河南高三数学上学期限时练（北师大版必修第二册第四章第二节两角和与差的三角函数公式）

《两角和与差的三角函数公式》的作业设计 一、作品基础信息 作品名称 《两角和与差的三角函数公式》的作业设计 学段学科 高中 数学 适用年级 高三年级（一轮复习） 教材版本 北师大版 对应内容 必修第二册第四章三角函数恒等变换第二节两角和与差的三角函数公式，包含公式正用、逆用、变形应用、辅助角公式、三角恒等求值与证明 作业类型 备考复习作业 完成时长 总时长 60 分钟（基础选择约 20 分钟，中等填空约 8 分钟，解答题约 20 分钟，提升题12分钟） 二、设计背景与意图 1.课标与教材分析 课标要求：本作业对应数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养，达成《普通高中数学课程标准（2017年版2020修订）》学业质量水平二至水平三；能够推导两角和差的三角恒等变换公式，理解公式之间逻辑关联，灵活运用公式完成求值、化简、证明，能结合单位圆、三角形情境解决综合三角问题，对运算结果做合理性检验。 教材地位：两角和与差的三角公式是三角恒等变换的基石，是二倍角、降幂升幂、辅助角公式推导的源头；同时为解三角形、三角函数图像性质综合题提供运算工具。一轮复习本课需要把公式的正用、逆用、变形用、角的配凑系统化，建立“观察角关系——选择公式——运算化简——检验范围”完整思维链条。 教学重难点：重点为两角和差正弦、余弦、正切公式识记与基础运算；难点是角的配凑变换、公式逆用变形、辅助角公式应用；求值问题中角的范围对三角函数符号的约束；区分不同公式的适用条件。 2.学情分析 维度 具体描述 已有基础 高二已经学习三角恒等变换，能直接套公式完成简单代入运算；掌握同角三角函数基本关系、诱导公式，熟悉单位圆三角函数定义；见过给角求值、给值求值基础题型。 现有困惑 一轮复习普遍“会公式但不会做题”：不会观察角之间的和差配凑关系；忽略角的范围导致三角函数符号出错；公式逆用识别困难；正切和差变形、辅助角公式系数提取出错；多步运算中间步骤计算失误。 差异分析 班级约学生运算能力强，但配凑角、公式变形思维薄弱，缺少一题多解训练；约学生基础公式会用，综合给值求值、结合单位圆、三角形背景题目容易失分，需要结构化题型训练；约学生公式记忆混淆，基础选择填空容易出错，依靠18题基础题目夯实基础，课后针对性辅导。 3.设计意图 本作业立足高三一轮复习“夯实公式、训练配凑、暴露运算漏洞”定位，按照基础选择——中等填空——综合解答——能力提升四梯度编排14道习题；前8道选择实现公式正用、逆用、变形的概念辨析，唤醒旧知，保障基础得分；910填空题训练限定条件下求值，强化角范围意识；1112解答题设置证明、代数求值、单位圆几何情境综合，训练角配凑思想；1314能力提升题强化复杂变形与综合迁移。全作业以“角的变换”为主暗线，推动学生从机械套公式转向观察角度关系、灵活选用公式，同时配套四维评价量表，引导学生完成错题反思订正闭环。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 复述辨别两角和差正弦、余弦、正切公式，识别公式正用、逆用形式；清楚正切公式成立条件；掌握辅助角公式结构，能够根据角范围判断三角函数正负号 数学抽象 正确率、公式复述、符号取舍 能力运用 B 运用和差公式完成给角求值、给值求值、三角恒等式证明；掌握角配凑技巧；可以结合单位圆、三角形背景解决三角综合计算题 数学运算、数学建模 解题步骤、公式选用、运算结果 思维发展 C 推理辨析角之间内在关系，体会 “角的配凑” 整体代换思想；可以利用多种路径求解同一道题目；重视角范围约束，规避符号错误；践行正难则反的变形策略 逻辑推理 论证过程、多角度解法、范围讨论书写 情感态度 D 体会三角恒等变换内在逻辑统一，养成严谨运算、审题关注角度范围的习惯；做完题目主动反思错因，形成订正反思复习习惯 科学精神 反思语句、订正痕迹 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案 / 评价要点 1 单选 余弦和差公式直接应用，给角求值 A、B 直接考查余弦和角公式，区分余弦和、差公式符号，检测基础公式记忆 D；注意cos(A+B)展开形式，易错混淆符号 2 单选 利用和角正弦公式展开化简求tanα B、C 展开和差正弦等式，转化弦化切，训练代数变形 B；展开等式移项整理，弦切互化 3 单选 配凑63∘=18∘+45∘，给值求值 B、C 训练角配凑思想，把目标角拆成已知角和特殊角，和角正弦公式应用 C；重点评价是否能观察角度拆分 4 单选 已知sinα+sinβ、cosα+cosβ，求cos(α−β) B、C 平方相加构造差角余弦，经典题型，训练整体构造思维 C；易错忘记合并后常数计算错误 5 单选 韦达定理结合正切和角，2α=(α+β)+(α−β)角配凑 C、B 根与系数关系+角配凑，考查正切和差公式变形 B；识别2α角度拆分是得分关键点 6 单选 二阶行列式定义转化三角式，求角β B、C 新定义情境转化为差角正弦，再利用角的配凑β=α−(α−β)求解 D；必须结合0<β<α<2π​判断三角函数符号 7 多选 和差公式、辅助角综合辨析 A、B 多角度判断正误，覆盖 tan15°、逆用和角、辅助角化简 B、C；评价要点：辅助角公式系数提取、逆用公式识别 8 多选 恒等变形、辅助角、正切变形结论综合辨析 A、C 综合考察公式变形、辅助角最值、正切变形结论，排查易混易错点 A、D；注意辅助角振幅计算，正切变形条件 9 填空 诱导公式+差角余弦求值，限定α范围 B、C 先由诱导得到cosα，结合角度范围确定sinα，再代入差角余弦；考查范围对符号约束 －​；没有判断sinα符号扣步骤分 10 填空 三角形中正切变形求内角C B、C 三角形内角关系结合正切和差变形；隐含条件A+B+C=π 120∘；忽略三角形内角范围会出错 11 解答 已知sin(α−β),sin(α+β)；(1)证明tanα+5tanβ=0；(2)分式三角化简求值 B、C 第一问展开和差正弦，代数变形证明恒等式；第二问借助tan(α−β)变形整体代换，不单独求解角度 (1) 展开移项整理；(2)；需要书写公式变形依据 12 解答 单位圆情境，锐角α钝角β；(1)cos(α−β)；(2)求2α−β B、C、D 结合单位圆、三角形面积获取三角函数值；配凑2α−β=α+(α−β)，求解角必须严格讨论角的取值区间 (1)－​；(2)－；角度范围分析是重要评分点 13 单选能力提升 切化弦结合辅助角、诱导公式综合化简 C、B 复杂分式三角化简，切化弦、提取系数配凑和差角，综合运算 D；考察学生多步化简运算的严谨度 14 填空能力提升 诱导变换，已知正弦余弦和，求cos(α−β) C、D 利用诱导转化条件，平方相加整体构造差角余弦，综合变形 ​；整体思想，不单独求解α,β 五、作业评价 维度 A(优秀) B(良好) C(待改进) 权重 得分 知识理解 基础题全部正确，公式记忆准确，能关注公式限制条件与角的符号 少量公式细节、符号错误 多处公式记错，符号频繁出错 20% 能力运用 公式选用合理，步骤完整清晰，角度配凑思路明确 公式基本正确，少量运算失误 公式选择不当，缺少关键步骤 30% 思维发展 能识别角配凑、整体代换，能有意识讨论角度范围，一题多解优先 逻辑清楚，但缺少角度范围分析 思路混乱，不会做角度变换 30% 情感态度 主动完成，主动标注错题，书写反思，主动复盘角度、公式易错点 态度端正，可以完成全部习题 被动完成，缺少订正反思 20% 六、试题详情 基础巩固层 一、单项选择题 1.cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°等于( ) A. B. C.－ D.－ 2.已知α为锐角，且sin＝sin则tan α等于( ) A. B.2＋ C. D. 3.若sin 18°＝m，则sin 63°等于( ) A.－m) B.m＋ C.(m＋) D.m＋ 4.已知sin α＋sin β＝cos α＋cos β＝则cos(α－β)的值等于( ) A.－ B.－ C.－ D. 5.已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则tan 2α等于( ) A.－1 B.1 C.－2 D.2 6.定义运算＝ad－bc，若cos α＝0<β<α<则β等于( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 7.下列等式成立的有( ) A.tan 15°＝ B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1 C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D.sin 15°＋cos 15°＝1 8.下列结论正确的是( ) A.sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ) B.sin x＋cos x＝sin C.f(x)＝sin ＋cos 的最大值为2 D.tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1 三、填空题 9.已知sinα∈则cos的值为 .  10.在△ABC中，已知tan A＋tan B＋tan Atan B＝则C＝ .  四、解答题 11.已知sin(α－β)＝sin(α＋β)＝. (1)证明：tan α＋5tan β＝0； (2)计算的值. 12.如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝点B的横坐标是－. (1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值. 能力提升层 13.的值为( ) A. B. C.2 D.4 14.已知sin＝sin β，sin α＋cos α＝sin β＋cos β＝则cos(α－β)＝ .  七、试题答案详解 一、单项选择题 1. 答案D 解析：：原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°＝cos(50°＋160°)＝cos 210°＝－cos 30°＝－. 2. 答案B 解析：因为sin＝sin所以sin α＋cos α＝sin α－cos α，所以(＋1)cos α＝(－1)sin α，所以tan α＝＝2＋. 3.答案C 解析：因为sin 18°＝m，所以cos 18°＝ 所以sin 63°＝sin(18°＋45°)＝(sin 18°＋cos 18°)＝(m＋). 4. 答案C 解析：sin α＋sin β＝⇒sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝ ① cos α＋cos β＝⇒cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝ ② ①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝⇒cos(α－β)＝×＝－. 5. 答案B 解析：由题意可得tan(α＋β)＋tan(α－β)＝－5， 且tan(α＋β)tan(α－β)＝6， 则tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝1. 6. 答案D 解析：由题意得，sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝. ∵0<β<α<∴0<α－β<∴cos(α－β)＝. 又∵cos α＝∴sin α＝ sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝××∴β＝. 二、多项选择题 7. 答案BC 解析：对于A，tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝2－故A错误； 对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确； 对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确； 对于Dsin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝故D错误. 8. 答案AD 解析：对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A正确； 对于Bsin x＋cos x＝2＝2sin故B错误； 对于C，f(x)＝sin ＋cos sin所以f(x)的最大值为故C错误； 对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确. 三、填空题 9. 答案－ 解析：由已知得cos α＝sin α＝－所以coscos α＋sin α＝－. 10. 答案120° 解析：由题意可知tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)， 所以tan(A＋B)＝ ＝ 因为0°<A＋B<180°，所以A＋B＝60°， 故C＝180°－(A＋B)＝120°. 四、解答题 11. (1)证明：（方法一）由条件sin(α－β)＝ sin(α＋β)＝ 得2sin(α－β)＝3sin(α＋β)， 即2sin αcos β－2cos αsin β＝3sin αcos β＋3cos αsin β， 整理得sin αcos β＝－5cos αsin β， 也即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证. （方法二）由条件sin(α－β)＝sin(α＋β)＝ 即sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＋cos αsin β＝ 得sin αcos β＝cos αsin β＝－从而可得tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证. (2)解：由于tan(α－β)＝⇒tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， 所以＝＝＝－. 12.解(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，点A(cos α，sin α)，则有S△OAM＝|OA|·|OM|·sin α＝ 解得sin α＝又α为锐角，则cos α＝ 因为钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是－ 则cos β＝－sin β＝ 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝××＝－. (2)由(1)知sin α＝cos α＝sin β＝cos β＝－ 则sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝××＝－ 从而sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝××＝－ 因为α为锐角，sin α＝>则有α∈ 即2α∈又β∈因此2α－β∈ 所以2α－β＝－. 13.答案D 解析：＝4. 14. 答案 解析：因为sin＝sin β，所以cos α＝sin β，所以sin α＋sin β＝cos α＋cos β＝ 所以 两式求和得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2＋2cos(α－β)＝2＋ 所以cos(α－β)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $