专题3.2 勾股定理的逆定理（专题训练）-2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题3.2 勾股定理的逆定理（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型·1…判断三边能否构成直角三角形 1 题型·2·勾股数 3 题型 3·网格中判断直角三角形 8 题型·4··图形上与己知两点构成直角三角形的点 13 题型·5·利用勾股定理的逆定理求解 16 题型·6·勾股定理的逆定理实际应用 20 题型·1…判断三边能否构成直角三角形 1．下列四组数中能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．1，1，2 B．，， C．5，11，16 D．8，15，17 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系和勾股定理逆定理求解即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，能组成直角三角形，符合题意． 2．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A、∵， ∴， ∴能判断是直角三角形； B、∵， ∴设，，， ∴， ∴能判断是直角三角形； C、∵，，， ∴，， ∴， ∴不能判断是直角三角形； D、∵，，， ∴， ∴能判断是直角三角形． 3．数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边； 长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边． 符合条件的图形为选项B． 4．以下列所给数据为三角形的各边长，组成的三角形是直角三角形的有（     ） ①7，24，25；        ②，，； ③，，；    ④1，，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】对四组边长分别判断，找出最长边，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可求解 【详解】解：① 对边长，最长边为， 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； ② 对边长，比较可得是最长边． 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； ③ 对边长，最长边为． 展开计算得， ，两者不相等，不满足条件，不是直角三角形； ④ 对边长，最长边为， 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形． 综上，共有①②④3组符合条件． 题型·2·勾股数 5．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．1，1， C．，， D．8，15，17 【答案】D 【分析】勾股数需为正整数，可先排除非正整数选项，再验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A选项的数均为分数，B、C选项含无理数，均不是正整数，不是勾股数； D选项中8,15,17均为正整数，且，是勾股数． 6．以下列各组数为勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．15，20，25 D．1，， 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，不是勾股数； B、选项中的数不全是正整数，不是勾股数； C、∵，， ∴，且均为正整数，是勾股数； D、选项中的数不全是正整数，不是勾股数． 7．下列四组数： ；7，24，25；9，40，41；4，5，6，其中是勾股数的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数、、称为勾股数． 根据勾股数的定义依次验证四组数是否符合定义即可． 【详解】解：∵①组的数不是正整数， ∴①不是勾股数， ∵②组中，，，即，且7、24、25均为正整数， ∴②是勾股数， ∵③组中，，，即，且9、40、41均为正整数， ∴③是勾股数， ∵④组中，，，， ∴④不是勾股数， 综上，是勾股数的有2组， 故选C． 8．定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为______；若时，的值为______． 【答案】 7 41 【分析】本题考查数字规律探索和勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据“邻近”勾股数组找到、、的关系，找到规律求出和即可． 【详解】解：三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组， ， ∵b是正整数， 为奇数， ∵“邻近”勾股数组中，a是连续的奇数， ∴当时，（对应数组）； 当时，（对应数组）； 当时，下一个奇数为7， 验证：，， 满足且， ∴， 由规律可知，是第n个符合条件的奇数， ∴， ∴当时，． 故答案为：7；41． 9．阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 【答案】探究1（1）①6，8，10； ②证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴a，b，c是一组勾股数 探究2（2）①，； ②当（，且n为奇数）时，，； 证明：∵，， ∴， ∴该规律合理． 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式． （1）①根据为正整数举例即可； ②通过计算验证给定公式满足勾股定理即可； （2）①根据奇数勾股数的规律，勾的平方减1除以2得股，加1除以2得弦即可； ②由①得出规律，并证明其满足勾股定理即可． 【详解】解： 探究1：（1）①∵3，4，5是一组勾股数， 又为正整数， ∴当时，，，，且， ∴6，8，10也是一组勾股数（答案不唯一） ② 略 （2）①如果勾为7，则股，弦， 故答案为：；； ② 略 10．第14届数学教育大会会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)请用图2验证勾股定理：； (2)如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．证明是勾股数； (3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，不必说明理由）． 【答案】(1) 解：∵大正方形的面积为， 或 ， ∴； (2) 证明：∵是正整数且， ∴均为正整数 ∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； (3)140 【分析】本题考查了勾股定理，勾股数、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）用两种方法求正方形面积即可求证； （）分别求出，，，则有，从而求证； （）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 题型 3·网格中判断直角三角形 11．已知图中每个小正方形的边长为，判断的形状． 【答案】是直角三角形． 【分析】根据勾股定理分别求出、、的长；根据勾股定理的逆定理，即可判断的形状． 【详解】解：，，， ∵，即， 故是直角三角形． 12．如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均位于正方形网格的格点之上． (1)直接写出的三边长（结果应化简为最简二次根式）：_______，_______，_________； (2)证明：是直角三角形． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】（1）由勾股定理求解即可； （2）由（1）可得，根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ， ； （2）证明：，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，可得：是直角三角形． 13．如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）结合网格与勾股定理的性质列式计算，作图即可； （2）运用勾股定理与勾股逆定理得又因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∴． （2）证明：连接， 由画法知， 由勾股定理得， 是直角三角形，且 ∵， ． 14．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1． (1)判断的形状并说明理由． (2)求边上高h． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状； （2）根据面积法即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵网格中每个小正方形的边长都为1， ∴ ， 在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形性质；熟练掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，一个表格表示个单位长度 (1)作关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的长度； (3)求点到的距离． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求， (2) (3) 【分析】本题考查了画轴对称图形，勾股定理及其逆定理的应用； （1）根据“关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变”分别画出点及即可； （2）根据勾股定理，即可求解； （3）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：； （3）解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 设到的距离为， ∴． 题型·4··图形上与己知两点构成直角三角形的点 16．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以为边画，使点C在格点上，满足这样条件的点C共_____个． 【答案】8 【分析】如图，在5×5的正方形网格中，以为边画直角，使点C在格点上，即可解得满足这样条件的点C的个数． 【详解】解：根据题意可得以为边画直角，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个． 故答案为8 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要注意找出所有符合条件的点． 17．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有（    ）． A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了网格中判断直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据网格的特点求得的长为，分为直角边和斜边两种情况讨论，进而确定点的位置． 【详解】由于每个小正方形的边长为1，则， 如图， ①当为斜边时， 可以作出，，三个直角三角形 当为直角边时， 可以作出，两个直角三角形， 将上述三角以为对称轴翻折，可得出4个直角三角形， 综上所述，一共有9个直角三角形． 故选：B． 18．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答． 以点为直角顶点时，根据勾股定理的逆定理得出符合条件的有2个点；以点为直角顶点时有3个点，以点为直角顶点时有3个点，共8个． 【详解】解：如图所示： 其中，，AB=2， ∵， ∴为直角三角形， 同理：为直角三角形， 网格中其他点C如图所示， 所以格点C的个数是8， 故选：D． 19．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（　　）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数． 【详解】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．如图： 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要注意找出所有符合条件的点． 题型·5·利用勾股定理的逆定理求解 20．如图，在四边形中，，，，．求的度数． 【答案】 【分析】先根据等腰直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据勾股定理逆定理说明，即可得出答案． 【详解】解：连接， ，， . 在中，， 在中，，， ∴，， ， ， 21．如图，四边形中，，，，，． (1)判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形， 理由如下： 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，则可证明，据此可得结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 22．如图，在四边形中，，，，．连接，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】在直角中，利用勾股定理计算出，再根据可判定，因此． 【详解】证明：在中，由勾股定理得， ∴， ∵ ∴ ∴是以为斜边的直角三角形，， ∴， ∴． 23．已知：四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理可知的长度； （2）根据勾股定理的逆定理可知，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）在中，，，， 根据勾股定理得，； （2）在中，，，， ， ∴为直角三角形，且， ． 24．如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； (3)判断的形状． 【答案】(1) (2) (3) 解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴ ，， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）由垂直可得，利用勾股定理可得，即可得到结果； （2）由（1）知，利用勾股定理可得，再根据即可得到结果； （3）由，，，利用勾股定理的逆定理即可判断求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵，， ∴； （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴； （3）略 题型·6·勾股定理的逆定理实际应用 25．在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，D到M的路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条路．测得千米，千米，千米． (1)是不是从村庄D到公路的最近路？请通过计算加以说明； (2)新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)是，理由如下： ，， ， 为直角三角形，即， ， ∴是D到公路的最近路． (2)新路比原路短1千米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理及点到直线垂线段最短进行求解即可； （2）设千米，则千米，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设千米，则千米． 在中，， ， 解得， ， ， （千米）； 答：新路比原路短1千米． 26．如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 【答案】(1) (2)这个零件合格． 【分析】（1）根据勾股定理列式计算，即可作答． （2）先分别算出得出，满足勾股逆定理，得出是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，，． ∴ （2）解：这个零件是合格的，理由如下： 由（1）得， ∵，， ∴ 即 ∴是直角三角形， ∴这个零件是合格的． 27．某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M 到喷泉A的距离； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用勾股定理求出，在中利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明，则，再根据点到直线的距离即可解答． 【详解】（1）解：∵的长是点到的距离， ∴， ∴， 在中，， ∴； ∵的长为， ∴， 在中，， ∴， 答：供水点到喷泉的距离为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴喷泉到小路的最短距离为的长，即， 答：喷泉到小路的最短距离为． 28．2025年重庆“五一”特展展出的西南地区最大恐龙模型长26米，某恐龙馆计划据此设计改造成一款可触摸恐龙模型，为增加稳定性，避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡风险，该模型一条支架与另一条支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)当同学们到恐龙馆参观时，想知道模型中各段支架的长度，容易测量，但不好测量的长，导游小姐姐看到大家的难题，给出了一个有用的信息：支架比长，你能根据导游小姐姐提供的信息验证支架的长度是否真的是吗？请写出你的验证过程． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴由勾股定理得：， 且， ， ； (2) 是． 证明：由（1）可得 ， 设，则， 由勾股定理得： 故： 解得： ∴． 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和运用，（）根据勾股定理先计算的长，再根据已知条件证得即可． （）设，则，代入到求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 29．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离、分别为、，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) 海港受台风影响， 理由：如图，过点作于点． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 由三角形面积公式得， 即，解得． ∵，即点到的距离小于台风影响半径， ∴海港受台风影响； (2)台风影响海港持续的时间有 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理的应用，关键是将实际台风影响问题转化为直角三角形的几何模型，通过几何计算与运动公式结合求解． （1）先利用勾股定理的逆定理，验证，判断为直角三角形；再通过直角三角形的面积公式求出点到的距离，将与台风影响半径比较，若，则海港受台风影响． （2）先确定台风开始影响和结束影响海港时的位置、，使得；在中，用勾股定理求出的长度，结合对称性质得到影响的路程；最后根用的长度除以台风移动速度，即可求出持续时间． 【详解】（1）略 （2）解：在线段上取两点、，使得，连接，． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴． ∵台风中心移动速度为， ∴影响持续时间为小时． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 勾股定理的逆定理（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型·1…判断三边能否构成直角三角形 1 题型·2·勾股数 2 题型 3·网格中判断直角三角形 3 题型·4··图形上与己知两点构成直角三角形的点 6 题型·5·利用勾股定理的逆定理求解 7 题型·6·勾股定理的逆定理实际应用 8 题型·1…判断三边能否构成直角三角形 1．下列四组数中能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．1，1，2 B．，， C．5，11，16 D．8，15，17 2．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C．，， D．，， 3．数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 4．以下列所给数据为三角形的各边长，组成的三角形是直角三角形的有（     ） ①7，24，25；        ②，，； ③，，；    ④1，，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 题型·2·勾股数 5．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．1，1， C．，， D．8，15，17 6．以下列各组数为勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．15，20，25 D．1，， 7．下列四组数： ；7，24，25；9，40，41；4，5，6，其中是勾股数的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 8．定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为______；若时，的值为______． 9．阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 10．第14届数学教育大会会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)请用图2验证勾股定理：； (2)如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．证明是勾股数； (3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，不必说明理由）． 题型 3·网格中判断直角三角形 11．已知图中每个小正方形的边长为，判断的形状． 12．如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均位于正方形网格的格点之上． (1)直接写出的三边长（结果应化简为最简二次根式）：_______，_______，_________； (2)证明：是直角三角形． 13．如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 14．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1． (1)判断的形状并说明理由． (2)求边上高h． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，一个表格表示个单位长度 (1)作关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的长度； (3)求点到的距离． 题型·4··图形上与己知两点构成直角三角形的点 16．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以为边画，使点C在格点上，满足这样条件的点C共_____个． 17．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有（    ）． A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 18．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 19．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（　　）个 A．5 B．6 C．7 D．8 题型·5·利用勾股定理的逆定理求解 20．如图，在四边形中，，，，．求的度数． 21．如图，四边形中，，，，，． (1)判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形的面积． 22．如图，在四边形中，，，，．连接，若，求证：． 23．已知：四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 24．如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； (3)判断的形状． 题型·6·勾股定理的逆定理实际应用 25．在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，D到M的路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条路．测得千米，千米，千米． (1)是不是从村庄D到公路的最近路？请通过计算加以说明； (2)新路比原路短多少千米？ 26．如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 27．某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M 到喷泉A的距离； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 28．2025年重庆“五一”特展展出的西南地区最大恐龙模型长26米，某恐龙馆计划据此设计改造成一款可触摸恐龙模型，为增加稳定性，避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡风险，该模型一条支架与另一条支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)当同学们到恐龙馆参观时，想知道模型中各段支架的长度，容易测量，但不好测量的长，导游小姐姐看到大家的难题，给出了一个有用的信息：支架比长，你能根据导游小姐姐提供的信息验证支架的长度是否真的是吗？请写出你的验证过程． 29．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离、分别为、，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $