第4章一次函数【素养培优卷-单元卷3】2026～2027学年北师大版数学八年级上册

第4章一次函数【素养培优卷-单元卷3】2026~2027学年北师大版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．关于 的一次函数 的图象经过第一、二、三象限，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 且 【答案】 C 【解析】 图象过一、二、三象限，则 且 ； ； ，当 时 ，满足 ； 所以 ，选 C． 【解题提示】含绝对值的一次项系数：先由象限确定 、 符号，再解含绝对值的不等式（注意 的正负对 的影响）． 2．直线 与直线 的交点为 ，则点 到 轴的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B 【解析】 联立 ，，； ，所以 ； 点 到 轴的距离为 ，选 B． 【解题提示】求两直线交点：联立解方程组；点到 轴距离 = 纵坐标绝对值，到 轴距离 = 横坐标绝对值． 3．甲、乙两车同时从 地出发，沿同一路线前往 地，它们离 地的距离 （千米）与时间 （小时）的关系如图所示．下列结论正确的是（　　） A．甲车的速度为 80 千米/时 B．乙车比甲车早 1 小时到达 地 C．出发 3 小时后，甲车在乙车前面 D．甲车全程的平均速度比乙车大 【答案】 B 【解析】 由图象：甲车 4 小时行驶 240 千米，速度 千米/时，A 错； 乙车 3 小时行驶 240 千米到达 地，甲车 4 小时到达，乙车比甲车早 1 小时，B 正确； 出发 3 小时后，乙车已到达 地（），甲车 ，乙车在前面，C 错； 甲车平均速度 60，乙车 80，甲车比乙车小，D 错； 选 B． 【解题提示】s-t 图象：斜率=速度，水平=停止；同一时刻比较两车位置看图象上下关系． 4．若直线 与直线 关于 轴对称，则 的值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】 B 【解析】 关于 轴对称： 变 ， 不变； 关于 轴对称的直线为 ，即 ； 所以 ，，，选 B． 【解题提示】关于 轴对称：，即解析式整体变号；关于 轴对称：． 5．已知一次函数 ，当 时，对应的函数值范围为 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】 A 【解析】 分两种情况： ①若 ， 随 增大而增大： 时 ， 时 ； ，，解得 ，，； ②若 ， 随 增大而减小： 时 ， 时 ； ，，解得 ，，； 两种情况 均为 ，选 A． 【解题提示】已知自变量和函数值的范围求解析式：分 （增）和 （减）两种情况，端点交叉配对，列方程组求解． 6．直线 与 轴、 轴分别交于 、，点 在 轴上，若 的面积为 3，则点 的坐标为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】 C 【解析】 令 ：，；令 ：，； 设 ， 以 为底，高为 ； ； ， 或 ； 所以 或 ，选 C． 【解题提示】坐标系中三角形面积：选取坐标轴上的边为底，高为对顶点到该轴的距离；注意点 可能在 的左侧或右侧，绝对值方程产生两解． 7．某游泳馆收费标准如下：游泳不超过 1 小时收费 20 元；超过 1 小时的部分每小时收费 15 元（不足 1 小时按 1 小时计）．设游泳时间为 小时（），收费为 元，则 与 的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 时，前 1 小时收费 20 元； 超过部分 小时，收费 元； ，选 A． 【解题提示】分段函数化简要展开合并：；注意自变量范围 ． 8．对于一次函数 （），下列说法正确的是（　　） A．图象一定经过第一象限 B．图象一定经过第二象限 C．图象一定经过第三象限 D．图象一定经过第四象限 【答案】 D 【解析】 ，当 时 ，图象恒过定点 ； ①当 时：，图象过一、三、四象限； ②当 时：，图象过一、二、四象限； 两种情况都经过第一、四象限； 选项中一定经过的是第四象限，选 D． 【解题提示】含参直线恒过定点：提取参数，令参数系数为 0 求定点；再分 、 讨论经过的象限，找公共象限． 9．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 从点 A 出发，沿 匀速运动，设点 P 运动的路程为 ， 的面积为 ，则 与 之间的函数图象大致是（　　） A．先增后平再减 B．先增后减再平 C．先平后增再减 D．先减后平再增 【答案】 A 【解析】 在 上（）： 的底 ，高 ，， 随 增大而增大； 在 上（）： 的底 ，高 （ 到 距离不变），， 不变； 在 上（）： 的底 ，高 ，， 随 增大而减小； 所以图象先增、后平、再减，选 A． 【解题提示】动点面积问题：分三段讨论（点在不同边上），每段写出面积与路程的关系式，判断增减性，对应图象形状． 10．直线 经过点 ，且与直线 平行，若点 在该直线上，且 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 与 平行，所以 ； 过 ：，； 直线为 ； ， 随 增大而减小； 时，； 时，； 所以 ，选 D． 【解题提示】先求解析式，再根据增减性和自变量范围求函数值范围；注意 时， 最大对应 最小． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．一次函数 的图象与 轴交于正半轴，且 随 的增大而减小，则 的取值范围是 ______． 【答案】 【解析】 随 增大而减小：一次项系数 ，解得 ； 与 轴交于正半轴：常数项 ，解得 ； 取交集：（同时满足 ）． 【解题提示】含参一次函数：①增减性看一次项系数符号；②与 轴交点看常数项符号；两个条件取交集． 12．若直线 与直线 的交点在 轴上，则 ______． 【答案】 【解析】 交点在 轴上，令 ： 对于 ，，，交点为 ； 代入 ：，，． 【解题提示】交点在 轴上→纵坐标为 0；先由一条直线求交点横坐标，再代入另一条直线求参数． 13．某公司组织员工旅游，甲旅行社收费标准为：每人 300 元，超过 20 人时，超过部分每人 8 折；乙旅行社收费标准为：每人 280 元，无优惠．设参加旅游的人数为 人（），甲旅行社的费用 与 的函数关系式为 ______． 【答案】 【解析】 前 20 人费用： 元； 超过部分 人，每人 元； ． 【解题提示】分段优惠问题：先算基础段费用，再算优惠段费用，合并化简；注意 8 折即原价的 0.8 倍． 14．无论 取何值（），直线 恒过定点的坐标为 ______． 【答案】 【解析】 将解析式变形：； 当 即 时，无论 取何值，； 所以直线恒过定点 ． 【解题提示】含参直线恒过定点：提取参数，令参数的系数为 0，求出的 即为定点坐标． 15．对于任意实数 ，点 一定在直线 上，则直线 的解析式为 ______． 【答案】 【解析】 设 ，则 ； ； 所以直线 的解析式为 ． 【解题提示】求动点所在直线：用 表示参数，代入 的表达式，消去参数得到 与 的关系式． 16．某工厂生产 A、B 两种产品，每生产 1 件 A 产品需 2 小时，利润 2 万元；每生产 1 件 B 产品需 3 小时，利润 4 万元．若每天生产时间不超过 12 小时，设生产 A 产品 件、B 产品 件，且 、 均为非负整数，则每天的最大利润为 ______ 万元． 【答案】 16 【解析】 约束条件：，，， 为整数； 利润 ； 列举可行解： 时 ，； 时 ，，； 时 ，，； 时 ，，； 时 ，； 最大利润为 16 万元（，）． 【解题提示】线性规划初步：列出约束条件和目标函数，列举整数可行解，计算利润取最大值；注意 、 必须为非负整数． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）已知一次函数 的图象经过点 和 ． (1) 求该一次函数的解析式； (2) 若点 在该直线上，且 的面积为 2，求点 的坐标． 【答案】 (1) ；(2) 或 【解析】 (1) 把 、 代入 ； ，，；； (2) 设 ，，； ； 令 ，； ，； ，； 所以 或 ． 【解题提示】一次函数与面积：①待定系数法求解析式；②设点坐标，用含 的式子表示高，列绝对值方程求解（注意两解）． 18．（6 分）某市出租车计费标准如下：起步价 10 元（起步里程 3 千米及以内），超过 3 千米的部分每千米收费 2 元． (1) 写出乘车费用 （元）与行驶里程 （千米，）之间的函数关系式； (2) 若某次乘车费用为 22 元，求行驶的里程． 【答案】 (1) ；(2) 9 千米 【解析】 (1) 超过 3 千米的里程为 千米，费用为 元； ； (2) 令 ：，，； 行驶里程为 9 千米． 【解题提示】分段计费：①基础段+超出段；②代入费用反求里程时注意自变量范围． 19．（6 分）已知直线 经过 、 两点． (1) 求直线 的解析式； (2) 在直线 上是否存在点 ，使 的面积为 6？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 (1) ；(2) 存在， 或 【解析】 (1) 把 、 代入 ； ，，；； (2) 设 ，； ； ，； ，； ，； 所以存在， 或 ． 【解题提示】存在性问题：先假设存在，设点坐标，根据面积列方程，有解则存在，写出坐标；无解则不存在． 20．（8 分）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 A、B 两点，点 C 在 轴上，且 ． (1) 求 、 两点的坐标； (2) 求点 的坐标； (3) 求直线 的解析式． 【答案】 (1) ，；(2) ；(3) 【解析】 (1) 令 ：，，； 令 ：，； (2) ； 设 ，； ：，，； 与 不重合，所以 ，； (3) 设直线 解析式为 ，过 、； ，，； ． 【解题提示】一次函数与几何综合：①求交点坐标；②用距离公式列方程求点；③待定系数法求新直线解析式；注意 的两解中排除与 重合的． 21．（8 分）某水果店计划购进苹果和梨共 100 千克，苹果进价每千克 6 元，售价每千克 10 元；梨进价每千克 4 元，售价每千克 7 元． (1) 设购进苹果 千克，求总利润 （元）与 之间的函数关系式； (2) 若购进苹果的重量不少于梨的重量，且购进苹果的重量不超过 70 千克，求 的取值范围； (3) 在 (2) 的条件下，求最大利润及相应的进货方案． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 最大利润 370 元，苹果 70 千克、梨 30 千克 【解析】 (1) 苹果每千克利润 元，梨每千克利润 元； ； (2) 苹果不少于梨：，； 又 ，所以 ； (3) ， 随 增大而增大； 当 时，（元）； 此时苹果 70 千克，梨 30 千克． 【解题提示】一次函数最值应用题：①列利润关系式；②由条件列不等式组求范围；③根据 的符号在端点处取最值． 22．（8 分）已知直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ， 与 交于点 ． (1) 求点 、、 的坐标； (2) 求 的面积． 【答案】 (1) ，，；(2) 3 【解析】 (1) 令 ：，，； 令 ：，，； 联立 ，，，，； (2) ， 到 轴距离 ； ． 【解题提示】两直线与坐标轴围成三角形：①分别求与 轴交点得底边长；②求两直线交点得高（纵坐标绝对值）；③算面积． 23．（8 分）如图，直线 与 轴交于 A，与 轴交于 B，点 P 在线段 AB 上（不与 A、B 重合），过 P 作 轴于 C， 轴于 D． (1) 设点 的横坐标为 ，求四边形 的周长 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围； (2) 当四边形 为正方形时，求点 的坐标． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 (1) ，，； 四边形 是矩形，周长 ； 的取值范围：（ 在线段 上不与端点重合）； (2) 正方形需 ，即 ，，； ． 【解题提示】动点与矩形周长：①用参数 表示点坐标和边长；②矩形周长 长+宽；③正方形需长=宽，列方程求解；本题周长恒为 8，与 无关（因长+宽恒为 4）． 24．（10 分）某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为 6000 元，并且多买都有一定优惠． 甲商场：第一台按原价收费，其余每台优惠 25%； 乙商场：每台优惠 20%． (1) 设购买 台电脑，分别写出到甲、乙两商场购买所需费用 、（元）与 之间的函数关系式； (2) 什么情况下到甲商场购买更优惠？ (3) 如果学校计划购买 6 台电脑，选择哪家商场更省钱？ 【答案】 (1) ，；(2) 购买超过 5 台时；(3) 选甲商场 【解析】 (1) 甲商场：第一台 6000 元，其余 台每台 元； ； 乙商场：每台 元； ； (2) 甲更优惠：； ，，； 所以购买超过 5 台时，到甲商场更优惠； (3) 时，（元）； （元）； ，选甲商场更省钱． 【解题提示】方案选择：①分别列式（注意甲商场第一台不优惠）；②比较大小列不等式；③代入具体数量比较． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章一次函数【素养培优卷-单元卷3】2026~2027学年北师大版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．关于 的一次函数 的图象经过第一、二、三象限，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 且 2．直线 与直线 的交点为 ，则点 到 轴的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．甲、乙两车同时从 地出发，沿同一路线前往 地，它们离 地的距离 （千米）与时间 （小时）的关系如图所示．下列结论正确的是（　　） A．甲车的速度为 80 千米/时 B．乙车比甲车早 1 小时到达 地 C．出发 3 小时后，甲车在乙车前面 D．甲车全程的平均速度比乙车大 4．若直线 与直线 关于 轴对称，则 的值为（　　） A． B．2 C． D．4 5．已知一次函数 ，当 时，对应的函数值范围为 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 6．直线 与 轴、 轴分别交于 、，点 在 轴上，若 的面积为 3，则点 的坐标为（　　） A． B． C． 或 D． 或 7．某游泳馆收费标准如下：游泳不超过 1 小时收费 20 元；超过 1 小时的部分每小时收费 15 元（不足 1 小时按 1 小时计）．设游泳时间为 小时（），收费为 元，则 与 的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 8．对于一次函数 （），下列说法正确的是（　　） A．图象一定经过第一象限 B．图象一定经过第二象限 C．图象一定经过第三象限 D．图象一定经过第四象限 9．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 从点 A 出发，沿 匀速运动，设点 P 运动的路程为 ， 的面积为 ，则 与 之间的函数图象大致是（　　） A．先增后平再减 B．先增后减再平 C．先平后增再减 D．先减后平再增 10．直线 经过点 ，且与直线 平行，若点 在该直线上，且 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．一次函数 的图象与 轴交于正半轴，且 随 的增大而减小，则 的取值范围是 ______． 12．若直线 与直线 的交点在 轴上，则 ______． 13．某公司组织员工旅游，甲旅行社收费标准为：每人 300 元，超过 20 人时，超过部分每人 8 折；乙旅行社收费标准为：每人 280 元，无优惠．设参加旅游的人数为 人（），甲旅行社的费用 与 的函数关系式为 ______． 14．无论 取何值（），直线 恒过定点的坐标为 ______． 15．对于任意实数 ，点 一定在直线 上，则直线 的解析式为 ______． 16．某工厂生产 A、B 两种产品，每生产 1 件 A 产品需 2 小时，利润 2 万元；每生产 1 件 B 产品需 3 小时，利润 4 万元．若每天生产时间不超过 12 小时，设生产 A 产品 件、B 产品 件，且 、 均为非负整数，则每天的最大利润为 ______ 万元． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）已知一次函数 的图象经过点 和 ． (1) 求该一次函数的解析式； (2) 若点 在该直线上，且 的面积为 2，求点 的坐标． 18．（6 分）某市出租车计费标准如下：起步价 10 元（起步里程 3 千米及以内），超过 3 千米的部分每千米收费 2 元． (1) 写出乘车费用 （元）与行驶里程 （千米，）之间的函数关系式； (2) 若某次乘车费用为 22 元，求行驶的里程． 19．（6 分）已知直线 经过 、 两点． (1) 求直线 的解析式； (2) 在直线 上是否存在点 ，使 的面积为 6？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由． 20．（8 分）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 A、B 两点，点 C 在 轴上，且 ． (1) 求 、 两点的坐标； (2) 求点 的坐标； (3) 求直线 的解析式． 21．（8 分）某水果店计划购进苹果和梨共 100 千克，苹果进价每千克 6 元，售价每千克 10 元；梨进价每千克 4 元，售价每千克 7 元． (1) 设购进苹果 千克，求总利润 （元）与 之间的函数关系式； (2) 若购进苹果的重量不少于梨的重量，且购进苹果的重量不超过 70 千克，求 的取值范围； (3) 在 (2) 的条件下，求最大利润及相应的进货方案． 22．（8 分）已知直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ， 与 交于点 ． (1) 求点 、、 的坐标； (2) 求 的面积． 23．（8 分）如图，直线 与 轴交于 A，与 轴交于 B，点 P 在线段 AB 上（不与 A、B 重合），过 P 作 轴于 C， 轴于 D． (1) 设点 的横坐标为 ，求四边形 的周长 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围； (2) 当四边形 为正方形时，求点 的坐标． 24．（10 分）某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为 6000 元，并且多买都有一定优惠． 甲商场：第一台按原价收费，其余每台优惠 25%； 乙商场：每台优惠 20%． (1) 设购买 台电脑，分别写出到甲、乙两商场购买所需费用 、（元）与 之间的函数关系式； (2) 什么情况下到甲商场购买更优惠？ (3) 如果学校计划购买 6 台电脑，选择哪家商场更省钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $