精品解析：广东广州市真光中学高中部汾水校区2027届高三10月阶段训练数学试卷

广州市真光中学高中部汾水校区2027届高三10月阶段训练 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. “”是“点在圆外部”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 7. 数列的前项和为，的前项和为，则数列（ ） A. 有最大项也有最小项 B. 无最大项也无最小项 C. 有最小项但无最大项 D. 有最大项但无最小项 8. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 一共有5项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 10. 在边长为3的等边三角形中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个单调区间 B. 函数有最小值 C. 函数在上单调的充要条件是 D. 函数有两个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个等边三角形边长为2，以其一边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体的体积为___________． 13. 在中，若，，则_________. 14. 已知不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项. （1）求数列的通项公式； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 16. 设函数的图象在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求函数的最小值． 17. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，，． （1）求证：平面平面． （2）设，若点，，，，均在球的球面上，且点在平面内． ①求四棱锥的体积； ②求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 18. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的. （1）若，，求接收的信号为0的概率； （2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. （i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1的概率； （ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由. 19. 如图，圆，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段MF的垂直平分线和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）记C的左顶点为A，直线l与C交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为. （ⅰ）证明：直线l过定点； （ⅱ）若P在x轴上方，直线PE与圆E交于点B，点B在x轴上方，是否存在点P，使得与的面积之比为？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市真光中学高中部汾水校区2027届高三10月阶段训练 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法运算及复数的几何意义可解. 【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数定义域可化简集合B，然后由交集补集知识可得答案. 【详解】 或，则，又因为， 所以. 故选：B. 3. 已知函数为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义得到，代入计算即可． 【详解】因为函数为偶函数，所以，当时，， 则. 故选：D. 4. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设至少经过小时后才能安全驾驶，由题意可得，进而求解即可. 【详解】设至少经过小时后才能安全驾驶， 则满足：，化简得：， 根据是增函数可得：，即， 因为，所以， 所以他至少要经过2小时后才能驾驶. 故选：B. 5. “”是“点在圆外部”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由点在圆外结合二次方程表示圆的条件可将“点在圆外部”化为，据此可得答案. 【详解】因点在圆外部， 则，即， 解得：. 注意到是的真子集， 则由“”不能得到“点在圆外部”， 由“点在圆外部”可得到“”， 即“”是“点在圆外部”的必要不充分条件. 故选：B 6. 非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直数量积为零可求得与的关系式，即可求得夹角. 【详解】易知，即； 又，所以，即； 因此， 又，所以所求夹角为. 故选：C 7. 数列的前项和为，的前项和为，则数列（ ） A. 有最大项也有最小项 B. 无最大项也无最小项 C. 有最小项但无最大项 D. 有最大项但无最小项 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列和数列的前项和，分别求出数列和数列的通项公式，进而可以得到数列的通项公式，通过判断其单调性，可得是否存在最大值和最小值. 【详解】设数列的前项和为，的前项和为，则，， 当时，， 当时，， 经验证，时成立，所以， 同理可求得，适合； 所以， 令， 又，，，， ， 当时，，，所以，且时，， 则， 所以当时，，数列单调递增，得； 当时，，数列单调递减，得； 当时，，数列单调递增，得； 由此可知最大，最小， 综上所述，数列存在最大项，也存在最小项. 故选：A 8. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合角的范围，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系与二倍角公式，即可得解. 【详解】， 又因为，得， 又，，故，因此. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 一共有5项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 【答案】CD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式和赋值法可求解. 【详解】因为的展开式共有6项，所以A不正确； 通项公式为，令可得第三项为，B不正确； 令可得所有项的系数和为0，C正确； 所有项的二项式系数和为，D正确. 故选：CD 10. 在边长为3的等边三角形中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为基底，表示，并通过数量积运算进行判断. 【详解】对于A：，A错误； 对于B：，所以 ，B正确； 对于C：因为， 所以， 所以，C正确； 对于D： ，D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个单调区间 B. 函数有最小值 C. 函数在上单调的充要条件是 D. 函数有两个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】求出函数的定义域和导数，结合导数在定义域内的正负判断函数的单调性，进而分析函数的最值及零点情况. 【详解】已知函数，则， 求导得：. 令，解得或，因为，故， 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增. 所以函数有两个单调区间，选项A错误； 由上可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，故B正确； 因为在上单调递减，在上单调递增， 若函数在上单调，则，满足充分性， 若，则函数在上单调，满足必要性， 故函数在上单调的充要条件是，选项C正确； 因为在上单调递减，在上单调递增，为最小值， 所以只有一个零点，故D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个等边三角形边长为2，以其一边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】确定几何体的形状，根据圆锥的体积公式即可求得答案. 【详解】如图，为等边三角形，O为的中点，， 以其边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体是以为半径的圆为底面高为1的两个圆锥， 故几何体体积为， 故答案为： 13. 在中，若，，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由正弦定理得，再由同角的三角函数关系式得，再由大边对大角定理得为锐角，进而得到答案. 【详解】由正弦定理得，又，得①， 再由，得②， ①②代入，得，得， 所以，即或. 又因为，由大边对大角得，所以为锐角， 所以. 故答案为：. 14. 已知不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式同构为，根据函数的单调性可得，分离参数得到，利用导数可求得函数的单调性，进而求得的取值范围. 【详解】由不等式得：， 即， 令，则， 函数在上单调递增，，， 令，则， 当时，恒成立，在上单调递增， ，即恒成立； 当时，若，则；若，则； 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，； 综上所述：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用同构法求解恒成立问题，解题关键是能够将已知不等式同构为同一函数的两个函数值的形式，进而利用函数单调性得到自变量的大小关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项. （1）求数列的通项公式； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造法可求的通项公式； （2）利用参变分离和数列的单调性可求的最大项，从而可求参数的取值范围. 【小问1详解】 数列的首项，可得， 而，故，故， 即数列是首项和公比均为3的等比数列，可得，即. 【小问2详解】 若恒成立，即为，即恒成立， 设，可得，. 即数列是单调递减数列，可得， 所以，即实数的取值范围是 16. 设函数的图象在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）利用复合函数的值域即可求解. 【小问1详解】 ， 依题意知：， . 【小问2详解】 . 当，即时，取得最小值， 最小值为. 17. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，，． （1）求证：平面平面． （2）设，若点，，，，均在球的球面上，且点在平面内． ①求四棱锥的体积； ②求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）因，则全等于，从而， 由是正三角形，三线合一，可得，又平面， 所以平面，结合平面，可得平面平面； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，结合题设可得答案； （2）①由题设可得为外心，由正弦定理可得外接球半径，然后设相交于点，可证平面，据此可得体积；②过分别向作垂线，由题可得垂足重合，设垂足为，可得为平面与平面所成的锐二面角平面角或该平面角补角，据此可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由题可得到距离相等，结合点在平面内，可得为四边形外心， 即外心，则由正弦定理推论可得，即外接球半径为. 设相交于点，结合（1）解析可得为中点， 则，.连接，因，则. 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，结合平面，则. 则，； ②由①可得，. 如图，过分别向作垂线，易得，全等，则两垂线垂足重合，设为, 则为平面与平面所成的锐二面角平面角或该平面角补角， 由题可得. 则在中，由余弦定理，， 则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 18. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的. （1）若，，求接收的信号为0的概率； （2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. （i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1的概率； （ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）当时，选用三次传输方案；当时，选用哪种传输方案都可以；当时，选用单次传输方案. 理由如下： 记三次传输，发送1，依次收到0，1，1为，依次收到1，0，1为， 依次收到1，1，0为，依次收到1，1，1为，且事件相互互斥. 对于三次传输，记发送1，译码为1为事件， 记单次传输发送1，译码为1为事件，则. 因为，所以. 当时，有，即，此时选用三次传输方案. 当时，有，即，选用哪种传输方案都可以. 当时，有，即，此时选用单次传输方案. 【解析】 【分析】（1）先求条件概率，结合全概率公式可得答案； （2）（i）利用独立事件的概率公式可得答案；（ii）分别表示出两种方式的概率，作差比较，分情况讨论可得答案. 【小问1详解】 设“发送的信号为0”，“接收的信号为0”， 则“发送的信号为1”，“接收的信号为1”. 由题意可得. 【小问2详解】 （i）三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1， 此时依次收到1，0，1的概率为 （ii）略 19. 如图，圆，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段MF的垂直平分线和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）记C的左顶点为A，直线l与C交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为. （ⅰ）证明：直线l过定点； （ⅱ）若P在x轴上方，直线PE与圆E交于点B，点B在x轴上方，是否存在点P，使得与的面积之比为？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）设直线l的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 此时， 由韦达定理得， 所以， 则， 整理得， 解得或， 当时，直线方程为， 此时直线过点，不符合题意； 当时，直线方程为， 此时直线过定点， 综上所述，直线l过定点； （ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用椭圆的定义，即可求解； （2）（ⅰ）设直线l为，联立直线与椭圆方程，结合条件，利用根与系数间的关系，得，进而可解得或，即可得证； （ⅱ）根据条件得，，结合条件可得，即可求解． 【小问1详解】 易知， 所以点N的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且长轴长，焦距， 则， 故曲线C方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）设， 因为，，所以， 因为点P在椭圆上，所以，故， 所以， 又，则， 同理得， 因为，， 由（ⅰ）知，， 所以 ， 可得， 所以， 则， 整理得， 解得或， 又， 所以， 将代入曲线方程中， 解得， 即， 则存在满足题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $