立一个「断案」，不要指望一个结论通吃四项。 判「 等于某个数」这类项，直接代入求导结果即可。 二、选项里出现「在区间上单调」的 把它翻译成导数在该区间上恒非负或恒非正，再用分离参数或端点卡号定出参数范围 —— 这一类的打法与「由单调性求参数」完全相同。 三、选项里出现「比较两个函数值大小」的 先求出函数的单调区间，再看两个自变量落在哪一段：同段内直接比、跨段时借对称性或图象判断。 四、选项里出现「单调区间」「不单调」的 求出导数的零点，按零点把定义域分段、逐段判号；「不单调」等价于该区间跨过了极值点。 五、写判定时的两条规矩 每一项的结论都要点明「X 项正确／错误」，并在最后把正确项汇总；错项要说出错在哪一步，不能只写「不正确」。 例8（多选·★★★☆☆） 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则 C. 当时，若方程有两个不等实根，则 D. 当时， 变式8-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，函数的极大值为 C. 当时，函数有2个零点 D. 可能有三个不同的零点 变式8-2（多选·★★★☆☆） 设函数，则下列结论正确的有（ ） A. 曲线是轴对称图形 B. 函数有极小值为 C. 若，则 D. 若，且，则 变式8-3（多选·★★★☆☆） 已知函数，定义域为，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的所有极大值按对应极大值点从小到大排列，构成公比为的等比数列 C. 在区间上的最大值为 D. 方程在区间上恰有两个解 变式8-4（多选·★★★★☆） 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的减区间为 B. 若函数有3个零点﹐则 C. D. 函数有3个零点，1，，且 变式8-5（多选·★★★★☆） 已知函数，直线与曲线相切于不同两点和，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，的单调递增区间为 B. 的值可以为0 C. 若的导函数的图象关于点对称，则，，成等差数列 D. 直线的斜率为 变式8-6（多选·★★★☆☆） 已知函数，，则下列正确的是（ ） A. 若，则 B. 若函数在区间上单调递增，则 C. 当时，函数的单调递减区间为 D. 当时，函数的两个极值点，满足 变式8-7（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 当，时，曲线在坐标原点处的切线方程为 B. 当时，若在上单调递减，则 C. 当时，不存在，使为的极大值点 D. 当，时，在上存在唯一的零点 变式8-8（多选·★★★☆☆） 已知函数，下列选项中正确的是（ ） A. 若在上存在单调递增区间，则 B. 当时，在处的瞬时变化率为 C. 当时，若在区间上有最大值，则 D. 函数图象与直线相切，且满足条件的值有且只有个，则 例9（多选·★★★☆☆） 设为方程在区间上的解，下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 例10（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 若时取得极大值，则 B. 若，则当时， C. 若在上不单调，则 D. 若，设 ，则， 例11（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 当时， C. 函数的图象是中心对称图形 D. 当且时， 学科网（北京）股份有限公司 $