13.3.1三角形的内角（第1课时) 教学设计2026-202学年人教版八年级数学上册

13.3.1　三角形的内角（第1课时）教学设计 人教版数学八年级上册　第十三章　三角形 年级 八年级 学科 数学 课时数 1课时 授课教师 　　　　 课题 13.3.1　三角形的内角（第1课时）——三角形的内角和 教材分析 前面几节课一直在给三角形“搭架子”——边、线段、角，一样一样立起来。这节课要交付一条压在整章底下的定理：三角形三个内角的和等于180°。 这条结论学生其实早就“听过”。小学拿三角尺量过，也拿纸片拼过，心里有一个“差不多是180°”的印象。但这节课的分量不在重复这个印象，而在于第一次把这个印象变成一句经得起追问的话：凭什么说“任意”一个三角形都成立？ 要回答这一句，就得用到平行线的性质，还得往图上添一条辅助线。这是学生第一次正式接触“辅助线”——自己动手在原图上加一条线，把原本分散的三个角搬到一块儿去。这个动作是本册几何教学的一个转折点，从“看得见的几何”走向“说得清的几何”。 教材安排的测量、折叠、剪拼三种动手办法，不是为了好玩，是为了让“三个角能拼成一个平角”这件事情先变成手上的感觉。有了这个感觉，再讲怎么用平行线把它“翻译”成证明，学生才不觉得那条辅助线是天外飞来的。 学情分析 咱们班孩子对“180°”这三个字不陌生，张嘴就能说。但你要问“为什么”，十个里有八个会答“量出来的”或者“老师说的”。这说明他们脑子里装的是结论，不是理由——这正是这节课要动的地方。 动手这一块不用太担心，孩子喜欢剪剪拼拼。风险的相反面是：他们很容易把实验当成证明。三个角拼在一起正好是个平角，他们会觉得“这不就证完了吗”。我得在课上明确说清，拼图只是让人看见，并不能保证“所有”三角形都对，所以还需要一笔一笔地推。 真正的拦路虎是辅助线。为什么要在顶点那里画一条平行线？这条线跟原来的图形有什么关系？学生第一次碰上，多半是一头雾水。所以这个环节不能跳步，得先从“三个角能拼成一个平角”说起，再问“怎么用我们学过的知识达到同样的效果”，让他们自己把平行线找出来。 另外这节课的例题会用到方程，用“设一份为x”的办法处理按比例分配角度的题。设未知数这件事学生学过，但要放在几何题里用，还得带一带。 教学目标 1．能说出三角形内角和定理，会用它求三角形中未知角的度数；能处理“已知两角求第三角”“已知三个角的比或差求各角”这类问题。 2．经历测量、折叠、剪拼三次动手实验，再经历把实验“翻译”成证明的过程，初步知道辅助线的来历和用处，体会把三个角集中到一个平角里的转化思路。 3．在动手与说理交替进行的过程中，感受到“看得见”和“说得清”是两回事；愿意在结论后面追问一句“凭什么”，逐步养成讲依据的习惯。 教学重点 1．三角形内角和定理的内容与证明； 2．运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题。 教学难点 1．定理的证明思路——怎么利用平行线把三个内角集中成一个平角； 2．辅助线的引入及其作用的理解。 教学准备 教具：锐角、直角、钝角三角形纸片若干，量角器、剪刀、直尺，多媒体课件（内含测量、剪拼、折叠三个操作演示动画，以及情境短片《损坏的法器》）。 学具：每人一套三角形纸片、量角器、直尺、剪刀、铅笔，以及一张实验记录单。 教学过程 教师活动 学生活动 【情景导入】 先放一段短片《损坏的法器》。片子说的是一件法器被摔缺了一角，工匠看着剩下的两个角说，缺掉的那个角是多少度他能算出来。 片子放完，我停一下，问一句：“工匠凭什么敢说他能算？缺掉的这个角又没量过，他怎么知道是多少？” 学生猜了几句，说不出的居多。我把话头压住：“这个忙咱们等下就能帮上。要帮他，得先弄清楚一件事——一个三角形的三个角加起来，总共是多少度？” 【设计意图】用一个“缺了一个角怎么求”的实际问题开头，把内角和定理的用处摆在前面。孩子带着任务学，比单纯告诉他们“今天学内角和”有意思，后面用到定理时也更容易想起来。 看短片，弄清工匠遇到的问题。 思考并尝试回答：为什么工匠没量过缺掉的那个角，也能算出来。 带着“三个内角之和是多少”这个问题进入新课。 【新知探究（一）　三次动手实验】 先回顾两个旧知。问1：三角形按角可以分成哪几类？答：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。问2：手里的两块三角尺，三个角加起来是多少？答：30°+60°+90°=180°，45°+45°+90°=180°。 问3：“那我们能不能说，任意一个三角形的内角和都是180°？”这个问题先把“任意”两个字咬住，下面的三件事都是为它服务的。 第一件事，测量法。每人画一个任意三角形 ABC，量角器量出 ∠A、∠B、∠C，加起来填进记录单，换一个形状不一样的三角形再量一遍。填完把几个人的数据报到黑板上，看两列数字：形状差别这么大，算出来的和却都挤在180°附近。 第二件事，折叠法。把三角形的三个角依次向内折，让三个顶点重合在一点上，看折出来的样子。学生一折就发现，三个角拼起来的位置刚好成一条直线。 第三件事，剪拼法。把三个角沿着边剪下来，光剩三个角，再把它们的顶点拼到一处。课件同步播放动态演示，让看得慢的孩子跟得上。 三种办法做过之后，我带着他们比一比：测量简单、数据直观，但量具有误差，量出来往往只是接近180°，不能算作“一定等于”；剪拼看得清楚，可剪坏了就没法重来，拼的时候手一抖也会歪；折叠不破坏纸片，可以反复做，但折的时候要很准。 最后收一句：三件事都指向同一个答案——三角形的内角和就是180°，跟三角形的形状、大小都没关系。但这些都只是“看见”，要说明“所有三角形都成立”，还得有一笔一笔的推导。 【设计意图】三个实验不是走流程，而是要让孩子自己发现每种办法的“不够用”。有了这份不够用，他们才会心甘情愿地去做后面的证明。这一步不能省，也不能赶。 回忆角的分类和两块三角尺的内角和，口答答案。 在记录单上画三角形、量角度、算和，换形状再量一遍。 动手折一折、剪一剪，观察三个角拼成的图形。 比较三种办法各自方便在哪里、不靠谱在哪里。 【新知探究（二）　把实验“翻译”成证明】 承接上一环节的话头：“咱们刚才发现，三个角合起来正好是一个平角。能不能不剪不折，光靠画图和说理，达到同样的效果？” 先给一个提示性问题：“学过的知识里，哪些跟平角、跟180°有关？”学生一提就想到平行线的性质——两直线平行，同旁内角互补，还有内错角相等。 再把思路说清：“要把三个角搬到一起，就得借平行线帮忙，让另外两个角和第一个角凑成一个平角。”这句话是全课的钥匙。 在上图之前先做一个铺垫。问1：图中 ∠1 与 ∠2 有什么关系？∠3 与 ∠4 有什么关系？答：∠1 和 ∠2 是内错角，∠1=∠2；∠3 和 ∠4 是同位角，∠3=∠4。问2：直线 a 与直线 b 有什么特殊的位置关系？答：a∥b。 铺垫做完，正式给证法。 已知：如图 △ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°。 证法1：过点 C 作直线 l∥AB。 ∵l∥AB， ∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）， ∠B=∠2（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°。 讲完证法1，我在图上用红粉笔把那条平行线描出来，告诉他们：“这条为了证明新添上去的线，叫做辅助线，习惯上用虚线画。它不在原图里，是我们自己请来的帮手。” 接着给两条拓展证法，让学生看到“搬运”的办法不止一种。 证法2：过点 A 作 l∥BC。 ∴∠C=∠1（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°。 证法3：过点 A 作 l∥BC。 ∴∠C=∠1（两直线平行，内错角相等）， ∠B+∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∵∠BAD=∠BAC+∠1， ∴∠B+∠BAC+∠C=180°。 证法4（拓展）：过边 BC 上一点 D 分别作 l∥AB、m∥AC，同样能把三个角集中到一个平角上，得到的结论完全一致。 讲完归纳定理：三角形三个内角的和等于180°。 【设计意图】辅助线是这节课最难交代的东西。我不直接给出这条线，而是从“三个角能拼成平角”倒推“怎么用平行线达到同样效果”，让那条线自己浮出来。孩子知道它是干什么用的，才不会觉得它是老师变戏法变出来的。 联想平行线的性质，说出学过的哪些知识与平角有关。 思考“怎么把三个角搬到一起”，跟着老师找到那条平行线。 跟随老师的板书梳理论证顺序，弄清每一步的依据。 理解辅助线的含义和画法，知道为什么用虚线。 试着说出证法2的思路，体会转化思想。 【典例分析】 例1　基础应用。 (1) 在 △ABC 中，∠B=40°，∠C=80°，则 ∠A=60°。 (2) 在 △ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C，则 ∠B=50°。 (3) 求出下列各图形中 x 的值。答案依次为：x=70，x=60，x=30，x=50。 这里补一个常用模型：两个三角形“8”字交叉时，有 ∠A+∠B=∠C+∠D。为什么成立，用内角和减一减就知道了，不用背。 小结一句：已知两角求第三角，直接拿180°去减，没有别的花样。 例2　方程思想。 (1) 在 △ABC 中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，求三个内角。 解：设 ∠A=2x°，∠B=3x°，∠C=4x°。 由题意得 ∠A+∠B+∠C=180°，即 2x+3x+4x=180，解得 x=20， ∴∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°。 (2) 在 △ABC 中，∠A=∠B=∠C，求三个内角。 解：设 ∠A=x°，∠B=2x°，∠C=6x°。 由题意得 ∠A+∠B+∠C=180°，即 x+2x+6x=180，解得 x=20， ∴∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°。 (3) 在 △ABC 中，∠A−∠B=15°，∠B−∠C=30°，求 ∠A、∠B、∠C。 解：设 ∠A=(x+60)°，∠B=(x+30)°，∠C=x°。 由题意得 ∠A+∠B+∠C=180°，即 x+60+x+30+x=180，解得 x=30， ∴∠A=90°，∠B=60°，∠C=30°。 (4) 在 △ABC 中，∠A 的度数是 ∠B 的 3 倍，∠C 比 ∠B 大 15°，求 ∠A、∠B、∠C。 解：设 ∠A=3x°，∠B=x°，∠C=(x+15)°。 由题意得 ∠A+∠B+∠C=180°，即 3x+x+(x+15)=180，解得 x=33， ∴∠A=99°，∠B=33°，∠C=48°。 四道小题摆在一起，规律很清楚：题目给的不是具体的角，而是角与角之间的关系，那就先把最小的一份设成 x，把三个角都用 x 表示出来，再用“和为180°”列方程。设 x 的时候有个小窍门——设最小的那个角，后面的式子会干净很多。 例3　综合应用（角平分线）。 如图，在 △ABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD 是 △ABC 的角平分线，求 ∠ADB 的度数。 思路先给一句：先在 △ABC 里把 ∠BAC 用掉一半，再在 △ABD 里用内角和把 ∠ADB 求出来。 解：∵∠BAC=40°，AD 是 △ABC 的角平分线， ∴。 在 △ABD 中，∠ADB=180°−∠B−∠BAD， ∴∠ADB=180°−75°−20°=85°。 这道题的图形里有两个三角形，学生常犯的错是拿 △ABC 的角往 △ABD 里直接套。提醒一句：用哪个三角形的内角和，就得看那个三角形里的三个角是什么。 例4　实际应用（方位角）。 如图是 A、B、C 三岛的平面图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80° 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向。求从 C 岛看 A、B 两岛的视角 ∠ACB 的度数。 思路引导：先把方位角翻译成图形上的角，把 ∠CAB 和 ∠ABC 求出来，再用内角和求 ∠ACB。也可以过点 C 作 AD 的平行线，用平行线的性质来算。 法一：∵∠CAB=∠BAD−∠CAD， 又 ∠BAD=80°，∠CAD=50°，∴∠CAB=80°−50°=30°。 ∵AD∥BE，∴∠BAD+∠ABE=180°， ∴∠ABE=180°−∠BAD=180°−80°=100°， ∴∠ABC=∠ABE−∠EBC=100°−40°=60°。 在 △ABC 中，∠ACB=180°−∠ABC−∠CAB=180°−60°−30°=90°。 法二：由题意可得 ∠DAC=50°，∠DAB=80°，∠CBE=40°。 过点 C 作 CF∥AD。 ∵CF∥AD，AD∥BE，∴CF∥BE， ∴∠BCF=∠CBE=40°，∠ACF=∠DAC=50°， ∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+40°=90°。 这一道题最要紧的是“翻译”：北偏东、北偏西这些说法，要落到图上变成具体的度数。翻译对了，后面的计算就是普通的加减法。法二还多练了一个动作——添一条平行线把角拆成两半，这也是辅助线的一种用法。 【设计意图】四道例题各有分工：例1管“直接用”，例2管“列方程”，例3管“和角平分线联动”，例4管“把生活语言翻译成图形语言”。四道题连着走一遍，定理才算真会用。 独立完成例1，口答结果，巩固基础应用。 跟着老师分析例2，学会用“设一份为x”的办法把三个角表示出来。 例3注意先分清用的是哪个三角形的内角和。 例4动手把方位角在图上标出来，再选用哪一种方法计算。 【变式训练】 1．如图，在 △ABC 中，∠A=46°，CE 是 ∠ACB 的平分线，B、C、D 在同一条直线上，FD∥EC，∠D=42°，求 ∠B 的度数。 解：∵FD∥EC，∠D=42°，∴∠BCE=∠D=42°。 ∵CE 是 ∠ACB 的平分线，∴∠ACB=2∠BCE=84°。 ∵∠A=46°，∴∠B=180°−∠ACB−∠A=180°−84°−46°=50°。 这道题的路是“一条线走到底”：由平行线得到 ∠BCE，由平分线得到整个 ∠ACB，最后用内角和收尾。中间没有岔路，但每一步都要写清依据。 2．如图，在 △ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 平分 ∠ABC，求 ∠BDC 的度数。 解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴设 ∠A=x°，则 ∠C=∠ABC=2x°。 ∵在 △ABC 中，∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180，解得 x=36，即 ∠ABC=∠C=72°。 ∵BD 平分 ∠ABC，∴。 ∴∠BDC=180°−∠DBC−∠C=180°−36°−72°=72°。 这道题要做两次“减法”：先在大三角形里把 ∠ABC、∠C 算出来，再在小三角形 △BDC 里用内角和算 ∠BDC。孩子常在这里迷糊，不知道角到底属于哪个三角形。提醒一句：算哪个角，就找它在哪个三角形里。 3．轮船从 B 处沿南偏东 30° 方向航行，在 B 处观测灯塔 A 位于南偏东 75° 方向上。轮船航行一段路程后到达点 C 处，在 C 处观测灯塔 A 位于北偏东 60° 方向上，求 ∠A 的度数。 解：根据题意画出图形，得 ∠1=∠2=30°。 ∵∠ACD=60°，∴∠ACB=30°+60°=90°。 ∵∠CBA=75°−30°=45°， ∴∠A=180°−∠ACB−∠CBA=180°−90°−45°=45°。 第3题比例4多绕了一个弯：题目给的方向要经过一次换算，才能变成图上 ∠CBA 的度数。这一步没有捷径，只能画图。我在黑板上先把南北方向的辅助线画好，再把已知的角一个一个标上去，学生跟着标一遍，就明白该怎么转了。 【设计意图】三道变式题测的是三种不同的能力：第1题测“顺着线索走”，第2题测“分清在哪个三角形里算”，第3题测“把方位说法翻译成角度”。做完这三道，作业里的同类题就不该再出问题了。 独立完成三道变式题，同桌互相批改。 第1题把每一步的依据写出来，尤其是平行线和角平分线那两步。 第2题先在大三角形里算出各角，再到小三角形里算 ∠BDC。 第3题先按题意画出图形，把已知的角度标上去再算。 课堂练习 1．在 △ABC 中，∠A=60°，∠B=20°，则 ∠C 的度数为（　D　）。 A．20°　　B．60°　　C．80°　　D．100° 2．如图，△ABC 平移后得到 △DEF，∠A=55°，∠B=45°，则 ∠DFE 的度数是 80°。 3．如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC，∠B=70°，∠BAD=30°，则 ∠C 的度数为 50°。 4．一个内角为 30° 的直角三角板与两条平行线 l₁、l₂ 相交，已知 ∠1=50°，则 ∠2 的度数为 70°。 5．如图，AC 和 BD 相交于点 O，∠A=20°，∠B=40°，则 ∠C+∠D 的度数为 60°。 6．如图，在 △ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线 BE、CD 相交于点 F，已知 ∠ABC=52°，∠A=60°，求 ∠BFC 的度数。 解：∵∠ABC=52°，∠A=60°，∴∠ACB=68°。 ∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 F， ∴，。 ∴∠BFC=180°−(∠FBC+∠FCB)=120°。 7．如图是 A、B、C 三岛的平面图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80° 方向，C 岛在 B 岛的北偏东 30° 方向，求从 C 岛看 A、B 两岛的视角 ∠ACB 的度数。 解：由题意，得 ∠DAC=50°，∠DAB=80°， ∴∠CAB=∠DAB−∠DAC=30°。 ∵AD∥BE，∴∠DAB+∠ABE=180°， ∴∠ABE=180°−∠DAB=100°。 又∵∠CBE=30°，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=130°。 由三角形内角和定理，得 ∠ACB=180°−∠CAB−∠ABC=20°。 板书设计 13.3.1　三角形的内角 一、三次动手实验　　　　　　　　三、证明思路 　1．测量法　　　　　　　　　　　过顶点作平行线 → 把三个角集中成一个平角 　2．折叠法：折成平角　　　　　　（辅助线用虚线画） 　3．剪拼法：拼成平角　　　　　　四、应用举例 二、三角形内角和定理　　　　　　例1：基础计算 　三角形三个内角的和等于180°　　例2：方程思想 　　　　　　　　　　　　　　　　例3：角平分线综合 　　　　　　　　　　　　　　　　例4：方位角应用 课堂小结 这节课收尾，我先做一件小事：把课开头那个“损坏的法器”的图拿出来，让全班一起算缺掉的那个角。算完再问一句：“现在知道工匠为什么敢说他能算了吧？”让学生自己说出“因为三个角的和是180°，知道两个就能求第三个”。这样开头的问题在结尾收上了，整节课就闭合了。 然后带他们把两条线理一遍。一条是“怎么知道的”——测量、折叠、剪拼，都是看；作平行线证明，才是说。看得见不等于说得清，这件事今天要记住。 另一条是“怎么用”——已知两角用减法，知关系不知具体数用方程，题里有平分线或平行线就先把它转成角的关系。 最后提醒一句：辅助线不是随便画的，画它是为了解决一个具体的问题。今天画的这条平行线，解决的是“把三个角搬到一起”。往后每添一条线，都先问问自己：我添它是为了什么？ 作业布置 必做：教材 P13 练习 1、2；P16 复习巩固第 1、2、3 题。 选做：用今天学到的证明思路，自己动手把“三角形的三个内角和为180°”再证一遍，这次换一种作辅助线的办法，把过程和依据写完整。 思考题：如果把一个三角形剪成两个小三角形，两个小三角形的内角和加起来是多少？和原来那个大三角形的内角和比一比，多出来的部分在哪儿？ 教学反思 这节课的实验环节比预想的顺利。学生剪纸片的时候教室里很热闹，但热闹没有跑偏——我提前把要填的记录单发下去，量完填、填完报，节奏一直扣在手上。看着黑板上几十组数据都落在180°附近，有几个孩子自己发出了“哇”的声音，这个瞬间挺值。 辅助线那一块比预计的多花了时间。本以为铺垫两个问题就能顺下来，结果还是有不少孩子问“为什么非要画这条线”。后来我临时改了个讲法——把剪拼的结果贴在黑板上，指着那三个拼起来的角问：“咱们刚才用手做到了这件事，现在要用笔做到，需要借谁的力？”这一问之后，反应就快多了。看来“从实验倒推证明”这个说法还得讲得更明确一些，下次直接把这个提问写进教案。 例2的处理我觉得还行。设一份为 x 这件事，学生并不陌生，但他们不习惯在几何题里用。我连着讲了两道，第三道就让他们自己动手，效果比全讲好。以后这类题可以再往前放一道，留更多时间给他们自己算。 问题出在时间。例4的方位角画图花了将近八分钟，变式训练第3题只讲了一半就到点了。下次考虑把例4挪到课堂练习的环节去处理，或者课前准备好一张画好方向线的图，省下画图的时间。 还有一处要改：这节课我板书上的字写得偏密，中间写证明那一段，后排的学生应该在跟着抄，抄得有点赶。以后证明过程那一段趁早写成卡片贴在黑板上，把板书的活留给关键的那几句话。 学科网（北京）股份有限公司 $