3.2 勾股定理的逆定理（知识解读）-2026-2027学年苏科版八年级数学上册

3.2 勾股定理的逆定理（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型 1··判断三边能否构成直角三角形】 2 【题型 2·勾股数】 3 【题型3·网格中判断直角三角形】 5 【题型 4··图形上与己知两点构成直角三角形的点】 9 【题型 5·利用勾股定理的逆定理求解】 12 【题型 6·勾股定理的逆定理实际应用】 16 【随堂检测】 20 知识点1 直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 知识点2 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 【题型 1··判断三边能否构成直角三角形】 【例1】下列四组数中能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．1，1，2 B．，， C．5，11，16 D．8，15，17 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系和勾股定理逆定理求解即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，能组成直角三角形，符合题意． 【变式1-1】小明把一根长为的木条加工成一个直角三角形框架，这个三角形的三边长可以是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：对选项A，，，，不符合勾股定理，∴不符合题意． 对选项B，，符合勾股定理，∴符合题意． 对选项C，，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，∴不符合题意． 对选项D，，，，不符合勾股定理，∴不符合题意． 【变式1-2】若是的三边长，且满足，则下列结论正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵，由勾股定理逆定理知为斜边，． 【变式1-3】若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，用到勾股定理的逆定理与三角形内角和定理，根据相关定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A. ，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，不符合题意； B. 设，，，其中， ，， ，不能判定是直角三角形，符合题意； C. ， ， 又， ，即，是直角三角形，不符合题意； D. 设，，， 由三角形内角和得，解得， ，是直角三角形，不符合题意． 【题型 2·勾股数】 【例2】下列四组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数． 【详解】解：A、， ， 故不是勾股数； B、各数不是整数，不是勾股数； C、，是勾股数； D、，不是勾股数． 【变式2-1】下列各组数中，是勾股数的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：A、，，，故不是勾股数； B、，，，故不是勾股数； C、，，，故不是勾股数； D、，，，故是勾股数． 【变式2-2】如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________． 【答案】 【分析】由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第n个勾股数中间的数为，据此计算即可得出结论． 【详解】解：由，，， … 第n个勾股数组中间的数为， 第10组勾股数组中间的数为，即勾股数组为． 【变式2-3】学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 【答案】(1)（10，24，26） (2)，， 证明：∵，， ∴， ∴是勾股数． 【分析】（1）通过观察得到下一组勾股数组的前两个数为，，利用勾股定理计算或者通过规律得到第三个数是26； （2）由观察归纳得到两个数与n之间的关系，结合代数运算验证猜想的正确性． 【详解】（1）略 （2）略 【题型3·网格中判断直角三角形】 【例3】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点A到边的距离． 【答案】(1) 解：是直角三角形． 理由：由题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形，且． (2)点A到边的距离为2 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后利用勾股定理逆定理可求解； （2）设点A到边的距离为h，则由等面积法可进行求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴． 设点A到边的距离为h， ∴，即， ∴，即点A到边的距离为2． 【变式3-1】如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) 解：是直角三角形．证明如下： 由图可知，，， ， 是直角三角形． 【分析】本题考查了求格点三角形的面积，勾股定理及其逆定理： （1）的面积等于边长为4的正方形面积减去三个直角三角形面积； （2）利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：． （2）略 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系内，小正方形边长为1． (1)请直接写出、、的坐标； (2)求的面积； (3)在中，求边上的高． 【答案】(1)，，； (2)5 (3)边上的高为2． 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，点的坐标． （1）根据图即可解答； （2）先根据勾股定理求出三边的长，根据共定理的逆定理可判断是直角三角形，即可求出面积； （3）根据第（2）的面积，用勾股定理求出，即可求出边上的高． 【详解】（1）解：由图可知，，，； （2）解：由勾股定理可知，， ， ， ， 是直角三角形，， 的面积为； （3）解：的面积为5，，设边上高为， ， ，即边上的高为2． 【变式3-3】如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)的面积为________； (2)判断的形状，并说明理由． (3)求边上的高． 【答案】(1)5； (2)△ABC是直角三角形，理由见解析； (3)2. 【分析】（1）根据割补法即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形； （3）过点C作CF⊥AB于点F，根据等积法即可求得CF值. 【详解】（1）解：如图： ∵AE=1，BD=4，ED=4，EC=DC=2， ∴S△ABC=S梯形ABDE-S△BCD-S△ACE= = = =10-4-1 =5， 故答案为：5； （2）解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AB2=32+42=25，BC2=42+22=20，AC2=12+22=5， ∴BC2 +AC2=20+5=25， 即AB2= BC2 +AC2， 故△ABC是直角三角形. （3）解：如图：过点C作CF⊥AB于点F， 由（1）（2）知：S△ABC=5，AB=5， ∴S△ABC=， 即， 解得CF=2, 故边上的高为2. 【点睛】此题考查三角形面积，勾股定理及其逆定理，掌握基本知识是解答此题的关键. 【题型 4··图形上与己知两点构成直角三角形的点】 【例4】已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 【变式4-1】如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为______________． 【答案】4 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况． 【详解】解：如图所示，即为所求， ∴以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为4， 故答案为：4． 【变式4-2】如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的判定，网格的性质， 根据题意分别作出以A，B，C三点为顶点的直角三角形，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 【变式4-3】在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定，根据网格的特点，分为斜边，以及分别为直角顶点，分类讨论，即可求解． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选：A． 【题型 5·利用勾股定理的逆定理求解】 【例5】校园内要规划一块等腰三角形绿地，其中，底边．打算在边上的点处安装喷灌龙头，测得，． (1)求的长； (2)求中边上的高． 【答案】(1)； (2)． 【分析】由勾股定理逆定理可得是直角三角形，，故有，设，则，最后通过勾股定理即可求解； 过作于点，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 过作于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴中边上的高为． 【变式5-1】如图，在中，，，，试求线段的长． 【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得出是以的直角三角形，再利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解： ，，， ，， ， 是以的直角三角形， ， 在中，， ． 【变式5-2】如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)的长为5； (2)四边形的面积为36 【分析】（1）在中，根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：在中，由于，即， ∴是直角三角形， ∴． 【变式5-3】如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1)证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； (2) (3)6 【分析】（1）利用即可证明； （2）可证明，得到；再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）由全等三角形的性质得到，则可证明，据此根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵是的中线， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 【题型 6·勾股定理的逆定理实际应用】 【例6】国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的智能新时代．如图是一块四边形的空地，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，这块空地的，求这块空地的面积． 【答案】这块空地的面积为 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理得出，最后根据直角三角形的面积公式分别求出和的面积，即可求出这块空地的面积． 【详解】解：在中，， ∴， ； 在中，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； ∴， 答：这块空地的面积为． 【变式6-1】如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ 【答案】(1)解：∵，，， ∴，， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴从村庄到公路，是距离最近的路； (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，得到，即可说明； （2）利用勾股定理运算出的长，再作比较即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴在中，， ∴． 【变式6-2】台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，点为一海港，且点与，两点的距离分别为，，又．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港会受台风影响． 理由：如图，过点作于点． ∵， ∴是直角三角形，， ∴，即， ∴． ∴海港会受台风影响． (2)台风影响海港持续时间为0.5小时 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出的长，即可得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）略 （2）解：在线段上取点，，使， 在中，， ∵，， ∴． （小时）． ∴台风影响海港持续时间为0.5小时． 【变式6-3】【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不安全，理由见解析 【分析】（1）先利用勾股定理求得、，然后求得，即；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）解：小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图所示，下列三角形中是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等． 【详解】解： A、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，，，能构成直角三角形，符合题意． 2．下列各组数中，是勾股数的一组是（     ） A．1，1，2 B．2，3，4 C．7，8，9 D．9，12，15 【答案】D 【分析】满足的三个正整数，称为勾股数，由此求解即可． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意； 3．如图是数学交流群中的一个截图片段，则回答正确的是（    ） A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明 【答案】C 【分析】利用勾股定理逐一判断即可． 【详解】解：A：，不是勾股数，不符合题意； B：，不是勾股数，不符合题意； C：，是勾股数，符合题意； D：，不是勾股数，不符合题意； 4．如图，在中，，于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，进而根据等面积法求得，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴是直角三角形，且 ∵， ∴是边上的高， ∵ ∴， 在中， 故选：A． 5．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 6．若，，是勾股数，则的值是________． 【答案】 【分析】勾股数是满足勾股定理的正整数.需分两种情况讨论，分别为是最长边，是最长边，利用勾股定理计算后，根据勾股数的定义筛选结果即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为最长边时，由勾股定理得， 不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去； 当为最长边时，由勾股定理得 ， ，是正整数，符合勾股数定义． 7．清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 8．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理可得，从而利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和求解即可. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴. 9．如图，在中，，，，． (1)求的长； (2)请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 是直角三角形，理由如下： 由（1）知， ， ， ， 是直角三角形． 【分析】（1）在直角中利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解： ， ， 在 中，， 在 中，； （2）略． 10．如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【答案】符合标准，理由如下： ，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 该零件符合标准． 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明，即可得出结论． 【详解】略 10．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）仿照题中给出的样例直接代入即可； （2）观察样例的规律，总结出关于的规律即可； （3）观察样例的规律，总结出关于的规律，代入数值计算即可； （4）观察样例的规律，总结出关于的规律即可． 【详解】（1）勾为7时，，； （2）勾为3时，股=，弦=； 勾为5时，股=，弦=； 可归纳出规律： 当勾为奇数时，股，弦； （3）：，，； ：，，； ：，，； 可得规律：当勾为偶数 为正整数）时，股=，弦=． ∵弦长为， ∴，解得， ∴勾，股； （4）由（3）可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． 11．某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响． (1)气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由． (2)若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ 【答案】(1)气象观测站受台风影响， 过点C作于点D， 、、 ， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 气象观测站受台风影响； (2)受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，过点C作于点D，利用三角形面积得出的长，进而得出气象观测站受台风影响， （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该气象站持续的时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图：距离台风中心及以内的地区会受到影响， 时，正好影响C气象站， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵，， （小时）． 答：受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 勾股定理的逆定理（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型 1··判断三边能否构成直角三角形】 2 【题型 2·勾股数】 2 【题型3·网格中判断直角三角形】 3 【题型 4··图形上与己知两点构成直角三角形的点】 5 【题型 5·利用勾股定理的逆定理求解】 6 【题型 6·勾股定理的逆定理实际应用】 7 【随堂检测】 9 知识点1 直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 知识点2 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 【题型 1··判断三边能否构成直角三角形】 【例1】下列四组数中能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．1，1，2 B．，， C．5，11，16 D．8，15，17 【变式1-1】小明把一根长为的木条加工成一个直角三角形框架，这个三角形的三边长可以是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】若是的三边长，且满足，则下列结论正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法判断 【变式1-3】若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【题型 2·勾股数】 【例2】下列四组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-1】下列各组数中，是勾股数的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-2】如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________． 【变式2-3】学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 【题型3·网格中判断直角三角形】 【例3】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点A到边的距离． 【变式3-1】如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系内，小正方形边长为1． (1)请直接写出、、的坐标； (2)求的面积； (3)在中，求边上的高． 【变式3-3】如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)的面积为________； (2)判断的形状，并说明理由． (3)求边上的高． 【题型 4··图形上与己知两点构成直角三角形的点】 【例4】已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【变式4-1】如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为______________． 【变式4-2】如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式4-3】在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【题型 5·利用勾股定理的逆定理求解】 【例5】校园内要规划一块等腰三角形绿地，其中，底边．打算在边上的点处安装喷灌龙头，测得，． (1)求的长； (2)求中边上的高． 【变式5-1】如图，在中，，，，试求线段的长． 【变式5-2】如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式5-3】如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积． 【题型 6·勾股定理的逆定理实际应用】 【例6】国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的智能新时代．如图是一块四边形的空地，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，这块空地的，求这块空地的面积． 【变式6-1】如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ 【变式6-2】台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，点为一海港，且点与，两点的距离分别为，，又．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响海港持续的时间有多长？ 【变式6-3】【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2) 如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图所示，下列三角形中是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，是勾股数的一组是（     ） A．1，1，2 B．2，3，4 C．7，8，9 D．9，12，15 3．如图是数学交流群中的一个截图片段，则回答正确的是（    ） A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明 4．如图，在中，，于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 5．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 6．若，，是勾股数，则的值是________． 7．清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 8．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 9．如图，在中，，，，． (1)求的长； (2)请判断的形状，并说明理由． 10．如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 10．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 11．某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响． (1)气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由． (2)若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $