第05讲等式性质与不等式性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第05讲 等式性质与不等式性质 模块一 比大小的基本方法 1 课后作业 附解析 9 模块三 不等式的计算（重点） 5 模块二 不等式的性质 3 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第05讲 等式性质与不等式性质 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 掌握基本事实：深刻理解并掌握实数大小比较的基本事实（作差法），能熟练运用作差法比较两个代数式的大小。 2. 理解核心性质：系统掌握等式的基本性质与不等式的8大基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性及其推论）。 3. 熟练代数变形：能准确运用不等式的性质进行代数式的变形、简单不等式的证明以及求代数式的取值范围。 模块一 比大小的基本方法 知 识 点 睛 作差法四步曲： a.作差：计算两个代数式的差。 b.变形：对差式进行恒等变形（常用配方、因式分解、通分等），使其易于判断符号。 c.定号：判断变形后的差式是大于 、等于 还是小于 。 d.结论：根据差式的符号得出两代数式的大小关系。 【小练一下】作差法比大小 1.比较 与 的大小。 2.已知 ，比较 与 的大小。 【解析】 1. 作差： 变形（配方）： 定号：因为 ，所以 ，结论： 。 2. 作差： 定号：因为 ，所以 且 ，故 ，结论： 。 热 点 题 型 归 纳 【例1】 （单选）若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对于选项A，由，得，故，故A错误； 对于选项B，由，得，故B错误； 对于选项C，取，，则，，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 所以，故D正确．故选：D 【练习1】 （多选）10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】对于A选项，因为，，则， 则，故，A错； 对于B选项，因为，则，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，若，取，，则，C错； 对于D选项，因为，， 则 ，所以，，D对. 故选：BD. 模块二 不等式的性质 知 识 点 睛 1. 对称性： 2. 传递性： （注意：传递性不可逆） 3. 可加性： （加减同一个数，不等号方向不变） 4. 可乘性（极度易错！）： ①若 （乘正数，方向不变）； ②若 （乘负数，方向改变）； 5. 同向可加性： （同向不等式可以相加） 6. 同向同正可乘性： （两边同为正数的同向不等式可以相乘） 7. 可乘方性： 8. 可开方性： 【小练一下】判断正误 1. 若 ，则 。 ( ) 2. 若 ，则 。 ( ) 3. 若 ，则 。 ( ) 【解析】1.错误。解析：当 时， ，不等号不成立。必须加上条件 。 2.错误。解析：不等式没有“同向可减”的性质。反例： ，满足条件，但 ， ， 成立；但若，则 ， 不成立。 3.正确。解析：因为 ，两边同乘 得 。又因为 ，根据同向同正可乘性， ，即 ，两边同乘 变号得 。 热 点 题 型 归 纳 【例2】 已知 ， ， 。求证： 。 【证明】因为 且 ，所以 。 根据同向可加性， 。 因为 ，根据正数取倒数变号的性质，得 。 又因为 ，根据不等式两边同乘负数变号的性质， 将 两边同乘 ，得 。 证毕。 【练习2】 设为实数，且，则下列不等式正确的有__________． ①；②；③；④． 【答案】① 【解析】∵，∴，故①正确； 取,,,此时，,故②错误；③错误；故④错误； 故答案为：①． 模块三 不等式的计算 知 识 点 睛 1. 四则运算（加减乘除）：两个不等式可以做加法（同向可加），乘法（同向同正可乘），不能直接相减和相除，减法应当看成加上一个相反数，除法应当看成乘以一个倒数（留意正负）； 2. 平方与开方：前提必须保证底数同为正数（ ），若含有负数或零，结论不成立（如 但 ）； 3. 一个不等式中有多个变量时，注意使用整体法。 eg. 已知 ， ，求 的取值范围。 【解析】设 ，展开得 。 令 ，解得 。 所以 。 因为 ，所以 。 又因为 ， 根据同向可加性，将两式相加得： ， 即 。 故 的取值范围是 。 热 点 题 型 归 纳 【例3】已知实数满足： （1），求的取值范围； （2）求的取值范围. 【拓展】若范围。 【答案】（1）的取值范围为，的取值范围为； （2） 的取值范围为. 【拓展】的取值范围是。 【解析】（1）因为，所以，又因为，所以； 因为，所以，又因为，所以； 所以的取值范围为，的取值范围为； （2）令，， 所以，解得， 因为， 所以， 所以， 所以取值范围为. 【拓展证明】应把b分成和两段分别计算ab范围，最后取并集； ①当（同向同正可乘性）； ②当； 综上. （简便思路：ab相乘最小值肯定是绝对值最大的负数，当b取-2，a取2时，ab最小为-4； ab最大值肯定为正数，当b取6，a取2时最大） 【练习3】 已知， （1）求x的取值范围 （2）求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】（1）， 两个不等式相加可得，解得. （2）设， 则，. 即， 又， ， ， 即 的取值范围为. 【练习4】 （多选）设，则的取值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】AB 【解析】由题意知，所以由同向不等式相加得. 故选：AB. 【练习5】 （单选） 若，则的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设， 则，故，解得， 故， 因为，所以， 所以，故的取值集合为 故选：A 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1.若 ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2.已知 ，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3.设 ， ，则 与 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 已知 ， ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 用不等号“ ”或“ ”填空： ① 若 ，则 ______ ； ② 若 ， ，则 ______ ； ③ 若 ，则 ______ 。 1. 已知 ，且 ，则 ______ （填“ ”、“ ”或“ ”）。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 7. 比较下列各组中两个代数式的大小，并说明理由： （1） 与 ； （2） 与 。 【作业解析】 一、 选择题 1.【答案】A。解析：根据不等式的可加性，两边同时减去，不等号方向不变，A正确；当 时 ，B错；当 时，C错 ；当 时， ，D错。 2.【答案】 D。解析：,因为，所以，, ，因为，所以,,即，B错；因为 ，所以，C错；，由基本不等式可知 ，又因为，所以等号不可取，，D正确 3.【答案】A。解析：作差： 。因为 ，所以 ，故 。 4.【答案】D。解析：因为 ，所以 。又因为 ，根据同向可加性，将两式相加得： ，即 。 二、 填空题 5. 【答案】 ① ； ② ； ③ 。解析：① 乘负数变号；② 且 ，同向同正可乘得 ，即 ；③ 正数同向可乘方。 6. 【答案】 。解析：作差： 。因为 ，所以 ，且 ，故差式大于 。 三、 解答题 7. 【解析】 （1）作差： 。 因为 ，所以 。 （2）作差： 。 因为 ，所以 。 故 （当且仅当 时取等号）。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学新课讲义 √必修 打基础，精选题，不超前 f)=o根 2◆ 4>o# Contents 目录 第05讲 等式性质与不等式性质 模块一 比大小的基本方法 模块二 不等式的性质 模块三 不等式的计算（重点） 4 课后作业 附解析 5 目标双一流 领先高考培优课程 第05讲 等式性质与不等式性质 课堂思维碰撞 1.掌握基本事实：深刻理解并掌握实数大小比较的基本事实（作差法），能熟练运用作差法比较两 个代数式的大小。 2.理解核心性质：系统掌握等式的基本性质与不等式的8大基本性质（对称性、传递性、可加性、 可乘性及其推论)。 3.熟练代数变形：能准确运用不等式的性质进行代数式的变形、简单不等式的证明以及求代数式的 取值范围。 模块一 比大小的基本方法 识点睛 作差法四步曲： a作差：计算两个代数式的差。 目标双一流 领先高考培优课程 b变形：对差式送行恒等变形（常用配方、因式分解、通分等），使其易于判断符号。 c定号：判断变形后的差式是大于0、等于0还是小于0。 d结论：根据差式的符号得出两代数式的大小关系。 【小练一下】作差法比大小 1.比较x+3与3X的大小。 2已知Q>b>0,比较1与1的大小。 a b 型 归纳 回【例 (单选)若a>b>0,则() 1.1 4.a+b 1.1、4 > A Jab>a B.a b C.a+b ab D.a b a+b 【练习1】 (多选)10.下列命题为真命题的是() aa+c A若a>b>0,c>0,则bb+c B.若ac2>bc2,则a>b 1.1 C.若ab,则a<b D.若a>0,b>0,则a3+b≥ab2+a2b3 目标双一流 领先高考培优课程 模块二 不等式的性质 识点睛 1.对称性：a>b台b<a 2.传递性：a>b,b>C→a>C（注意：传递性不可逆) 3.可加性：a>b→a+C>b+C(加减同一个数，不等号方向不变) 4.可乘性（极度易错！)： ①若a>b,c>0→ac>bc（乘正数，方向不变)； ②若a>b,C<0→ac<bc(乘负数，方向改变)； 5.同向可加性：a>b,c>d→a+c>b+d(同向不等式可以相加) 6.同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0→ac>bd(两边同为正数的同向不等式可以相乘) 7.可乘方性：a>b>0→a”>b”(n∈N,n≥2)】 8.可开方性：a>b>0→a>Vb(n∈N,n≥2) 3 目标双一流 领先高考培优课程 【小练一下】判断正误 1.若a>b,则ac2>bc2。(） 2.若a>b,c>d,则a-c>b-d。() 3.若a>b>0,c<d<0,则ac<bd。() 热点 题 型归纳 回【例2】已知a>b>0,c<d<0,e<0。求证： e e a-cb-d a,b,c,d 【练习2】 设 为实数，且a>h>0>c>d,则下列不等式正确的有 11 ①c2<cd;②a-c<b-d;③ac<bd;④a+cb+d. 模块三 不等式的计算 4 目标双一流 领先高考培优课程 识点睛 1.四则运算（加减乘除）：两个不等式可以做加法（同向可加)，乘法（同向同正可乘)，不能直 接相减和相除，减法应当看成加上一个相反数，除法应当看成乘以一个倒数（留意正负）； 2.平方与开方：前提必须保证底数同为正数(Q>b>0),若含有负数或零，结论不成立（如 2>-但2<1-32）； 3.一个不等式中有多个变量时，注意使用整体法。 eg已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4，求4a-2b的取值范围。 纳 a,b 回【例3】已知实数“满足： 6 (1)1<a<2,2<b<6,求 2a+b a的取值范围： 1<a+b<3,3<2a+b<5,.2a-b (2) 求 的取值范围. 【拓展】若1<a<2,-2<b<6,求ab范围。 5 目标双一流 领先高考培优课程 0回 -1<x+y<4,2<x-y<3 【练习3】 已知 (1)求x的取值范围 3x+2y (2)求 的取值范围 1 【练习4】 (多选)设 0<a≤20<B6,则2a-B的取值可能为《】 1 7 A.8 B.6 C.1 D.6 <a+b<2,-1<a-b<2,x=a+5b 【练习5】 (单选)若 则的取值集合是() A.{-l<x<8 B.{x5<x<8 c{3<x<8} D{l<x<8到 6 目标双一流 领先高考培优课程 课后作业 一、选择题（概念辨析，夯实基础) 1.若a>b,则下列不等式中一定成立的是() Aa-3>b-3 B.ac>bc C.a2>b2 D1<1 a b 2.已知a<b<0,则下列不等式中正确的是() A a2<b2 B 1<1 a b C.a+b<2a b+a>2 a b 3.设M=x2-2x+3,N=-x2-2x+1,则M与N的大小关系是() A M>N B.M<N C.M=N D.无法确定 4已知-1<a<2,-3<b<1,则a-b的取值范围是() > 目标双一流 领先高考培优课程 A(-2,3) B.(0,3) c.(0,5) D.（-2,5) 二、填空题（精准识记，规范表达） 5.用不等号“>”或“<”填空： ①若a>b,则-2a -2b: ②若a>b>0,c<d<0,则ac bd: ③若a>b>0,则a3_b3。 6.己知a,b∈R,且a>b,则a3-b3 ab-ab2(填“>”、“<”或“=”)。 三、解答题（逻辑推理，综合应用） 7.比较下列各组中两个代数式的大小，并说明理由： 1D(x+30x-1)与X+2x-5:2)a+B与a+b。 2 8 目标双一流