1.2集合间的基本关系（分层作业，8大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 1.2 集合间的基本关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求集合的子集（真子集） 题型02 判断集合的子集（真子集）的个数 题型03 判断两个集合的包含关系 题型04 判断两个集合是否相等 题型05 空集的概念以及判断 B组 能力进阶 题型 根据两个集合相等求参数 C组 思维拔高 题型01 根据集合的包含关系求参数 题型02 根据集合的关系求参（空集陷阱 求集合的子集（真子集）题型01 1．（25-26高一上·宁夏·期末）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 2．已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．6 B．7 C．14 D．15 3．已知集合的所有非空真子集的元素之和为2023，则__________. 4．已知集合{为10以内的素（质）数}，则集合A的所有非空子集中所有元素的和为_________ 5．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 6．设有限集合，对于集合，给出两个性质： ①对于集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集； ②对于集合A中任意两个元素，都有，则称A为的开放子集. (1)若，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论） (2)若，且集合A为的封闭子集，求的最小值； (3)若，且为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值. 判断集合的子集（真子集）的个数题型02 1．（25-26高一上·广东茂名·月考）满足的集合A的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 2．满足的集合A有个 A．2 B．4 C．6 D．7 3．已知，则集合的真子集的个数为___________. 4．（25-26高一上·内蒙古·期中）已知集合，则集合的子集有________个． 5．（24-25高一上·河北沧州·月考）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 6．（25-26高一上·北京·期中）已知集合，其中且，，非空集合，记为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，，写出所有可能的集合； (2)若，，且是的倍数，求集合的个数． 判断两个集合的包含关系题型03 1．设集合，．下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·北京·期中）已知，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 4．给出下列关系式，其中正确的是______（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 5．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于A，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)求集合中范围在内的所有元素之和．（不需要过程，直接写答案） 6．已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 判断两个集合是否相等题型04 1．（2025·湖南·学业水平）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·湖北随州·月考）设集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北邢台·月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，或，则（　　） A． B．0 C． D． 5．若方程的解集为M，则以下结论一定正确的是（    ） （1）      （2） （3）      （4） A．（1）（4） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3）（4） 6．下面关于集合的表示正确的序号是________. ①； ②； ③； ④. 空集的概念以及判断题型05 1．（24-25高一上·山西大同·月考）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高一·广东广州·月考）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·期中）关于方程的解集T说法正确的是（    ）． A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 4．（25-26高一上·上海·月考）若集合的没有真子集，则实数________． 5．（26-27高一·北京·月考）已知集合，集合，若，则的值是_______． 根据两个集合相等求参数题型 1．已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 2．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一上·辽宁抚顺·期中）设a，，集合，，若，则______． 4．（25-26高一上·江西·联考）集合，，若，则______． 5．已知集合M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N．求a、b的值． 6．已知集合，集合. （1）若,求实数a的取值范围 （2）若,求实数a的取值范围; （3）A，B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由. 根据集合的包含关系求参数题型01 1．已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖北黄冈·月考）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·吉林长春·月考）设集合，，若，则的值为______． 5．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 6．（24-25高一上·上海·月考）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 根据集合的关系求参（空集陷阱题型02 1．（24-25高一上·辽宁大连·月考）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高一上·山东德州·联考）关于的方程的解集是空集，______________． 3．若集合，则实数的取值范围是______. 4．已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 5．已知集合． （1）若是空集，求实数的取值范围； （2）若中只有一个元素，求实数的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2 集合间的基本关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求集合的子集（真子集） 题型02 判断集合的子集（真子集）的个数 题型03 判断两个集合的包含关系 题型04 判断两个集合是否相等 题型05 空集的概念以及判断 B组 能力进阶 题型 根据两个集合相等求参数 C组 思维拔高 题型01 根据集合的包含关系求参数 题型02 根据集合的关系求参（空集陷阱 求集合的子集（真子集）题型01 1．（25-26高一上·宁夏·期末）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】由集合间的包含关系确定所求集合即可. 【详解】由，可知集合可以是或. 故选：D. 2．已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】A 【分析】根据不等式的解法，求得集合，进而求得答案. 【详解】由不等式，解得，所以集合， 所以集合的非空真子集的个数为. 故选：A. 3．已知集合的所有非空真子集的元素之和为2023，则__________. 【答案】 【分析】写出集合的非空真子集，得到，求出. 【详解】因为集合的所有非空真子集为： ， ， 所以有. 故答案为：289 4．已知集合{为10以内的素（质）数}，则集合A的所有非空子集中所有元素的和为_________ 【答案】136 【分析】先求集合A中的元素，然后计算所有非空子集中各元素出现的次数，求和即可. 【详解】依题意有，，集合A的所有非空子集有， 可知集合A中的元素在各非空子集中各出现了8次， 所以集合A的所有非空子集中所有元素的和为. 故答案为：136 5．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 6．设有限集合，对于集合，给出两个性质： ①对于集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集； ②对于集合A中任意两个元素，都有，则称A为的开放子集. (1)若，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论） (2)若，且集合A为的封闭子集，求的最小值； (3)若，且为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值. 【答案】(1)A为的封闭子集，B为E的开放子集 (2)9 (3) 【分析】（1）利用封闭子集，开放子集定义可得答案； （2），设，因集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则，其中.据此可得，得，后排除8，再说明9符合题意即可； （3）因，且为奇数，当时，得；当，将里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且为最大值即可. 【详解】（1）对于A，因， 且，则A为E的封闭子集； 对于B，由题可得，注意到其中任意两个元素相加之和都不在B中， 任意元素也不是其他两个元素之和，且，故B为E的开放子集； （2）由题：， 设. 因集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素， 使得，则，其中. 得，，， .因，则. 若，则，则在A中存在元素，使它们的和为. 又，则当时，， 得，则在A中存在元素，使它们的和为. 又当时，，得， 则在A中存在元素，使它们的和为.注意到奇数， 且，故不存在元素， 使，这与集合A为的封闭子集矛盾，故. 当，取，易得其符合的封闭子集的定义，故的最小值为9； （3）因，且为奇数，当时，得； 当，将里面的奇数组成集合A，则， 因A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且， 则A为E开放子集，此时集合A元素个数为.下面说明为最大值. 时，显然成立；当，若， 则中至少有一个属于的偶数， 设为，则，得为属于集合中的奇数， 这与E开放子集的定义矛盾，故. 综上，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，难度较大. （1）问主要考查对于定义的理解；（2）问从定义出发，得到，得，继而结合定义分析出；（3）问，由任意两个奇数之和为偶数可构造出集合A. 判断集合的子集（真子集）的个数题型02 1．（25-26高一上·广东茂名·月考）满足的集合A的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据已知条件可知集合A中必有1，2，集合A还可以有元素3，4，5且不能都含有，写出集合A的所有情况即可求解． 【详解】因为集合A满足⫋， 则集合A中必有1，2，集合A还可以有元素3，4，5且不能都含有， 满足条件的集合有，，，，，，，共7个． 故选：B． 2．满足的集合A有个 A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解析过程略 3．已知，则集合的真子集的个数为___________. 【答案】7 【分析】根据题意得到集合中元素的个数，然后求真子集的个数即可. 【详解】由题意得，集合中含有，，三个元素，所以集合的真子集个数为. 故答案为：7. 4．（25-26高一上·内蒙古·期中）已知集合，则集合的子集有________个． 【答案】4 【分析】求得集合，可求子集. 【详解】因为，所以集合的子集有共4个. 故答案为：4. 5．（24-25高一上·河北沧州·月考）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 6．（25-26高一上·北京·期中）已知集合，其中且，，非空集合，记为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，，写出所有可能的集合； (2)若，，且是的倍数，求集合的个数． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据定义直接写出集合； （2）由题可得，故只有为12或24，讨论写出集合，即可得个数． 【详解】（1）由题，可得所有可能的集合为：，，，. （2）设，由于，且， 所以. 由题意，是的倍数时，或. 当时，因为， 所以当且仅当时，成立．故符合题意． 当时， 若，则，故，符合题意； 若，则，故符合题意； 若，则，不合题意． 综上，所有可能的集合为，，，. 故满足条件的集合的个数是. 判断两个集合的包含关系题型03 1．设集合，．下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与集合之间的关系即可得解. 【详解】元素与集合之间的关系用属于符号来表示，集合与集合之间的关系用包含符号来表示，故排除ACD， 又，，所以，故B正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合间的包含关系直接判断即可. 【详解】由，， 则. 故选：B 3．（25-26高一下·北京·期中）已知，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合:方程 的解为，因此． 集合:方程的解为，因此． 所有中的元素（偶数倍的 ）都属于，但 中存在不属于的元素（如等奇数倍的），因此 ． 4．给出下列关系式，其中正确的是______（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【分析】利用空集的性质判断①，⑤，利用元素和集合的关系判断②，利用集合和集合的关系判断④，利用子集的性质判断③即可. 【详解】因为空集是任何集合的子集，所以①，⑤正确， 由元素和集合的关系得，故②错误， 一个集合是自身的子集，故③正确， 由集合和集合的关系得，故④错误. 故答案为：①③⑤ 5．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于A，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)求集合中范围在内的所有元素之和．（不需要过程，直接写答案） 【答案】(1) ∵，，∴ 假设，则， 且，， ∴，或，均无整数解，∴ (2) ∵集合，恒有 ∴，∴ (3) 【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素； （2）由，即可证明； （3）根据，同奇同偶和一奇一偶得中元素的特征，再求中所有元素和 【详解】（1）略 （2）略 （3）集合，成立， 当同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， 且，故， 当一奇一偶时，，均为奇数，为奇数 又由（2）知，. 综上，， 设集合中范围在内的所有元素之和为，则 . 6．已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【答案】(1)不是的完美子集，是的完美子集 (2)证明：反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. (3)证明：， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 【分析】（1）验证两个条件即可； （2）用反证法证明； （3）根据集合的新定义结合反证法证明即可. 【详解】（1）中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； （2）略 （3）略 判断两个集合是否相等题型04 1．（2025·湖南·学业水平）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 2．（26-27高一上·湖北随州·月考）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项是自然数集，仅包含0和正整数，无法覆盖所有形如的数（比如属于但不属于自然数集）； B选项是整数集，仅包含整数，同样无法覆盖分数（比如属于但不属于整数集）； D选项是实数集，实数中还包含无理数（比如，无法表示为两个整数的比值，不属于）； 因此集合就是有理数集. 3．（25-26高一上·河北邢台·月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，即可得到答案. 【详解】因为， ， 所以. 故选：D 4．已知集合，或，则（　　） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合，然后根据选项验证即可. 【详解】因为，所以或，显然，其余选项均不正确. 故选：A 5．若方程的解集为M，则以下结论一定正确的是（    ） （1）      （2） （3）      （4） A．（1）（4） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】C 【分析】根据特殊值法可确定(1),(2)选项错误; 根据集合的基本关系可以判断(3),(4)正确. 【详解】设,, ,,故(1),(2)错误; 根据集合的基本关系可以知道,,(3),(4)正确. 故选 :C. 6．下面关于集合的表示正确的序号是________. ①； ②； ③； ④. 【答案】③④ 【分析】根据集合的表示方法与集合的性质，判断正确的序号. 【详解】∵集合中的元素具有无序性，∴，∴①不成立； ∵是点集，而不是点集，∴②不成立； ∵与都表示大于1的实数组成的集合，∴③成立； ∵与都表示奇数组成的集合，∴④成立. 故答案为：③④. 空集的概念以及判断题型05 1．（24-25高一上·山西大同·月考）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 2．（25-26高一·广东广州·月考）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对选项A，集合的元素仅为0，是集合，不是的元素，因为是任意集合的子集，所以，故选项A错误； 对选项B，0是集合的元素，故，所以选项B正确； 对选项C，集合的元素为有序数对，故(1,2)∈{(1,2)} ，所以选项C正确； 对选项D，由空集的性质，空集是任意集合的子集，故，所以选项D正确. 3．（24-25高一上·北京·期中）关于方程的解集T说法正确的是（    ）． A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 【答案】C 【分析】分类讨论的值，即可得方程组解的情况. 【详解】由题意可知，即， 当时，不成立，方程组无解， 当时，，方程组有唯一解. 故选：. 4．（25-26高一上·上海·月考）若集合的没有真子集，则实数________． 【答案】 【分析】由题意可知，计算即可求解. 【详解】因为集合没有真子集， 所以，即无解，则. 故答案为：0 5．（26-27高一·北京·月考）已知集合，集合，若，则的值是_______． 【答案】 【详解】，解得，故， 已知，当时，无解，此时； 当时，若时，，解得； 若时，，解得； 综上，或或． 根据两个集合相等求参数题型 1．已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】分二次项系数是否为0结合韦达定理求解. 【详解】由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时. 故选:B. 2．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合相等列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：C 3．（24-25高一上·辽宁抚顺·期中）设a，，集合，，若，则______． 【答案】 【分析】由，则集合中元素相同，列出方程组求出，再由集合中元素的互异性，排除不符合的情况，可得答案. 【详解】因为集合，，， 若则，或， 当时，，此时； 当时，，不符合集合元素的互异性． 若，则，不符合集合元素的互异性． 故答案为：. 4．（25-26高一上·江西·联考）集合，，若，则______． 【答案】或0 【分析】分别令和，再由集合相等的条件可得. 【详解】当，即时，，此时，则满足题意； 当，即时，，此时，则满足题意． 综上，或． 故答案为：或0. 5．已知集合M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N．求a、b的值． 【答案】 【详解】因为M=N，所以根据集合元素的互异性，可知,解出a,b值再验证是否满足互异性的要求. 由M＝N及集合元素的互异性得：或 解上面的方程组得，或或 再根据集合中元素的互异性得，或 6．已知集合，集合. （1）若,求实数a的取值范围 （2）若,求实数a的取值范围; （3）A，B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由. 【答案】（1）或   （2）   （3）能， 【分析】（1）由是的子集，确定实数的取值范围， （2）由是的子集，确定实数的取值范围； （3）假定、相等，确定的值 【详解】（1）当时，，不满足； 当时，， 由，得解得； 当时，， 由，得解得；. 综上可知，当时，或. （2）当时，，满足； 当时，得解得； 当时，得解得 综上可知，当时，. （3）当且仅当且时，，由第（1）（2）分析可知. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的包含关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征． 根据集合的包含关系求参数题型01 1．已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得或或，列方程求即可. 【详解】因为，，， 所以或或， 若，则方程的解集为空集，故， 若，则方程有且仅有解，故， 若，则方程有且仅有解，故， 故的所有可能取值组成的集合为. 故选：D. 2．已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，由N⊆M，得或=1．由此能求出实数a的取值集合． 【详解】∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M， ∴当a=0时，N=∅，成立； 当a≠0时，N={}， ∵N⊆M，∴或=1． 解得a=﹣1或a=1， 综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}． 故选D． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 3．（24-25高三上·湖北黄冈·月考）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的包含关系直接得到参数的取值范围． 【详解】由题意有， 又，， 可得， 故实数的取值范围是． 故选：B． 4．（24-25高一上·吉林长春·月考）设集合，，若，则的值为______． 【答案】0或1或 【分析】由，按集合的可能情况分类讨论求解可得． 【详解】由， 方程至多1个解，故. ， 或或， ①若，则； ②若，则； ③若，则，解得； 综上可得，或1或. 故答案为：0或1或. 5．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【分析】分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 6．（24-25高一上·上海·月考）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 根据集合的关系求参（空集陷阱题型02 1．（24-25高一上·辽宁大连·月考）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 2．（25-26高一上·山东德州·联考）关于的方程的解集是空集，______________． 【答案】##0.5 【分析】化简方程，分类讨论解方程即可求解． 【详解】由方程整理得， 当，即时，方程可化为，解集为空集，符合题意； 当，即时，由得且， 解得且，因为方程的解集为空集，故即． 故答案为：. 3．若集合，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】根据集合，分和两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】由题意，集合， 若时，集合，满足题意； 若时，要使得集合， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的判定，其中解答中正确理解集合的表示方法，结合一元二次方程的性质求解是解答的关键，属于基础题. 4．已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 5．已知集合． （1）若是空集，求实数的取值范围； （2）若中只有一个元素，求实数的值． 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）是空集，即无解，计算得到答案. （2）考虑和两种情况，计算得到答案. 【详解】（1）∵是空集，∴，即，∴实数的取值范围. （2）∵中只有一个元素，∴或即：或. 【点睛】本题考查了根据空集和集合中元素个数求参数，意在考查学生的计算能力，漏解是容易发生的错误. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $