28.2.3 关于原点对称的点的坐标 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

28.2.3 关于原点对称的点的坐标　知识清单 人教版（2024）　九年级上册　第二十八章《旋转》 教材 P103—P104　28.2 中心对称（第 3 课时） 图 1　本节知识地图：一条核心规律、一次对比辨析、一条作图路径、一个判断依据 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 探究并掌握关于原点对称的点的坐标规律，会写出已知点关于原点的对称点的坐标； ② 会利用坐标关系，在平面直角坐标系中作出与已知图形关于原点对称的图形； ③ 能区分「关于原点对称」与「关于坐标轴对称」，会用坐标关系解决简单问题 重点 点 P(x, y) 关于原点的对称点为 P′(-x, -y)；利用坐标作关于原点对称的图形的三步：求、描、连 难点 区分关于原点对称（横、纵坐标都变相反数）与关于坐标轴对称（只变其中一个）；理解坐标规律与中心对称的性质之间的联系 二、从中心对称到坐标 前两个课时分别在「图形」的层面上研究中心对称：28.2.1 讲两个图形关于某一点成中心对称，28.2.2 讲一个图形自身的中心对称性。本课时把「某一点」取在坐标原点，中心对称就可以用坐标来刻画了。 先看它在坐标系里的样子。图 2 左中，点 P 与点 P′ 关于原点 O 对称，线段 PP′ 经过原点 O，并且被原点 O 平分，所以 。这正是 28.2.1 的性质在平面直角坐标系中的表现——对称中心就是每一对对称点所连线段的中点。 再把目光从图形移到坐标上（图 2 右）：点 的对称点 的横坐标、纵坐标都变成了原来的相反数。这个关系下一节再来验证。 图 2　中心对称在平面直角坐标系中的样子（左）：点 P 绕原点 O 旋转 后与点 P′ 重合，线段 PP′ 经过原点且被原点平分；坐标中的表现（右）：点 的对称点为 三、关于原点对称的点的坐标规律 那么，关于原点对称的两个点，坐标之间有什么关系？先在平面直角坐标系中作出已知点关于原点的对称点，再观察它们的坐标（教材 P103 探究）。 探究：作出已知点关于原点 O 的对称点，并写出它们的坐标 已知点 、、、、，作出它们关于原点 O 的对称点（图 3 左），并写出这些对称点的坐标。 图 3　左：教材 P103 探究，作出 A、B、C、D、E 关于原点 O 的对称点，每一条连线都经过原点 O；右：同一个点的三种对称放在一起对比 把结果填在表里，再比较每一对坐标。 已知点 关于原点对称的点 坐标的变化 横坐标 → ，纵坐标 → 横坐标 → ，纵坐标 → 横坐标 → ，纵坐标 → 横坐标 → ，纵坐标 → 横坐标 → ，纵坐标 → 从上表可以看到：每一个对称点的横坐标与已知点的横坐标互为相反数，纵坐标与已知点的纵坐标也互为相反数。 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即 关于原点的对称点为 。 这里有两点要说明。 ① 坐标中有 0 时，0 的相反数仍然是 0。例如 的对称点是 ，仍然在 x 轴上。 ② 原点 关于原点的对称点是它本身。 四、三种对称的坐标对比 关于坐标轴对称的点的坐标，八年级上册已经学过：点 关于 x 轴对称的点是 ，关于 y 轴对称的点是 。把这两种和本节的关于原点对称放在一起，正好组成一张对照表。 对称方式 点 P(x, y) 的对称点 坐标的变化 关于 x 轴对称 横坐标不变，纵坐标变相反数 关于 y 轴对称 纵坐标不变，横坐标变相反数 关于原点对称 横坐标、纵坐标都变相反数 一句话记牢：关于谁对称谁不变，关于原点都改变。 三种对称放在一起看更清楚（图 3 右）：同一个点 关于 x 轴对称得 ，关于 y 轴对称得 ，关于原点对称得 ——三个对称点落在三个不同的位置。 图 3 右提醒我们：同一个点的三个对称点各不相同，写坐标时千万不要把「只变一个」与「两个都变」弄混。 五、象限的变化规律与坐标轴上的点 把坐标符号的变化再和象限对起来看，规律就很清楚了（图 4）： 第一象限的点关于原点对称后落在第三象限；第二象限的点关于原点对称后落在第四象限。 也就是说，关于原点对称的两个点分别在相对的象限里。 图 4　关于原点对称的两个点分别在相对的象限里： 与 在第一、三象限， 与 在第二、四象限 如果点的坐标中有 0，情形又不一样：点 在 x 轴上，它的对称点 仍然在 x 轴上；点 在 y 轴上，它的对称点 仍然在 y 轴上（这两种情形在图 3 左中可以直接看到）。所以，坐标中有 0 的点，关于原点对称后仍在同一条坐标轴上。 原点 是唯一一个关于原点对称后还是它自己的点。 六、利用坐标作关于原点对称的图形 有了坐标规律，作关于原点对称的图形，就不必再一个顶点一个顶点地绕点旋转了。 例（教材 P103 例 2）：作出与 △ABC 关于原点对称的 △A′B′C′ 如图 5，△ABC 的三个顶点的坐标分别是 、、。利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与 △ABC 关于原点对称的图形。 点 关于原点的对称点为 ，所以 △ABC 的三个顶点关于原点的对称点依次是 、、。依次连接 A′B′、B′C′、C′A′，就得到与 △ABC 关于原点对称的 △A′B′C′。 图 5　教材 P103 例 2：连接 AA′、BB′、CC′（虚线），它们都经过原点 O 且被原点平分 作图分三步（图 7）：① 求——算出各顶点关于原点的对称点的坐标；② 描——在平面直角坐标系中描出这些对称点；③ 连——按原图形的顺序顺次连接。 七、易错清单 关于原点对称的点的坐标，规则只有一句「横、纵坐标都变相反数」，但用起来有六个地方最容易出错（图 6），下表逐条说明。 图 6　同一个 △DEF 的两种对称（左：关于原点对称；右：关于 y 轴对称） 易错点 错在哪里 正确做法 ① 把「关于原点对称」与 「关于 x 轴对称」弄混 求点 (2, 3) 关于原点的对称点时，写成 (2, -3) 横、纵坐标都要变相反数，(2, 3) 的对称点是 (-2, -3) ② 以为「符号相反」就是 其中一个变号 只把横坐标变号，写成 (-2, 3) 「符号相反」指的是横坐标、纵坐标分别互为相反数，两个都要变 ③ 忘记坐标中有 0 的情形 把 A(4, 0) 的对称点写成 (-4, -0)，或者写不出来 0 的相反数仍然是 0，所以 A(4, 0) 的对称点是 A′(-4, 0) ④ 把对称点的横、纵坐标 写颠倒了 把 (x, y) 的对称点写成 (-y, -x)，例如把 (2, 5) 写成 (-5, -2) 顺序不能换：横坐标写成 -x，纵坐标写成 -y，仍是 (-2, -5) ⑤ 坐标算对了，点却描错了 位置 在平面直角坐标系中把 A′(-4, 1) 描到了 (-4, -1) 处 描点后再核对一次：对称点的横、纵坐标是否都与已知点互为相反数 ⑥ 由两点关于原点对称 列方程时漏掉一个 已知 A(a, 2)、B(3, b) 关于原点对称，只列出 a = -3 就停了 横坐标互为相反数、纵坐标也互为相反数，要列出两个等式 八、方法总结 把本节的方法理一遍：判断一个点的对称点在哪里，看坐标规律；作一个图形关于原点对称的图形，走下面三步（图 7）。 图 7　作关于原点对称的图形：求 → 描 → 连 ★ 记忆要点 ① 坐标规律：点 关于原点的对称点为 ； ② 对比口诀：关于谁对称谁不变，关于原点都改变； ③ 象限规律：对称的两个点分别在相对的象限里，坐标中有 0 的仍在同一条坐标轴上； ④ 作图三步：求（算对称点坐标）→ 描（描点）→ 连（顺次连接）； ⑤ 检验：连接一对对称点，线段经过原点，并且被原点平分。 常见题型 入手点 用到的结论 求已知点关于原点的对称点 把横坐标、纵坐标都变相反数 关于原点对称的点的坐标规律 由两点关于原点对称求字母的值 横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数，各列一个等式 关于原点对称的点的坐标规律 在坐标系中作关于原点对称的图形 求 → 描 → 连 三步，再顺手检验一次 关于原点对称的点的坐标规律 判断两个点是否关于原点对称 看它们的横、纵坐标是否分别互为相反数 关于原点对称的点的坐标规律 与中心对称图形结合求顶点的坐标 对角线相交于原点，相对的两个顶点就关于原点对称 中心对称图形的性质 九、课后巩固 1. 点 关于原点的对称点 P′ 的坐标是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 2.（教材 P104 练习 1）下列各点中，哪两个点关于原点对称？ 、、、、、、 3.（教材 P104 练习 2）写出下列各点关于原点的对称点 A′、B′、C′、D′ 的坐标： 、、、 4. 已知点 与点 关于原点对称，求 m、n 的值。 5. 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 、、。作出与 △ABC 关于原点对称的 △A′B′C′，并写出点 A′、B′、C′ 的坐标。 6. 已知平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于原点 O，顶点 A、B 的坐标分别为 、，求顶点 C、D 的坐标。 参考答案与解析 1. C。横坐标 -3 的相反数是 3，纵坐标 1 的相反数是 -1，所以 P′ 的坐标是 。 2. C 与 F。 与 ：横坐标 与 互为相反数，纵坐标 与 也互为相反数，所以 C 与 F 关于原点对称。其余各点都找不到与它横、纵坐标分别互为相反数的点。 3. 的对称点 ； 的对称点 ； 的对称点 ； 的对称点 。 4. 因为 A、B 关于原点对称，所以它们的横坐标互为相反数、纵坐标也互为相反数。于是 m - 1 = 3，解得 m = 4；n + 1 = -2，解得 n = -3。 5. 因为点 关于原点的对称点为 ，所以 → ， → ， → 。依次连接 A′B′、B′C′、C′A′，所得 △A′B′C′ 与 △ABC 关于原点对称。 6. 因为平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于原点 O，所以点 O 是它的对称中心，C 与 A、D 与 B 分别关于原点对称。所以 ，。 十、技能自查 序号 自查内容 能否做到 1 能说出关于原点对称的点的坐标规律，会写出已知点的对称点坐标 □ 能　□ 还需复习 2 能区分关于原点对称与关于 x 轴、y 轴对称 □ 能　□ 还需复习 3 能说出关于原点对称的两个点所在的象限有什么关系 □ 能　□ 还需复习 4 会用坐标关系作出与已知图形关于原点对称的图形 □ 能　□ 还需复习 5 会由「两个点关于原点对称」列方程求字母的值 □ 能　□ 还需复习 6 能说明「关于原点对称」与中心对称之间的联系 □ 能　□ 还需复习 十一、知识追问 追问 1　关于原点对称的两个点，坐标有什么关系？ 横坐标、纵坐标分别互为相反数。点 关于原点的对称点是 。 追问 2　关于原点对称与关于 x 轴、y 轴对称，区别在哪里？ 关于 x 轴对称只有纵坐标变相反数，关于 y 轴对称只有横坐标变相反数，只有关于原点对称是横、纵坐标都变相反数。一句话：关于谁对称谁不变，关于原点都改变。 追问 3　为什么「关于原点对称」可以看成一类中心对称？ 点 关于原点 O 的对称点 ，正好是点 P 绕原点 O 旋转 后落到的地方。所以关于原点对称是中心对称（旋转 ）在平面直角坐标系中的样子，28.2.1 的两条性质在这里同样成立：线段 PP′ 经过原点 O，并且被原点 O 平分；两个图形全等。 十二、章内位置与中考对接 28.2.3 是第二十八章《旋转》中 28.2《中心对称》的第 3 课时，也是 28.2 的最后一个课时。前两个课时分别在「图形」的层面上研究中心对称，本课时把它放进平面直角坐标系，用「坐标」来刻画——把「形」的问题变成「数」的问题，这正是数形结合的体现。 教材位置 内容 P103 关于原点对称的点的坐标（探究与归纳）；利用坐标作关于原点对称的图形（例 2） P104 练习（求已知点关于原点的对称点坐标；用坐标关系作出关于原点对称的图形） 中考怎么考 ① 选择、填空题：直接写出已知点关于原点的对称点的坐标；由「两个点关于原点对称」求字母的值。 ② 作图题：在平面直角坐标系中作出与已知图形关于原点对称的图形，并写出各顶点的坐标。 ③ 与中心对称图形结合：平行四边形的对角线相交于原点时，相对的两个顶点关于原点对称，可用来求顶点坐标。 十三、本节边界 ★ 本节边界：本清单只研究「用坐标刻画关于原点对称」——坐标规律、与关于坐标轴对称的对比、象限的变化规律、用坐标作关于原点对称的图形。至于绕原点旋转其它角度后点的坐标怎样变化，以及其它图形变换与中心对称的关系，本清单都不展开。 学科网（北京）股份有限公司 $