山西高一数学上学期课时作业（人教A版必修一第一章到第二章）

高一数学必修一第一，二章作业设计解析 夯实基础 1．下列关系正确的是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥ 【答案】D 【详解】对于①：因为，故①不正确； 对于②：因为，故②不正确； 对于③：因为，故③不正确； 对于④：把看作集合，可得，故④正确； 对于⑤：把看作元素，可得，故⑤正确； 对于⑥：把看作集合，可得，故⑥正确； 对于⑦：把看作集合，可得，故⑦不正确. 对于⑧：因为；故⑧不正确. 综上可得：只有④⑤⑥正确. 2．已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 【答案】B 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由题意可知或，求出再检验即可． 【详解】因为，所以或． 当时，，不合题意，舍去； 当时，或，但不合题意，舍去． 综上可知，． 故选：B． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】交集 【详解】解，即，得，所以. 又，所以. 4．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据阴影部分区域内元素且，进而求得结论． 【详解】由题可得阴影部分区域内元素且， 所以阴影部分可表示为. 故选：D. 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．{或} 【答案】B 【知识点】分式不等式 【详解】由题意可得 ，解得，即解集为， 6．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 7．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】用不等式表示不等关系 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 8．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 集合， 当时，，； 当时，； 若，则； 若，则； 若，推不出. 所以是的充要条件； 是的必要不充分条件； 和都是的既不充分也不必要条件. 所以的一个必要不充分条件是. 9．（多选）下列说法正确的是（     ） A．集合，，若，则实数的值为1 B．若集合中只有一个元素，则 C．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 D．若，则方程无实数根 【答案】AC 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据并集结果求集合或参数、根据集合相等关系进行计算、根据集合中元素的个数求参数 【详解】A选项，，，若，则，解得，A正确； B选项，集合中只有一个元素， 若，则，满足要求， 若，则，解得，故或0，B错误； C选项，，则， 又因为，所以，，集合的个数为4，C正确； D选项，若，则，方程有两个不相等的实根，D错误. 10.命题“，”的否定为（      ） 【详解】命题“，”的否定为“，”. 11．若，，则与的大小关系为______ 【答案】 【难度】0.94 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为： 12．（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）不存在，理由如下： 假设存在实数使得， 因为集合，集合， 所以，解得，显然无解， 所以不存在实数使得 （2）存在，；（3）；（4） 【分析】（1）假设存在实数使得，再根据集合关系求解范围即可判定； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）分和两种情况讨论求解即可； （4）转化为，再根据集合关系求解即可. 【详解】解：（1）略. （2）假设存在实数使得， 则当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （3）因为，，， 所以，当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （4）因为命题“，使得”为真命题，所以， 所以且，即，解得，即. 所以，实数的取值范围为. 13． （1）已知，求的最小值. （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1），再利用基本不等式即可求解. （2），再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）， ， ， 当且仅当，即时取等号. 当时，的最小值为. （2）， ， ， ， 当且仅当，即时取等号， 即当时，的最大值为. 能力提升 1．若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】先得到全称量词命题的否定，分和两种情况，得到答案 【详解】命题“，都有”为假命题， 故命题“，都有”为真命题， 当时，，解得，满足要求； 当时，需满足，解得且， 综上，实数的取值范围为. 2．（多选）若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式证明不等关系、条件等式求最值 【分析】通过基本不等式、代数变形、特殊值验证等方法逐一判断各选项是否恒成立. 【详解】选项A：因为，，，由基本不等式， 所以，即，当且仅当时取等号，故A正确. 选项B：，又，所以， 而，所以， 当且仅当时取等号，故B正确. 选项C：，代入，， 则， 因为，所以， 则，即，当且仅当时取等号，故C错误. 选项D：， 因为，所以，则， 即，当且仅当时取等号，D正确. 3．（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式的概念及辨析、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 4．已知命题：，.命题：，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）问题转化为，求解. （2）先根据命题和均为真命题，分别求实数的取值范围，再求它们的交集即可. 【详解】（1）命题为真命题，， ，，则， 实数的取值范围是． （2）为真命题，由（1）得. ，为真命题， ，得. 由命题和均为真命题，得. 实数的取值范围是． 5． 已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)1和2 (2)答案见详解 【难度】0.66 【知识点】求函数的零点、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理可得，令求解即可； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 可知与是方程的两个实数根，且， 则，解得：，， 令，解得或， 所以函数的零点为1和2. （2）由（1）知不等式即为，即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 拓展探究 1．关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题. (1)已知a，b，c为正实数，且，求证：； (2)已知，，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为. 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，且，则的最小值是多少? 【答案】(1) 已知a，b，c为正实数，，则 ， 当且仅当，即时，等号成立，得证. (2) (3) 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）令，将原式转化为关于和的表达式，再利用和基本不等式求解. 【详解】（1）略 （2）已知，，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是. （3）已知，，令，则化为. 原式 ， 当且仅当，即，即， 时等号成立. 2．已知，集合中的元素恰有2个整数，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为集合中的元素恰有两个整数，所以非空，所以，解得， ①当时，集合中的两个整数分别为2、3，则， 解得， ②当时，此时，符合题意， 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学必修一第一，二章作业设计 作业目标 一、知识目标 1. 巩固集合相关概念：集合含义与表示、元素性质、子集、交集、并集、补集；熟练进行集合运算，能区分∈、⊆符号，看懂Venn图。 2. 掌握常用逻辑用语：充分条件、必要条件、充要条件；全称量词与存在量词、全称/特称命题的否定，能判断命题真假。 3. 梳理不等式基础：等式性质、不等式基本性质，会作差法比较大小；掌握基本不等式（一正二定三相等），能求最值并能识别等号成立条件。 4. 熟练一元二次不等式：会解一元二次不等式，理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系（二次函数“三个二次”）；能处理含参简单一元二次不等式。 5. 能利用一元二次不等式解决简单实际问题。 二、能力目标 1. 运算能力：规范集合运算、不等式变形、解一元二次不等式，减少符号、移项、端点取舍类低级计算错误。 2. 逻辑推理能力：能判断充分/必要条件，正确写出命题否定；会用逻辑语言表述推理过程，区分“命题否定”和“否命题”。 3. 数形结合能力：借助数轴解决集合运算、一元二次不等式解集；利用二次函数图像分析方程根、不等式解集。 4. 分类讨论能力：遇到含参数集合、含参一元二次不等式，能合理分类，不重不漏。 5. 审题能力：能读懂题干，区分集合代表元素（分清是数集还是点集），规避审题陷阱。 三、数学核心素养目标 1. 数学抽象：能从问题中抽象出集合、不等式模型，理解“三个二次”内在联系。 2. 逻辑推理：依托充分必要条件、命题否定训练严谨推理，克服凭感觉做题。 3. 数学运算：规范运算步骤，培养检验习惯，减少细节粗心错误。 4. 直观想象：利用数轴、二次函数图像建立数形结合思维。 5. 数学建模：能用一元二次不等式、基本不等式解决简单实际问题。 四、学情诊断与教学目标 1. 诊断学生薄弱点：集合端点取舍、充分必要条件判断、基本不等式忽略等号成立条件、二次不等式解集写反。 2. 区分层次： 基础题：检验全体学生是否掌握保底概念与基础运算； 中档题：检验中等生知识综合运用； 少量拔高题：识别尖子生，看综合应用、分类讨论能力。 3. 反馈教学：根据检测错题，定位共性漏洞，后续课堂针对性补讲；同时让学生自主发现自己概念混淆、审题粗心的问题，纠正做题习惯。 作业内容 夯实基础 1．下列关系正确的是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥ 2．已知是由三个元素组成的集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．如右图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．{或} 6．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 7．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 8．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 9．（多选）下列说法正确的是（     ） A．集合，，若，则实数的值为1 B．若集合中只有一个元素，则 C．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 D．若，则方程无实数根 10.命题“，”的否定为 . 11．若，，则与的大小关系为______ 12．（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 13．（1）已知，求的最小值. （2）已知，求的最大值. 能力提升 1．若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（     ） A． B． C． D． 3．（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 4．已知命题：，.命题：，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围． 5．已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 拓展探究 1．关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题. (1)已知a，b，c为正实数，且，求证：； (2)已知，，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为. 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，且，则的最小值是多少? 2．已知，集合中的元素恰有2个整数，则的取值范围是________． 变式：（1）已知，集合中的元素恰有3个整数，则的取值范围是________． （2）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是________． 教学实施建议 一、实施前提 本套作业检测围绕必修一第一章、第二章核心概念与基础题型设计，以诊断学情、巩固基础、落实数学核心素养为目标。作业实施前，教师梳理本章重难点，明确学生易错点；结合班级学情分层预设作业要求，区分基础达标、能力提升、拓展探究任务，适配不同水平学生。 二、作业布置 1. 布置时机：放在章节新知讲授完成后，作为章节阶段性检测作业；可安排在课后限时完成，建议限定时长（例如90分钟），培养学生限时做题习惯。 2. 分层布置 基础层（60-70分段学生）：完成全部基础题，重点落实概念辨析、基础计算，保证基础得分； 提升层（70-89分段学生）：完成基础+中档题，规范书写解题步骤； 拔尖层（90+学生）：基础题快速完成，完成中档题，额外选做拓展思考题，避免重复基础训练浪费时间 3. 任务说明：布置时明确要求，强调审题、书写规范，要求标注错题存疑的地方，鼓励学生写下自己的思考困惑。 三、作业完成过程 1. 独立完成，不允许查阅资料、互相抄答案；训练学生独立读题、提取条件的能力。 2. 做题过程中，遇到不会的题做好标记，优先跳过，养成限时答题策略，模拟考试答题习惯。 四、批改与学情诊断 1. 批改方式：全批+抽样面批结合。全批把握整体班级正确率；针对60–70分段重点学生进行面批，定位概念漏洞、计算失误、审题粗心等细节问题。 2. 数据统计：统计每道题错误率，归类错误类型（概念不清/计算失误/审题疏漏/逻辑推理错误），记录共性问题和个性问题，为课堂讲评提供依据。 五、作业讲评 1. 讲评取舍：共性错误集中讲，个性错误单独辅导。正确率高的简单题不讲，只点拨易错细节；高频错题重点拆解思路，引导学生自主发现错误根源，而不是单纯报答案。 2. 讲评方式：鼓励学生上台板演、说思路，暴露思维误区；针对优等生容易“会而不对、细节丢分”的问题，重点强调步骤规范。 3. 错题落实：要求学生建立错题本，原题改错，标注错误原因，写出正确思路；基础薄弱学生优先重做原题，优生可配套同类型变式小题巩固。 六、评价方式 采用多元评价，不只看最终得分： 结果评价：作业得分； 过程评价：书写规范、审题标记、错题反思质量； 鼓励性评价：对进步学生、规范答题学生给予肯定。 学科网（北京）股份有限公司 $