17.4 直角三角形全等的判定 题型专练 2026-2027学年冀教版八年级数学上册

冀教版（2024）八年级上册 17.4 直角三角形全等的判定 题型专练 【题型1】用HL判定直角三角形全等 【典例】如图，已知，垂足为O，，，则可得到，理由是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　） A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD 【举一反三2】如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( ) A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【举一反三3】如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为__________ . 【举一反三4】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，EA=AB，D为AB上一点，连接ED、AC相交于F，ED=AC，求证：Rt△EAD≌Rt△ABC． 【题型2】HL与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE⊥BC，AC=6，EC=6，∠ACB=60°，则∠ACD的度数为 （      ）  A．45° B．30° C．20° D．15° 【举一反三1】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE相交于点F，则∠BFE的度数为 （      ）  A．60° B．80° C．90° D．100° 【举一反三2】如图，平分于点，点在射线上，.若，则的长为 __________ . 【举一反三3】在四边形ABCD中(BC＞AB)，BD平分∠ABC，且AD＝CD，DE⊥BC于点E.若BC＝5，AB＝3，则CE的长为__________ . 【举一反三4】(课本P35例4)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AD=CB.求证：AB=CD. 【举一反三5】已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BD=CE. 求证：AB=AC. 【题型3】HL的实际应用 【典例】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【举一反三1】已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形. 已知：如图，线段a，c. 求作：△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c. 【举一反三2】如图，太阳光线AC与A′C′平行且相等，同一时刻两根垂直于地面且高度相同的木杆 在太阳光照射下的影子BC与B′C′一样长吗？说说你的理由． 冀教版（2024）八年级上册 17.4 直角三角形全等的判定 题型专练（参考答案） 【题型1】用HL判定直角三角形全等 【典例】如图，已知，垂足为O，，，则可得到，理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴， 在和中，， ∴ ()， 故选：A. 【举一反三1】如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　） A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD 【答案】A 【解析】解：需要添加的条件为BC=BD或AC=AD， 理由为：若添加的条件为BC=BD， 在Rt△ABC与Rt△ABD中， ∵， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）； 若添加的条件为AC=AD在Rt△ABC与Rt△ABD中， ∵， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．故选A． 【举一反三2】如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( ) A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【答案】C 【解析】解： ①△ABC≌△DCB ∵AB∥EF∥DC ∴∠ABC=∠DCB ∵AB=DC，BC=BC ∴△ABC≌△DCB（SAS）； ②△ABE≌△CDE 由△ABC≌△DCB ∴∠EBC=∠ECB ∵∠ABC=∠DCB=90° ∴∠ABE=∠DCE，（等角的余角相等） 又∵∠AEB=∠DEC，AB=DC ∴△ABE≌△CDE(AAS)； ③△BFE≌△CFE ∵AB∥EF∥DC，∠ABC=90° ∴∠BFE=∠CFE =∠ABC=90° ∵BE=EC，EF=EF， ∴△BFE≌△CFE（HL）． ∴图中的全等三角形共有3对． 【举一反三3】如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为__________ . 【答案】HL 【解析】解：∵AB⊥CF，AB∥DE，∴△ABC和△DEF都是直角三角形．∵CE=FB，CE为公共部分，∴CB=EF，又∵AC=DF，∴由HL定理可判定△ABC≌△DEF．故填HL． 【举一反三4】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，EA=AB，D为AB上一点，连接ED、AC相交于F，ED=AC，求证：Rt△EAD≌Rt△ABC． 【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB， ∴∠EAB=∠ABC=90°， 在Rt△EAD和Rt△ABC中， ， ∴Rt△EAD≌Rt△ABC（HL）． 【题型2】HL与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE⊥BC，AC=6，EC=6，∠ACB=60°，则∠ACD的度数为 （      ）  A．45° B．30° C．20° D．15° 【答案】B 【解析】因为AC=6，EC=6， 所以AC=EC， 因为∠BAC=90°，DE⊥BC， 所以∠DAC=∠DEC=90°， 在Rt△ADC和Rt△EDC中， 所以Rt△ADC≌Rt△EDC(HL)， 所以∠1=∠2， 所以∠ACD=∠ACB=×60°=30°. 【举一反三1】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE相交于点F，则∠BFE的度数为 （      ）  A．60° B．80° C．90° D．100° 【答案】C 【解析】∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD＝90°. 又∵BC＝AC，BD＝AE， ∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)， ∴∠CBD＝∠CAE. 易知∠CAE＋∠E＝90°， ∴∠EBF＋∠E＝90°， ∴∠BFE＝90°. 【举一反三2】如图，平分于点，点在射线上，.若，则的长为 __________ . 【答案】 【解析】如图，过点作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【举一反三3】在四边形ABCD中(BC＞AB)，BD平分∠ABC，且AD＝CD，DE⊥BC于点E.若BC＝5，AB＝3，则CE的长为__________ . 【答案】1 【解析】如答图，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F. ∵DF⊥BA，DE⊥BC，BD平分∠ABC， ∴∠DFA＝∠DEC＝90°，DF＝DE. 又∵AD＝CD， ∴△DFA≌△DEC(HL)， ∴AF＝CE. ∵BD＝BD，∠DBF＝∠DBE，∠BFD＝∠BED＝90°， ∴△BFD≌△BED(AAS)， ∴BE＝BF＝AB＋AF＝AB＋CE＝3＋CE. 又∵BC＝BE＋CE＝5， ∴3＋CE＋CE＝5，∴CE＝1. 【举一反三4】(课本P35例4)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AD=CB.求证：AB=CD. 【答案】证明　如图，连接BD. 在Rt△ABD和Rt△CDB中，∠A=∠C=90°， 所以Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)， 所以AB=CD. 【举一反三5】已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BD=CE. 求证：AB=AC. 【答案】证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC， ∴△EBC和△DCB都是直角三角形， 在Rt△EBC与Rt△DCB中 ， ∴Rt△EBC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠BCE=∠CBD， ∴OB=OC． 【题型3】HL的实际应用 【典例】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【解析】解：∵在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 则（1）AB=DE，正确；（2）∠ABC+∠DFE=90°，正确；（3）∠ABC=∠DEF．故选 C． 【举一反三1】已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形. 已知：如图，线段a，c. 求作：△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c. 【答案】解：（1）作射线CM，在射线CM上取CB=a. （2）过C作CN⊥CM， （3）以B为圆心，c为半径画弧交CN于A，连接AB， 如图：△ABC即为所求． 【举一反三2】如图，太阳光线AC与A′C′平行且相等，同一时刻两根垂直于地面且高度相同的木杆 在太阳光照射下的影子BC与B′C′一样长吗？说说你的理由． 【答案】解：影子一样长，理由如下： ∵AB⊥BC，A′B′⊥B′C′， ∴∠ABC＝∠A′B′C′＝90°， 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)，∴BC＝B′C′. 即影子一样长． 学科网（北京）股份有限公司 $