28.2.2 中心对称图形 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

28.2.2 中心对称图形　知识清单 人教版（2024）　九年级上册　第二十八章《旋转》 教材 P102—P103　28.2 中心对称（第 2 课时） 知识地图：从「两个图形」到「一个图形」 上一课时我们研究的是两个图形之间的中心对称：把一个图形绕某点旋转 ，它与另一个图形完全重合。这一课时把镜头收回来，只看一个图形本身——什么样的图形，绕某点旋转 后能与它自己重合？ 这样的图形叫作中心对称图形。本节先认识它（图 2），再列举常见的中心对称图形（图 3），然后研究它的性质（图 4），最后学会找它的对称中心（图 7），并把它与轴对称图形（图 5）、中心对称（图 6）作对比（图 1）。 图 1　本节知识地图：中心对称图形的概念 → 常见的中心对称图形 → 中心对称图形的性质 → 与中心对称的区别 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习目标 ① 认识中心对称图形，知道它是「一个图形绕着某一点旋转 180° 后与自身重合」，能指出它的对称中心； ② 会判断一个图形是不是中心对称图形，能举出常见的中心对称图形； ③ 掌握中心对称图形的两条性质——对称点的连线经过对称中心且被平分、过对称中心的直线把图形分成全等的两部分，会用它们求面积和线段长； ④ 能说清中心对称图形与中心对称、与轴对称图形的区别与联系。 学习重点 中心对称图形的概念与判断；中心对称图形的两条性质。 学习难点 ① 分清「中心对称图形」说的是一个图形自身，而「中心对称」说的是两个图形之间的位置关系； ② 理解「过对称中心的任意一条直线都把图形分成全等的两部分」。 前后联系 本课时把上一课时的「两个图形」收回到「一个图形」上：中心对称图形可以看成「它自己与自己成中心对称」。它又是后面研究平行四边形、圆等图形对称性的基础。 二、中心对称图形的概念 1. 教材 P102 的两个探究 教材 P102 先让我们做两个「转半圈」的实验（图 2）： · 把线段 绕它的中点 旋转 ，旋转后的线段与原来的线段完全重合； · 把平行四边形 ABCD 绕它两条对角线的公共点 旋转 ，旋转后的图形与原来的图形也完全重合。 图 2　两个「转半圈」的实验：线段绕它的中点旋转 180° 与自身重合；平行四边形绕两条对角线的公共点旋转 180° 也与自身重合 2. 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 定义里要盯住两处：一是「一个图形」，二是「旋转后的图形能够与原来的图形重合」——也就是与自身重合。 3. 两点提醒 · 判定只有一个依据：能不能找到一个点，使整个图形绕它旋转 后与自身重合。能找到，就是中心对称图形；找不到，就不是。 · 对称中心在哪里：一个中心对称图形的对称中心只有一个，它在图形上或在图形的内部。线段的对称中心是它的中点，平行四边形的对称中心是两条对角线的公共点 。 三、常见的中心对称图形 除了线段和平行四边形，还有一批常见的中心对称图形，它们的对称中心见图 3。 图 3　常见的中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正六边形；红色小圆点标出各自的对称中心 图形 对称中心 说明 线段 它的中点 绕中点旋转 180° 后，两个端点互换位置 平行四边形 两条对角线的公共点 绕这个点旋转 180° 后，各顶点与对顶点互换 矩形、菱形、正方形 两条对角线的公共点 它们既是中心对称图形，又是轴对称图形 圆 圆心 绕圆心旋转 180°，圆与自身重合 正六边形 它的中心 正偶数边形都是中心对称图形 ★ 规律：偶数条边的正多边形（正六边形、正八边形……）都是中心对称图形，对称中心是它的中心；奇数条边的正多边形（正三角形、正五边形……）都不是中心对称图形。 四、中心对称图形的性质 中心对称图形可以看成「它自己与它自己成中心对称」：把图形绕对称中心转 ，它正好落回原来的位置。既然这样，上一课时关于中心对称的两条性质，在这里同样成立，而且还能再多得一条。 1. 性质 1：对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分 中心对称图形上任意一对对称点所连的线段，都经过它的对称中心，并且被对称中心平分。 如图 4 左，平行四边形 ABCD 的对称中心是点 ， 与 、 与 各是一对对称点，所以 ，，即点 是线段 和 的公共中点。 2. 性质 2：过对称中心的直线把图形分成全等的两部分 过对称中心 任意画一条直线，这条直线把图形分成两部分，两部分完全重合——它们的周长相等，面积也相等。 如图 4 右，过点 的直线 把平行四边形分成①、②两块，这两块完全重合。 图 4　中心对称图形的两条性质：左图 A、O、C 共线且 OA = OC；右图过对称中心 O 的直线把图形分成完全重合的两块 ★ 用法：要把一个中心对称图形分成面积相等的两部分，只要画一条过对称中心的直线就行。但要记住：必须是过对称中心的直线，随便画一条是不行的。 五、中心对称图形与轴对称图形 一个图形沿某条直线翻折后，直线两旁的部分互相重合，它是轴对称图形；绕某一点旋转 后与自身重合，它是中心对称图形。这两种「对称」经常被混在一起，用图 5 的表格对一对。 图 5　轴对称图形与中心对称图形的对比表：等边三角形、正五边形只轴对称；平行四边形只中心对称；矩形、菱形、正方形和圆两者都是 从表里可以看出：等边三角形、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，但它不是轴对称图形；矩形、菱形、正方形和圆则是两者都是。 ★ 一个有用的结论：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它也是中心对称图形，对称中心就是这两条对称轴相交的点。圆、正方形、矩形、菱形都满足这一点；而等边三角形、正五边形的对称轴不满足「有两条互相垂直」，所以它们不是中心对称图形。 六、中心对称图形与中心对称的区别与联系 这是本课时最容易混的一组概念，用图 6 分清。 图 6　中心对称与中心对称图形的区别与联系：一个讲「两个图形」的位置关系，一个讲「一个图形」自身的特征 一句话记：中心对称说的是两个图形之间的位置关系，中心对称图形说的是一个图形自身的特征。 回答问题时的说法要分清：问「这两个图形有什么关系」，答「它们关于点 O 中心对称」；问「这个图形有什么特征」，答「它是中心对称图形，对称中心是点 」。 七、找对称中心的两种方法 已知一个中心对称图形，怎样把它的对称中心找出来？（图 7） 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点 连接任意一对对称点，这条线段的中点就是对称中心（图 7 左）。如图 7 左，连接 与 ，取 的中点，就得到对称中心 。 方法二：连接任意两对对称点，取两条线段的公共点 如图 7 右，连接 与 、 与 ，这两条线段的公共点 就是对称中心。方法二还可以用来检验方法一的结果。 图 7　找对称中心的两种方法：连一对对称点取中点，或连两对对称点取两条线段的公共点 ★ 教材 P102 练习 1：圆是中心对称图形吗？为什么？ 　答：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。把圆绕圆心旋转 180°，圆上的每一个点都落到圆上与它相对的位置，整个圆与原来的圆完全重合。 ★ 教材 P102 练习 2：在交通标志图案中，哪些是中心对称图形？再举出几个自然界以及生活、生产中的中心对称图形实例。 　答：例如「禁止停车」标志是中心对称图形，「向右分叉」标志不是。生活中的实例有风车的部分图案、水泵的叶轮、某些地砖与窗花图案等。 八、易错清单 判断时只凭「像不像」，最容易出错。图 8 用两个图形作对照，下表列出六个最常见的错误。 图 8　旋转 180° 的两种结果：平行四边形绕中心 O 旋转后与自身重合（左）；等腰三角形绕点 O 旋转后（虚线）与原三角形不重合（右） 易错点 错在哪里 正确做法 ① 把「中心对称」和「中心对称图形」当成一回事 说「中心对称就是一个图形绕某点旋转 180° 与自身重合」 中心对称讲的是两个图形之间的位置关系；中心对称图形讲的是一个图形自身的特征，两者研究对象不同 ② 以为轴对称图形一定是中心对称图形 把等边三角形、正五边形也算作中心对称图形 等边三角形、正五边形是轴对称图形，但它们绕中心旋转 180° 后不能与自身重合，不是中心对称图形 ③ 以为中心对称图形一定有多条对称轴 认为只要是中心对称图形，就一定是轴对称图形 平行四边形是中心对称图形，但它不是轴对称图形，没有对称轴 ④ 以为「正多边形都是中心对称图形」 把正三角形、正五边形也划进来 只有偶数条边的正多边形才是中心对称图形，奇数条边的不是 ⑤ 以为任意一条直线都能平分图形 随手画一条直线，就说「把面积平分了」 必须是过对称中心的直线，才能把图形分成全等的两部分 ⑥ 判断时只看「像不像」，不看定义 凭感觉说某个图案是中心对称图形 唯一依据是定义：能否找到一点，使图形绕它旋转 180° 后与自身重合 九、方法总结 判断一个图形是不是中心对称图形、以及运用它的性质，可以按下面四步走（图 9）。 图 9　中心对称图形四步法：看对象 → 辨重合 → 用性质 → 记结论 ★ 记忆要点 ① 先分清对象：中心对称图形是「一个图形」的性质，中心对称是「两个图形」的位置关系； ② 判定只有一个依据：绕某一点旋转 后能否与自身重合； ③ 两条性质：对称点的连线经过对称中心且被平分；过对称中心的直线把图形分成全等的两部分； ④ 找对称中心：连接一对对称点取中点，或连接两对对称点取两条线段的公共点。 常见题型 入手点 用到的结论 判断一个图形是不是中心对称图形 按定义去试：能不能找到一点，使图形绕它旋转 180° 后与自身重合 中心对称图形的定义 在常见图形中挑出中心对称图形 记住「线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正六边形」这一串，再逐个对照 常见图形的对称性 说明「既是轴对称图形又是中心对称图形」 看这个轴对称图形有没有两条互相垂直的对称轴 轴对称图形与中心对称图形的关系 求面积或线段长 用「过对称中心的直线平分面积」把面积拆开；用「对称点到对称中心的距离相等」把线段挂钩 性质 1、性质 2 十、课后巩固 1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形　　B．平行四边形 C．正五边形　　　D．等腰三角形 2．线段是中心对称图形，它的对称中心是　　　　　；平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是　　　　　。 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形　　B．平行四边形 C．正方形　　　　D．正五边形 4．在平行四边形 ABCD 中，两条对角线 AC、BD 相交于点 。 (1) 若 ，则 = 　　cm； (2) 若平行四边形 ABCD 的面积是 24 平方厘米，则过点 的任意一条直线把平行四边形分成两部分，每一部分的面积都是　　　　　。 5．在平行四边形 ABCD 中，过两条对角线的公共点 作一条直线 EF，分别交 AB、CD 于点 、（自己画出示意图）。说明 。 6．正方形 ABCD 的两条对角线相交于点 （自己画出示意图）。 (1) 正方形 ABCD 是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？ (2) 若正方形 ABCD 的面积是 36 平方厘米，求 的面积。 参考答案与解析 1．B。三角形绕中心旋转 后顶点朝反方向，不能与自身重合，所以等边三角形和等腰三角形都不是中心对称图形；正五边形是奇数条边的正多边形，也不是；只有平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的公共点。 2．线段的中点；两条对角线的公共点。线段 绕它的中点 旋转 后与自身重合，所以中点 是它的对称中心；平行四边形绕两条对角线的公共点旋转 后与自身重合，所以那个公共点是它的对称中心。 3．C。等边三角形、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；正方形有 4 条对称轴，其中有两条互相垂直，所以它既是轴对称图形，又是中心对称图形。 4．(1) 3。因为平行四边形 ABCD 是中心对称图形，对称中心是点 ，而 与 是一对对称点，由性质 1 得 ，所以 ；(2) 12 平方厘米。过对称中心 的直线把图形分成面积相等的两部分，所以每一部分的面积都是 （平方厘米）。 5．因为平行四边形 ABCD 是中心对称图形，对称中心是两条对角线的公共点 ，而直线 过点 ，所以点 与点 是对称点，点 是线段 的中点，因此 。 6．(1) 是。正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线 AC、BD 的公共点 ，即点 是正方形的对称中心；(2) 平方厘米。正方形的两条对角线把它分成四个全等的三角形 、、、，所以 的面积 = （平方厘米）。 十一、技能自查 序号 自查内容 能否做到 1 能说出中心对称图形的定义，能指出它的对称中心 □ 能　□ 还需复习 2 能判断一个图形是不是中心对称图形，能举出常见的中心对称图形 □ 能　□ 还需复习 3 能说出中心对称图形的两条性质，并能用符号表示出来 □ 能　□ 还需复习 4 会用「过对称中心的直线平分图形」求面积、求线段长 □ 能　□ 还需复习 5 会找一个中心对称图形的对称中心（连一对取中点、连两对取公共点） □ 能　□ 还需复习 6 能说清中心对称图形与中心对称、与轴对称图形的区别与联系 □ 能　□ 还需复习 十二、知识追问 追问 1　中心对称图形与中心对称是一回事吗？ 不是。中心对称说的是两个图形之间的位置关系——把一个图形绕点 旋转 ，它与另一个图形重合；中心对称图形说的是一个图形自身的特征——把它绕点 旋转 ，它与自身重合。 追问 2　一个中心对称图形有几个对称中心？ 只有一个。对称中心一定在图形上或在图形的内部。例如线段的对称中心是它的中点（在图形上），平行四边形的对称中心是两条对角线的公共点（在图形内部）。 追问 3　轴对称图形一定是中心对称图形吗？ 不一定。等边三角形、正五边形都是轴对称图形，但它们绕中心旋转 后不能与自身重合，所以不是中心对称图形。反过来，中心对称图形也不一定是轴对称图形，比如平行四边形。当一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴时，它才一定是中心对称图形，如圆、正方形、矩形、菱形。 十三、章内位置与中考对接 28.2.2 是第二十八章《旋转》中 28.2 的第 2 课时。上一课时研究两个图形之间的中心对称，本课时把对象收回到一个图形自身，研究它的对称性。 这样处理的好处是：上一课时的两条性质，在这里变成了判断图形对称性的「工具」——只要找到一个点，使图形绕它旋转 后与自身重合，它就是中心对称图形；而这个点，又是「平分面积」这条性质的钥匙。 教材位置 内容 P102 中心对称图形的概念（线段、平行四边形的探究）；性质（对称点连线过对称中心且被平分；过对称中心的直线平分图形）；找对称中心的两种方法；练习（圆、交通标志） P103 归纳常见的中心对称图形并运用其性质解决问题 中考怎么考 ① 选择、填空题：判断一个图形是不是中心对称图形；在常见图形中挑出中心对称图形；指出既是轴对称图形又是中心对称图形的图形。 ② 说理题：用「对称点到对称中心的距离相等」说明两条线段相等；用「过对称中心的直线平分图形」说明某条直线分出的两部分面积相等。 ③ 综合应用：把中心对称图形与平行四边形、正方形、圆等结合起来，求面积、求线段长或判断图形形状。 ★ 本节边界：本清单只研究「一个图形自身绕某点旋转 180° 后与自身重合」——它的概念、常见图形、两条性质以及怎样找对称中心。至于「两个图形之间的中心对称」（上一课时已学），以及后面要学的其它图形变换内容，本清单都不展开。 学科网（北京）股份有限公司 $