精品解析：吉林长春市第十七中学2026-2027学年高三上学期第一学程考试数学试题

长春市第十七中学2026—2027学年度上学期第一学程考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于集合， 解不等式得：， 所以， 对于集合， 解不等式，等价于， 解得或， 所以或， 所以或. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】命题，则为. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于函数，有， 解得或， 所以函数的定义域是. 4. 若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化简求得答案. 【详解】由，得， . 故选：B. 5. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直列出关系式，代入模长关系即可. 【详解】设向量与向量的夹角为， 因，故， 即，故，则. 6. 在中，内角，，的对边分别是，，，则，，则A =（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】运用正弦定理可得，代入已知可得，再勾股定理的逆定理求得角. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 又，则，显然，所以. 故选：C 7. 函数的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图像，若是奇函数，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象求出，的图象上的所有点向左平移个单位长度后得为奇函数，得函数的图象过点，求出，进而得到函数的解析式，求解参数即可. 【详解】由得，的图象上的所有点向左平移个单位长度后得为奇函数， 所以图象关于原点对称，得函数的图象过点， 所以，所以， 故，又，得， 所以，， 故选：A. 8. 已知偶函数满足，当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，偶函数对满足， 所以，即， 所以函数是周期为的周期函数， 所以， 当时，所以， 即. 二、多项选择题（本题3小题，每小题6分，共18分，答对部分给部分分，答错0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用作差法即可判断A；利用基本不等式即可判断BCD. 【详解】对于A，由于，所以，即，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以根据基本不等式，有，当且仅当，即时等号成立， 因此对，有，故B正确； 对于C，因为，所以，由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立， 所以，故C错误； 对于D，根据基本不等式，有，当且仅当，即时等号成立， 所以当，有，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故D正确. 10. 关于函数，下面说法正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 是的一条对称轴 C. 在区间单调递增 D. 的值域是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二倍角公式及和（差）角公式将函数的解析式化简，再根据余弦型函数的性质依次判断即可. 【详解】已知函数， 对于A，由于，所以最小正周期，故A正确； 对于B，由于余弦函数的对称轴满足，所以函数的对称轴满足，得， 当时，；当时，；当时，； 由此可知，不是的一条对称轴，故B错误； 对于C，当时，，由于余弦函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，由于，所以，即的值域是，故D正确. 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，点为准线上任意一点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 以弦为直径的圆与准线L相切 D. 若，则直线的斜率一定为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知确定焦点和准线，再设直线，联立抛物线方程并应用韦达定理判断A，用抛物线的定义表示弦长判断B，由中点公式及圆心到定直线的距离判断C，设，利用向量垂直关系的坐标表示得到，从而判断D. 【详解】由抛物线方程得， 所以焦点，准线， A：设过焦点的直线方程为，联立抛物线方程， 整理得，由，是交点， 根据韦达定理，正确； B：根据抛物线的焦点弦长公式， 由，，则， 所以， 因为，所以，当且仅当，取得最小值4，正确； C：设中点为，则， 圆的半径， 圆心到准线的距离为， 因为，所以该圆与准线相切，正确； D：设，，， 由得， 而，，则， 所以， 将，代入，得， 所以，可得， 对于任意直线，只要点的纵坐标满足，就能使得，直线的斜率（）， 由于可以取任意非零实数，所以直线的斜率可以是任意非零实数，并不一定为，错误. 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，若，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】 利用配凑法，结合基本不等式，求得的最大值. 【详解】依题意， 当且仅当时等号成立. 故的最大值为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由，可得，而，故， 故由可得，则， 故 . 14. 若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题. 方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题. 【详解】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）直接由正弦定理及两角和的正弦公式可得，进而可得所求角的值； （2）由正弦定理可得，再结合（1）中结果分两种情况讨论，并用余弦定理及三角面积公式计算可得. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 代入条件，得， 再由两角和的正弦公式得， 又因为中，，所以，且， 所以，即，且，因此或. 【小问2详解】 由正弦定理得，代入， 得，又因为，所以. 由（1）解析知或， ①当时，由余弦定理，，， 得，解得. 由基本不等式，验证成立，三角形存在， 所以. ②时，由余弦定理，，， 得，解得. 由基本不等式，验证不成立，不存在，舍去. 综上所述，的面积为. 16. 已知等差数列满足：. (1)求； (2)令，求数列{bn}的前n项和Tn. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先算出，再由算出公差后可得通项公式. （2）利用裂项相消法求. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由得，故， 所以. （2），故 . 【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质： （1）若，则； （2） 且 ； （3）且为等差数列； （4） 为等差数列. 17. 已知椭圆，左顶点，右顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点． （1）若点横坐标为，求的值； （2）若直线斜率为，求证：为定值． 【答案】（1） （2）证明： 由题意得， 设点，点在椭圆上，则满足， 即， 斜率，斜率， 所以， 所以为定值. 【解析】 【小问1详解】 因为椭圆， 则，， 所以左顶点的坐标为， 因为点横坐标为，代入椭圆方程中得， 解得， 所以点的坐标为或， 所以斜率或. 【小问2详解】 略. 18. 直三棱柱中，为等腰直角三角形，，． （1）求证：； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】（1） 由题意，如图建系，则， 则， 所以， 所以，即； （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取平面内向量， 设平面的法向量为， 则， 令，得，则， 取平面内向量， 设平面的法向量为， 则， 令，得，则， 所以， 由图可知平面与平面所成二面角为锐二面角， 故平面与平面所成二面角的余弦值为. 19. 已知. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的值； （3）当时，若函数有两个极值点，求证：. 【答案】（1）当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2） （3）当时，，则， 因为有两个极值点，所以在上有两个不相等的实根， 令，即， 设，要使对应的方程在上有两个不等的实根， 需或，对称轴，端点值， 综上，只需满足， 由韦达定理可知是方程的两根，所以，所以，得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数及分类讨论研究函数的单调性； （2）根据已知分析得出且，再构造函数研究不等式恒成立求参数值即可； （3）问题化为在上有两个不相等的实根，结合一元二次函数的性质及对应方程根的个数列不等式求参数范围，最后由韦达定理即可证. 【小问1详解】 已知，定义域为， 求导， 当时：因为，因此，在上单调递增， 当时：令，解得， 当时，，所以，在上单调递减， 当时，，所以，在上单调递增， 综上所述： 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）知，若，在上单调递增， 当时，，不满足恒成立， 因此必须有，此时在处取得极小值，也是最小值， 所以 ， 要使恒成立，只需， 令，求导得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得最大值，即， 因此，要使恒成立，只能，解得； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第十七中学2026—2027学年度上学期第一学程考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（    ） A. B. C. D. 5. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角，，的对边分别是，，，则，，则A =（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 7. 函数的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图像，若是奇函数，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知偶函数满足，当时，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题3小题，每小题6分，共18分，答对部分给部分分，答错0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则的最大值为 10. 关于函数，下面说法正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 是的一条对称轴 C. 在区间单调递增 D. 的值域是 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，点为准线上任意一点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 以弦为直径的圆与准线L相切 D. 若，则直线的斜率一定为 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，若，则的最大值是______． 13. 已知，，则______． 14. 若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 16. 已知等差数列满足：. (1)求； (2)令，求数列{bn}的前n项和Tn. 17. 已知椭圆，左顶点，右顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点． （1）若点横坐标为，求的值； （2）若直线斜率为，求证：为定值． 18. 直三棱柱中，为等腰直角三角形，，． （1）求证：； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值． 19. 已知. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的值； （3）当时，若函数有两个极值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $