福建泉州市南安华侨中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

南安华侨中学2026年秋季第一次月考初三年数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级 _______________ 姓名__________________________ 号数_________ 一、单选题(每题4分，共40分） 1．下列各式中，属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 6．下列二次根式为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 7．小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为如图2所示的正方形，则相对于图1，图2中对角线的长度（   ） A．保持不变 B．增加了 C．增加了 D．减少了 8．实数a在数轴上的位置如图所示，化简（   ） A． B．1 C． D． 9．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（  ） A． B． C． D． 二、填空题(每题4分，共16分） 11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 12．计算：______． 13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 14．若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 15．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过后的离地高度（单位：）约为．根据上述规律，物体经过____落回地面． 16．八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为__________．（精确到，硬纸盒不可变形且纸盒壁、碗壁厚度均忽略不计，参考数据：） 三、解答题（共86分） 17．（12分）计算： (1)； (2)． 18．（12分）解下列一元二次方程： (1)； (2)； 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为，   第一步 所以，即，   第二步 所以方程没有实数根．    第三步 琪琪的解法是：原方程可化为，   第一步 两边都除以，得．   第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程． 21．（8分）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 22．（8分）观察下列各式及验证过程：， 验证； ， 验证； ， 验证； (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 23．（8分）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的长，求的周长． 24．（10分）新定义：关于的一元二次方程与互为“长雅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“长雅方程”（在题后相应的括号中，是打“”，不是打“”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于的一元二次方程：的两实数根为． ①求的值； ②记方程的“长雅方程”为方程是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于的一元二次方程与它的“长雅方程”有且只有一个公共实数根，求的值． 25．（12分）综合与实践 小型停车场设计与收费问题 素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图．已知，，阴影部分设计为停车位，面积为，车位总数为50个，其余部分均为宽度为x米的道路． 素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出去，若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下：，由，得；代数式的最小值是4． 任务1 求道路的宽是多少米？ 任务2 求当每个车位的月租金为多少元时，停车场的月租金收入为10080元？ 任务3 请直接写出该停车场月租金收入最高为______元，此时每个车位月租金为______元． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安华侨中学2026年秋季第一次月考初三年数学试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D D B C B A A 1．D 【分析】根据二次根式要求被开方数是非负数，逐项判断即可． 【详解】解：A：，不是二次根式，不符合题意； B：当时，无意义，不一定是二次根式，不符合题意； C：当时，无意义，不一定是二次根式，不符合题意； D：，是二次根式，符合题意． 2．C 【分析】根据二次根式的加法、乘方及算术平方根的运算法则，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】解：与、与均不是同类二次根式，无法合并，、选项错误； ，选项正确； ，负数没有算术平方根，无意义，选项错误． 3．B 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 4．D 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 5．D 【分析】将代入原方程，求解关于的一元一次方程. 【详解】解：把代入，得， 整理得，解得. 6．B 【分析】根据最简二次根式的定义判断选项，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、无法再化简，是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 7．C 【分析】根据菱形性质及判定为等边三角形，求出木条长度；再根据正方形性质及勾股定理求出图2中对角线的长，最后计算差值即可． 【详解】解：图1中， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 图2中， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴相对于图1，图2中对角线的长度增加了． 8．B 【分析】观察数轴可知，再根据化简二次根式，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图知， ∴，， ∴ ． 9．A 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 10．A 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 11． 【分析】二次根式在实数范围内有意义的条件为被开方数是非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数满足， 解得． 12． 【分析】将原式中每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：． 13． 【分析】根据“式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个相等的实数根”，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的值是． 14． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 15．2 【分析】物体落回地面时离地高度为，据此列方程求解，舍去不符合题意的初始解即可. 【详解】解：物体落回地面时，离地高度为，可得方程， 因式分解得 解得或， ∵是物体抛出的初始时刻，不符合落回地面的要求， ∴， ∴物体经过落回地面． 16． 【分析】八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可． 【详解】解：如图，八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长， ∴， 设， ∴，即， 解得，， ∴正方形边长为， ∵要将八角碗放进底面为正方形的长方体硬纸盒， ∴硬纸盒底面的边长至少为． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： （2） 18．(1)， (2)， 【分析】（1）将方程进行变形，利用开平方法进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可； （3）利用配方法进行求解即可； （4）利用因式分解法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，； 19．， 【分析】先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．(1)嘉嘉的解法从第一步开始错误；琪琪的解法从第二步开始错误． (2)解：嘉嘉的解法： ， 原方程可化为， ， ， ， ，． 琪琪的解法：， ， ， ， ，． 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解题步骤就可以找出错误． （2）嘉嘉的解法是按照配方法解一元二次方程，琪琪的解法是按照提公因式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：嘉嘉在解方程移项时，未知数的符号没有变， 嘉嘉的解法从第一步就错了． 琪琪两边都除以了一个带未知数的整式， 琪琪的第二步解法是错误的． （2）略． 21．(1)三边长分别为，， (2)不能，理由如下： 假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 化简得， ∵， ∴该方程没有实数根． 故假设不成立，即不能围成面积为的长方形围栏． 【分析】（1）设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，然后利用面积公式列出方程即可； （2）假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，根据“围栏的面积围栏长宽”即可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，（符合题意）， ∴三边长分别为，，； （2）略 22．(1)解：， 验证 ； (2)解：， 验证 ． 【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，观察根号外的式子和根号内的分子、分母之间的关系即可推广到一般形式． 【详解】（1）略 （2）略 23．(1)6 (2)17 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）分类讨论：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根，②当7为腰长时，设，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，且，， ， ∴ ， ∴， ∴， 或 ， ， 舍去． . （2）解：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根． ∴， 解得：， ∴方程化为：， ∴， ∴， ∵， ∴此时三角形不存在； ②当7为腰长时，设． 将代入方程， 得， ∴， 解得：或， 当时，方程变为， 解得或， ∵， ∴此时三角形不存在； 当时，方程变为， 解得：或， ∴的周长为17， 综上，的周长为17． 24．(1)①②③ (2)① ② (3) 【分析】（1）根据“长雅方程”的定义：若两个一元二次方程的一次项系数互为相反数，其余各项均相同，则这两个方程互为长雅方程，由此判断即可． （2）①两实数根相等情况下，根的判别式，利用求解后，将的值代入检验即可． ②将的值代入中，求解的根即可． （3）将原方程化简后，与原方程的“长雅方程”联立，消去二次项后求解，再分情况分析讨论． 【详解】（1）①两方程一次项系数互为相反数，常数项都为，二次项系数都为，但的值不确定，若则不满足条件，故打． ②两方程一次项系数互为相反数，二次项系数都为，常数项都为，符合定义，故打． ③两方程一次项系数互为相反数，二次项系数都为，常数项都为，符合定义，故打． （2）①解：关于的一元二次方程的两实数根， ， 由于 ； 则， ， 解得，． 将代入原方程，得， 此时方程不成立，故舍去； 将代入原方程，得 ， 此时方程成立， 故的值为． ②解：将代入，得 ， 整理，得， 解得， 关于的一元二次方程的根 由题意，得：， 将代入，得 ， 整理，得， 解得， 用判别式验算，， 为的解， 则关于的一元二次方程的根 ． （3）解：对展开后化简， 得， 其“长雅方程”为， 设公共实数根为，需同时满足上述两个方程，可列方程组为 两式相减，得， 或． 当时，， 将代入原方程中， 解得； 此时原方程为，根为、， 原方程的“长雅方程”为，根为、， 此时满足有且只有一个公共实数根； 当时， 原方程为，无实数根， 此时不符题意，舍去； 综上所述，． 25．任务1：道路的宽是5米；任务2：当每个车位的月租金为210元或240元时，停车场的月租金收入为10080元；任务3：10125；． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用、配方法的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 如图1，根据矩形的面积公式列出方程，解方程得到答案； 任务2，设当每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10080元，根据题意列出方程，解方程得到答案； 任务3，设每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为W元，根据题意列出函数关系式，利用配方法解答． 【详解】解：任务1，由题意得：， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：道路的宽是5米； 任务2，设当每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10080元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当每个车位的月租金为210元或240元时，停车场的月租金收入为10080元； 任务3，设每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为W元， 则 ， 当时，W有最大值10125， 该停车场月租金收入最高为10125元，此时每个车位月租金为225元， 故答案为：10125；225． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $