精品解析：广东省肇庆市第一中学2026-2027学年高三上学期10月检测数学试题

肇庆市第一中学2026—2027学年第一学期 高三年级数学学科10月份检测试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】集合，集合. 在中满足的元素只有，所以 2. 设集合，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，推得是的真子集，即可判断． 【详解】∵集合， ， ∴是的真子集， 是的充分不必要条件． 故选：A． 3. 已知不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由不等式的解集为， 则，且方程的两根为和． 则由韦达定理有，解得 所以． 4. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 5. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设数列的公差为，数列的公比为， 因为，则，所以，， 又，则，，解得， 所以. 6. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求对数函数的定义域，再依据复合函数“同增异减”的单调性规则，结合内层二次函数的单调性取交集得到结果． 【详解】由题得，， 因为对数函数在单调递增，二次函数在单调递减，在单调递增， 所以函数的单调增区间是． 7. 已知函数，若，则（ ）． A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据的值，即可求解. 【详解】，， 所以，则. 8. ，若是的最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式，先求出当时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可． 【详解】解：当时，， 当且仅当：，即时，等号成立， 此时函数的最小值为， 若，则函数的最小值为，此时不是的最小值，此时不满足条件， 若，则要使是的最小值，则满足， 即 解得， ， ， 故选：D． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知，则，A选项正确； ，， ，，，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项正确. 10. 已知数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. 当为偶数时， D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据递推式，依次求即可；对于B，作差得，则数列、为等差数列，再求通项即可；对于CD，分奇偶项求和即可． 【详解】对于A，，，解得，，故A错误； 对于B，，， 所以，所以数列是以为首项，4为公差的等差数列， 数列是以为首项，4为公差的等差数列， 所以，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 11. 已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合奇偶性和对称性，求导运算依次求出是奇函数，，函数和是周期为6的函数，即可依次分析判断ABC，由题意可求出，由得到，求出，即可判断D． 【详解】为偶函数， ， 又， ，即， ， 为周期为6的函数， ， 当时，， ，， 当时，， 当时，， 当时， ， 当时，， ， 对于A选项，，其值无法确定，故A选项错误； 对于B选项，在R上的导函数为， 对两边求导，得， ，即，使用为奇函数， ，故B选项正确； 对于C选项，， ， ， ，故C选项正确； 对于D选项，，故D选项正确. 三、填空题 12. 求函数的图象在点处的切线的方程______． 【答案】 【解析】 【详解】求导得， 则切线斜率， 切线方程为，即． 13. 设是定义域在上的奇函数，，当时，，则的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】转化条件得，进而可得，再利用条件与奇函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 则是以为周期的周期函数， 又是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故答案为：. 14. 设各项均为正数的数列的前项和为，前项积为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意化简可得数列的递推公式，构造法求出其通项公式，从而求解. 【详解】由 得 即 是以2为首项，2为公比的等比数列 . 故答案为： 【点睛】由递推公式求通项公式的常用方法： 1、累加法求通项 适用于： 2、累乘法求通项 适用于： 3、构造法求通项 适用于 形如型 形如：（其中是常数，且）型 形如（其中是常数，且）型 四、解答题 15. 治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈． （1）补全列联表（单位：人），并根据小概率值的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好； 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 传统药 合计 （2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用表示回访中治愈者的人数，求的分布列及均值． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 列联表如下所示： 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 40 10 50 传统药 280 120 400 合计 320 130 450 创新药的疗效没有比传统药的疗效好； （2）分布列为： 5 6 7 【解析】 【分析】（1）根据已知条件补充列联表；利用公式计算出的值，即可作出判断； （2）按疗效比例分层随机抽取10名，则有7名治愈者和3名未治愈者，故，且服从超几何分布，利用超几何概率计算公式进而可求出分布列与期望． 【小问1详解】 根据已知数据补全列联表如下所示： 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 40 10 50 传统药 280 120 400 合计 320 130 450 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据说明创新药的疗效比传统药的疗效好， 所以我们认为创新药的疗效没有比传统药的疗效好； 【小问2详解】 从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，相当于每40名患者抽取1名， 所以治愈者中抽7名和未治愈者中抽3名，现在这10人中随机抽取8人进行回访， 用表示回访中治愈者的人数，其中的可能取值有， 则，，所以服从超几何分布列，即 ， 故分布列为： 5 6 7 所以． 16. 设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意n∈N*，都有2Sn=(n+1)an. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列的前n项和为Tn，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）在中，将代可得：，两式作差可得：，从而可得：，问题得解． （2）利用（1）中结论，设可得：，利用裂项求和可得：，问题得解． 【详解】（1）因为，所以. 两式相减，得，即 所以当时，， 所以,即 又因为，所以，又也符合该式，故. （2）证明：由（1）有，令，n∈N*， 则 所以 = 因为，所以 因为在N*上是递减函数， 所以在N*上是递增函数. 所以当时，取得最小值.所以 【点睛】关键点睛：本题主要考查了赋值法及累乘法求通项公式，还考查了裂项求和方法，解答本题的关键是由，将之裂成，然后用裂项相消法求和，属于中档题. 17. 设函数 （1）若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）或. 【解析】 【分析】 （1）根据是否为零分类讨论，结合二次函数的性质进行求解即可； （2）根据的正负性分类讨论，结合二次函数的性质进行求解即可； （3）将不等式转为关于m的一次函数求解即可. 【详解】（1）当时，，显然恒成立，符合题意； 当时，要想对于一切实数，恒成立， 只需满足且即可，解得， 综上所述：实数的取值范围为：； （2）当时，，显然恒成立； 当时，二次函数的对称轴为：，此时当时，二次函数单调递增，此时， 要想对于任意，恒成立，只需， 即，解得，所以； 当时，二次函数的对称轴为：，当时，二次函数单调递减，此时， 要想对于任意，恒成立，只需， 即，解得，所以， 综上所述：实数的取值范围为； （3）若对于任意，恒成立， 即恒成立，即恒成立， 令，其中， 即是关于m的单调递增的一次函数， 可得， 由题意可得只需，解得或， 则实数x的取值范围是或. 18. 已知函数． （1）若在时取极值，求的值和的极小值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值点可得，则，从而，利用导数求极小值； （2）解法1：根据题意，可得，则，令，利用单调性求最值；解法2：参变分离得，设，利用导数求其最小值，可得解；解法3：利用导数研究函数的单调性，从而得解；解法4：不等式转化为，设，利用导数求的最大值，从而得解. 【小问1详解】 由题意可知：，， 因为，解得， 则，， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，且， 当趋近于或时，趋近于， 可知在定义域内有2个零点和1， 当时，，当时，， 可知在，内单调递增，在内单调递减， 所以在处取极小值，极小值为． 【小问2详解】 解法1：由于不等式对任意恒成立， 则，解得， 下证：当时，， 若，则， 令，由（1）可知，在上单调递增， 则，则， 所以的取值范围为； 解法2：令，则， 设，，则， 设，，则, 可知在上单调递增，则， 即，可知在上单调递增，则， 可得，所以的取值范围为； 解法3：因为，，则， 设，，则， 可知在上单调递增，即在上单调递增， 则，且当趋近于时，趋近于， 当，即时，则在内存在零点， 若，则，可知在内单调递减， 可得，不合题意； 当，即时，则，可知在上单调递增， 则，符合题意； 综上所述：的取值范围为； 解法4：因为，则， 设， 则， 当，即时，则，可知在单调递减， 则，解得； 当，即时， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，下证：， 设,，则， 可知在上单调递增，则， 即，可得，可知不等式恒成立； 综上所述：的取值范围为. 19. 设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有． （1）若，证明：； （2）若，且，求实数a的取值范围； （3）若，且，求函数的最小值． 【答案】（1）证明：设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有， 则，，则， 所以，解得：， 不满足对定义域内任意x都有，． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用集合定义证明即可； （2），化简，通过判别式小于0，求出的范围即可． （3）由，推出，得到对任意都成立，然后分离变量，通过当时，当时，分别求解最小值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由 ， 故； 【小问3详解】 由， 即 对任意都成立， 当时，令在上单调递增， 在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， 在上单调递增， ；       当时，令在上单调递增， 在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， 在单调递增， ；        当时，令在上单调递减，在上单调递增， 在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， 在上单调递减，在上单调递增， 所以． 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆市第一中学2026—2027学年第一学期 高三年级数学学科10月份检测试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 设集合，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 5. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则（ ）． A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 8. ，若是的最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 10. 已知数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. 当为偶数时， D. 11. 已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 求函数的图象在点处的切线的方程______． 13. 设是定义域在上的奇函数，，当时，，则的值为_________． 14. 设各项均为正数的数列的前项和为，前项积为，若，则______． 四、解答题 15. 治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈． （1）补全列联表（单位：人），并根据小概率值的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好； 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 传统药 合计 （2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用表示回访中治愈者的人数，求的分布列及均值． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意n∈N*，都有2Sn=(n+1)an. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列的前n项和为Tn，求证：. 17. 设函数 （1）若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）若在时取极值，求的值和的极小值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 19. 设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有． （1）若，证明：； （2）若，且，求实数a的取值范围； （3）若，且，求函数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $