精品解析：湖北天门市华斯达学校2026-2027学年八年级上学期9月作业数学试卷

八年级九月月考试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列各组数可能是一个三角形的三边长的是（ ） A. 3，8，5 B. 6，6，12 C. 5，6，10 D. 3，6，10 2. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部 B. 三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分 C. 三角形的中线、角平分线、高都是线段 D. 三角形的三条高不一定都在三角形的内 3. 如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（ ） A. B. C. D. 4. 图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝（　　） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 6. 如图，已知，，则增加以下哪个条件仍不能判断的是（　　） A. B. C. D. 7. 有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④ 8. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，．点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上．由C点向A点运动．若点Q的运动速度为，则当与全等时，v的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 3或4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 在中，若，则它的最大外角等于_______． 12. 如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，BM⊥AD于点M，CN⊥AD于点N，CN＝6，MB＝2，则NM的长 _____． 13. 如图所示，，则的度数为__度． 14. 如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 15. 如图，的面积为，D、E分别是，上的点，且，，连接，交于点F，连接并延长交于点H，则四边形的面积为_______________． 三、画图题 16. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，均在小正方形的顶点上． （1）画出的边上的高． （2）画出的边上的中线． 四、解答题（69分） 17. 如图，四点共线，且，，．求证：． 18. 如图，且，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 如图，是的中线，是的高，，，，． （1）求高的长； （2）求的面积． 20. 如图，点C是线段AB的中点，两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地，DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B．求证：AD＝BE． 21. 如图，于点，于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 按要求解答下列问题： 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．；B．；C．；D． （2）求得的取值范围是 ． A．；B．；C．；D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 23. 如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： （1）当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； （2）当，米，米，米时，求的值； （3）若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 24. 解决以下问题 （1）如图，，，，交于点，交于点求证： ① ； ② ． （2）将（1）中条件“”改为“”，如图． ①（1）中的结论①____填“成立”或“不成立”． ②（1）中的结论②是否仍然成立若不成立，请求出与的夹角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级九月月考试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列各组数可能是一个三角形的三边长的是（ ） A. 3，8，5 B. 6，6，12 C. 5，6，10 D. 3，6，10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，比较每个选项中的两个较小数的和与最大数的大小关系即可得出答案． 【详解】解：A、∵，∴不是一个三角形的三边长，不符合题意； B、∵，∴不是一个三角形的三边长，不符合题意； C、∵，∴是一个三角形的三边长，符合题意； D、∵，∴不是一个三角形的三边长，不符合题意． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部 B. 三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分 C. 三角形的中线、角平分线、高都是线段 D. 三角形的三条高不一定都在三角形的内 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相关线段的知识点判断．根据三角形重要的线段的相关知识进行判断即可得解． 【详解】解：A、三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部，说法正确，故本选项不符合题意； B、三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，原说法错误，故本选项符合题意； C、三角形的中线、角平分线、高都是线段，说法正确，故本选项不符合题意； D、三角形的三条高不一定都在三角形内部，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到与的周长之差为，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴与的周长之差为  ； ∵，， ∴周长之差为. 4. 图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， 边所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 5. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝（　　） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据三角形内角和定理算出的度数，再根据四边形内角和为，计算出的度数． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，多边形内角和定理，解题的关键是利用三角形的内角和，四边形的内角和． 6. 如图，已知，，则增加以下哪个条件仍不能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴添加，根据可以证明，故A不符合题意； 添加，不能证明，故B符合题意； 添加，根据可以证明，故C不符合题意； 添加，根据可以证明，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 7. 有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，则需带①④两块玻璃，因为可根据“”判定三角形全等； 故选D． 8. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过延长 交 于点 ，利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出线段和面积的关系来求解． 【详解】解：延长 交 于点 平分， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 和 等底等高， ， ， ， ， 故选： 9. 如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 10. 如图，在中，，，．点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上．由C点向A点运动．若点Q的运动速度为，则当与全等时，v的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 3或4 【答案】C 【解析】 【分析】设运动时间为，根据线段的中点可得：再根据题意可得：，，从而可得，然后分两种情况：当时；当时，从而分别进行计算即可解答． 【详解】解：设运动时间为， ∵D是中点，， ∴，， 由题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：，； 综上所述：为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为或． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 在中，若，则它的最大外角等于_______． 【答案】##150度 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出三个内角的度数，再求出三个外角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的三个外角的度数分别为， ∴它的最大外角等于． 12. 如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，BM⊥AD于点M，CN⊥AD于点N，CN＝6，MB＝2，则NM的长 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】由直角三角形的性质得出∠ACN＝∠BAM，证明△ABM≌△CAN（AAS），由全等三角形的性质得出MB＝AN＝2，CN＝AM＝6，则可得出答案． 【详解】解：∵BM⊥AM，AN⊥CN， ∴∠AMB＝∠ANC＝90°， ∴∠CAN＋∠ACN＝90°，∠CAN＋∠BAM＝90°， ∴∠ACN＝∠BAM， 在△ABM和△CAN中，， ∴△ABM≌△CAN（AAS）， ∴MB＝AN＝2，CN＝AM＝6， ∴MN＝AM−AN＝6−2＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 13. 如图所示，，则的度数为__度． 【答案】250 【解析】 【分析】设交于点G，交于点K，交于点H，根据三角形内角和定理以及邻补角的性质可得，，再由，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点G，交于点K，交于点H， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 14. 如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 15. 如图，的面积为，D、E分别是，上的点，且，，连接，交于点F，连接并延长交于点H，则四边形的面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，利用等底同高三角形面积相等，可得，再由等高三角形面积比等于底之比，得到，设，，用、表示图中各个小三角形面积，利用面积比例关系推导出y与x的数量关系，利用的面积为列方程求出x的值，接着利用面积关系得到，求出，最后将与相加即可得到四边形的面积． 【详解】解：， ，， ，即， ， ， 设，，则，， ，， ，， ，即，化简得， ， ，把代入得，解得， ， ，， ，即， ， ， ， 四边形的面积． 三、画图题 16. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，均在小正方形的顶点上． （1）画出的边上的高． （2）画出的边上的中线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（69分） 17. 如图，四点共线，且，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ． 【解析】 【分析】结合题目给出的两组角相等、一组对应边相等的条件，选用判定定理直接证明三角形全等； 【详解】略 18. 如图，且，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，是的中线，是的高，，，，． （1）求高的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，中线： （1）根据，即可求解； （2）根据三角形中线的定义可得，再由三角形的面积公式计算，即可． 【小问1详解】 解：∵是的高， ． ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵是的中线，， ∴， ∴的面积． 20. 如图，点C是线段AB的中点，两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地，DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B．求证：AD＝BE． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明，即可求证． 【详解】证明：根据题意得：CD=CE， ∵DA⊥AB，EB⊥AB， ∴∠A=∠B=90°， ∴△ACD和△BCE都是直角三角形， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC=BC， 在和中， ∵CD=CE，AC=BC， ∴， ∴AD＝BE． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 21. 如图，于点，于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据证明，则可得，再根据证明即可． （2）根据全等三角形对应边相等可得，,进而可得的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，, 又∵， ∴， ∴． 22. 按要求解答下列问题： 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．；B．；C．；D． （2）求得的取值范围是 ． A．；B．；C．；D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【答案】（1）B （2）C （3）证明：如图所示，延长到点，使得，连接 ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用即可证明； （2）根据三角形三边的关系得到，据此求解即可； （3），延长到点，使得，连接，证明，得到，；再证明，即可得到． 【小问1详解】 解：∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 在中，由三角形三边的关系可得， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 23. 如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： （1）当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； （2）当，米，米，米时，求的值； （3）若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 【答案】（1），理由如下： 于点， ， ， ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用同角的余角相等证两角相等； （2）根据证，得到对应边相等，再结合线段差计算； （3）用线段和差得到四个变量关系式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：据题可知，据（1）可知， 在和中， ， ， 米，， ，， 米， 米， ． 【小问3详解】 解：据（2）可知， 则米，米， ，， ，即． 24. 解决以下问题 （1）如图，，，，交于点，交于点求证： ① ； ② ． （2）将（1）中条件“”改为“”，如图． ①（1）中的结论①____填“成立”或“不成立”． ②（1）中的结论②是否仍然成立若不成立，请求出与的夹角的度数． 【答案】（1）①证明∶ ， ， 即， 在和中 ， ． ； ②证明∶， ． ， ， ． （2）①成立；②不一定成立， 【解析】 【分析】（1）①证明，即可证明，推出； ②根据全等三角形的性质和角度的转换即可解答； （2）①根据（1）中证明方法即可解答； ②利用全等三角形的性质和角度的转换即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 成立，理由如下： ， ， 即， 在和中 ， ． ； ②不一定成立， 同（1）可得， ． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $