精品解析：黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期第二次调研数学试题

哈尔滨师范大学附属中学2026-2027学年度上学期 高三第二次调研数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为上的奇函数，且，当时，，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，其中．则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 若的图象关于点中心对称，则或 C. 若将的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则 D. 若在区间上单调递增，则的取值范围是 11. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ） A. B. C. 的取值范围是 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象关于直线对称，则______________. 13. 已知函数，若在区间上恰有两个零点，，则_________． 14. 中，，，点在线段上，若为的平分线，则与内切圆半径分别为、，则的取值范围_________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，且. （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16. 已知函数， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交于，求的长. 17. 已知函数（其中a为参数）． （1）求函数的单调区间； （2）若对，恒成立，求实数a的取值集合： （3）证明：（其中，为自然对数的底数） 18. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，. （1）求边的长度； （2）求的面积； （3）点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值. 19. 已知定义在上的函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设为函数的图象上不同于原点的三个不同的点，其中． ①证明：； ②定义两点间的距离如下：， 证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨师范大学附属中学2026-2027学年度上学期 高三第二次调研数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得，即，解得，即， 可得，即，解得或，即或， 则，所以. 2. 已知，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以，故 . 3. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系及充分条件、必要条件判断即可. 【详解】因为，则， 所以， 故甲是乙的充分条件. 若，则，所以 如，满足，但不成立， 故乙不能推出甲. 综上，甲是乙的充分不必要条件. 4. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 两式相减得：，解得． 5. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，则，解得或， 根据，得，所以， 利用二倍角公式得. 6. 已知公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 又由等差数列前项和公式， ，解得． 7. 已知函数为上的奇函数，且，当时，，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数为上的奇函数，当时，，可以推出函数在区间上单调递增，再由推出，然后比较，，的大小. 【详解】当时，可得，得到， 可得，由，得到. 故函数在区间上单调递增，得到. 函数为上的奇函数，函数在区间上单调递增. 而，由 ，得到， 可得， 由函数为上的奇函数，得到，则. ，，. ，即. 8. 已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等式变形，再同构一个函数，满足，再由单调性去找到等式关系，最后把二元变量转化为一元变量：，再用函数思想来求最大值即可. 【详解】由题意得，因为， 所以，所以， 令，则， 因为在上单调递增，所以，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数的运算性质即可判断A；根据基本不等式、完全平方公式即可判断BCD. 【详解】对于A，因为，，所以，即， 所以，A正确. 对于B，因为，，所以，，， 所以，B正确. 对于C，因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 而，所以，C错误. 对于D，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 而，所以，D正确. 10. 已知函数，其中．则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 若的图象关于点中心对称，则或 C. 若将的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则 D. 若在区间上单调递增，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用周期定义计算即可判断选项A；利用正弦函数的对称性计算即可判断选项B；求出平移后函数表达式后，利用偶函数性质计算即可判断选项C；结合正弦型函数单调性与的取值范围，即可判断选项D. 【详解】由，所以函数的最小正周期为，选项A正确； 因为的图象关于点中心对称，则，所以，即，又， 所以当时，，选项B错误； 将的图象向左平移个单位可得，其图象关于轴对称，则，， 所以，，又，则当时，，选项C正确； 由，则，因为在区间上单调递增，所以，则， 又，所以，选项D正确. 11. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ） A. B. C. 的取值范围是 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将分别用表示，结合数量积的运算律计算判断A、B；以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算计算判断C、D. 【详解】在边长为3的正中，，为的中点，则， 对于A，由，得， 则，A正确； 对于B，， 则 ，B正确； 对于C，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，显然点在以为圆心，为半径的下半圆上， 设， 则， ， 由，得，则， 故，C正确； 对于D，由， 得， 即， 因此，则， 而，则当时，取得最大值，D错误. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象关于直线对称，则______________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数定义域确定对称轴得出，再由轴对称的关系式化简确定得解. 【详解】由知，即， 所以函数的定义域为 由函数的图象关于直线对称， 所以，且恒成立， 即， 所以，整理得， 所以，故 故答案为：3 13. 已知函数，若在区间上恰有两个零点，，则_________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据辅助角公式对原函数进行化简，求出函数对称轴，根据函数零点和方程根的关系，判断函数两个零点的位置关系，根据对称轴列出方程，再进行换元，利用诱导公式求出结果. 【详解】由题意可得， 的零点，即方程的根，即， 可知函数周期为，对称轴为，解得， 所以在上有一条对称轴， 则方程在区间上的两个零点，满足， 所以，得， 因为，所以. 14. 中，，，点在线段上，若为的平分线，则与内切圆半径分别为、，则的取值范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线性质可得，，进而利用面积法可得，利用余弦定理可得，进而构造函数，求导，利用导数确定单调性求解. 【详解】设 ，．由角平分线定理，，故 ，． 又． ， 故， 由于，则由余弦定理可得， 即 ． 又 中 （三角形不等式），故 ， 记 ，其中 ． 令 ，求导得 故在 上单调递增． 当 时，； 当 时，． 故 ． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，且. （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） 由，可得，化简得， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，定义法证明数列为等差数列，根据数列首项和公差，写出通项公式，进而求出数列的通项公式； （2）写出数列的通项公式，根据分组求和法，求出数列的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得， 则， 根据分组求和可得. 16. 已知函数， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交于，求的长. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式、辅助角公式将化简为正弦型函数，再结合三角函数性质求解周期和单调递增区间； （2）先由求出角，再利用三角形面积的拆分关系建立方程求解的长度. 【小问1详解】 函数， 最小正周期， 由 ，解得 ， 即的单调递增区间为. 【小问2详解】 由得，即， 因为为的内角，故，则，因此， 解得， 因为是的角平分线，所以， 由面积关系，则有 ， 得 ，解得. 17. 已知函数（其中a为参数）． （1）求函数的单调区间； （2）若对，恒成立，求实数a的取值集合： （3）证明：（其中，为自然对数的底数） 【答案】（1）时，在上递增，无减区间，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2） （3） 证明：由（2）知： 令，则，即，即， 所以， 由（2）知： 令，则，即， 即，所以， 综上可知：. 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对分类求得函数的单调区间； （2）对任意，都有，转化为，分类求出，通过构造函数求解不等式即可得实数的取值范围； （3）借助于（2）中的函数，，分别取和，代入即可通过变形证明. 【小问1详解】 ，， 当时，，在单调递增， 当时，令，得， 时，，单调递减， 时，单调递增； 综上：时，在上递增，无减区间， 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 由题意得， 当时，在单调递增，又，故当时，，故不符合题意， 当时，在单调递减，在单调递增， 故， 对，恒成立，则需满足， 记，则， 当时，，当时，， 故在上递减，在上递增， 所以的解只有， 实数的取值集合为 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，含参数分类讨论的思想，考查了恒成立问题，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，利用已有函数的单调性证明函数不等式. 18. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，. （1）求边的长度； （2）求的面积； （3）点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据和正弦定理可得，由余弦定理可得，进而，即可求解； （2）设，根据平面向量的线性运算可得，则结合数量积的运算律和定义可得，由得，化简得，利用同角三角函数关系和三角形面积公式计算即可求解； （3）设，，、.由向量的线性运算可得.结合得，解得，，利用三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 由题意得：， 在中，由正弦定理，得， 在中，由余弦定理，所以， 得，又∵，∴. 【小问2详解】 设，∵AD为边上的中线，∴， 则， ， ，① 整理得，即， 得或， 由①，得，∴，∴， ∴，∴. 【小问3详解】 由（2）知，， D为BC的中点，则， 设，，、. 所以，得， 又E、G、F三点共线，所以，即. 由，得， 又，所以， 化简得，解得，， ∴，， ∴. 19. 已知定义在上的函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设为函数的图象上不同于原点的三个不同的点，其中． ①证明：； ②定义两点间的距离如下：， 证明：． 【答案】（1） （2）①令， 则， 令， 则， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 则，又，所以在区间恒成立， 所以在区间上单调递增，又，则，即. ②当时，，当且仅当时取等号， 所以， 要证，即证明， 也即证明， 令，易知， 则， 令，则， 易知当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 又当时，，所以，则， 所以在区间上单调递增， 又，则， 即，命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线的斜率，再由直线的点斜式，即可求解； （2）①构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得在上的单调性，即可求解；②根据条件，转化成证明，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得在上的单调性，即可求解. 【小问1详解】 因为，则， 又，所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $