江苏连云港市东海县白塔高级中学2023-2024学年第二学期第一次学情检测高一年级数学试题

白塔高级中学2023-2024学年度第二学期第一次学情检测 高一年级数学试题 时间：120分钟 总分：150 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知向量，且，则(    ) A. B. C. 6 D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题目. 根据平面向量平行的坐标公式计算即可. 【解答】 解：因为向量  ，且  ， 所以  ，解得  . 故选： 2.在中，“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查在三角形中，余弦值的大小和相应角的关系，以及充分必要条件的判定，属于基础题目. 先考虑充分性，再考虑必要性，利用三角函数的单调性可得解. 【解答】 解：在三角形中，， 当  ，因为  在  内单调递减，所以  ， 所以“  ”是“  ”的充分条件； 当  时，因为  在  内单调递减，所以  ，所以“  ”是“  ”的必要条件. 综上可得“”是“”的充要条件. 故选： 3.已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为(    ) A. B.          C.          D. 或 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查纯虚数的定义，解题时应注意实部为零、虚部不为零，属于基础题． 根据纯虚数的定义，列出满足题意的式子，求解即可． 【解答】 解：由是纯虚数，得，解得． 故选：． 4.已知，，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查两角差的余弦公式、同角三角函数基本关系式，意在考查学生的基本运算能力，属于中档题． 先计算得 、 ，再利用两角差的余弦公式得到 的值，进而求出角  . 【解答】 解：因为  ，所以  ，因为  ， 所以  ，又  ，所以  ，则  ，又  ，所以  . 5.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为(    ) A. B. 6 C. D. 4 【答案】B  【解析】解：以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，， 设，，，所以，， 所以，所以， 当，即时，取得最小值，为 故选： 6.已知，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查两角和差的正弦公式以及二倍角余弦公式的应用，属于基础题目. 首先用两角差的正弦公式将原式化简，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【解答】 解：  所以  ， 所以  故选： 7.在中，若，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查正弦定理及变形，考查同角三角函数关系，考查两角和的正弦，属基础题． 利用正弦定理转化已知，结合三角函数恒等变换的应用化简，进而得，结合范围，即可得解的值． 【解答】 解：根据正弦定理，可知，，， 代入， 可得， 又， ， 则， ， ， 又，得． 故选： 8.在平行四边形ABCD中，已知，，，，则(    ) A. B. C. 6 D. 9 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查平面向量的数量积问题，属于基础题目. 利用平面向量的线性运算及平面向量的数量积的运算律，可以得所求数量积的值. 【解答】 解：由题意可得：， ， ，① ，② ①-②得：，即， 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知向量，若为锐角，则实数 m 可能的取值是(    ) A. B. 0 C. D. 1 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查了向量线性运算的坐标表示、向量数量积的坐标运算、向量线性运算的坐标表示等知识，属中档题. 利用向量的减法法则及向量减法的坐标表示，根据已知条件及向量的数量积的坐标表示，结合向量共线的条件即可求解. 【解答】 解：因为  ， 所以  . 因为  为锐角， 所以  ，解得  . 当  时，  ，解得  . 当  为锐角时，实数 m 的取值范围是  . 所以实数 m 可能的取值是0， 故选： 10.下列各式中，值为的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查三角恒等变换的运用，属于较易题． 利用二倍角的正弦公式即可判断；利用两角和的正切公式即可判断；利用二倍角的余弦公式即可判断；利用二倍角的正切公式即可判断． 【解答】 解：对于选项，，故A错误； 对于选项，，故B正确； 对于选项，，故C正确； 对于选项，，故D正确． 故选：． 11.在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查了正弦定理，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 直接根据正弦定理逐项判断即可得解． 【解答】解：对于A，，，此时B不存在，即无解； 对于B，，，，只有一解， 对于C，，，A为三角形内角，，只有一解， 对于D，，得，，有两个解， 故选 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若向量，，且，共线，则__________. 【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量数量积的坐标运算，向量共线，属于基础题. 根据向量共线的充要条件得出  ，然后利用向量的坐标运算即可求解. 【解答】 解：因为  ，  共线，所以  ，解得：  ， 所以  ，  ， 所以  ， 故答案为：  . 13.已知，满足，，，，则__________. 【答案】  【解析】【分析】 本题考查两角差的正弦公式，涉及同角三角函数基本关系，及三角函数在各个象限符号，属于基础题. 【解答】 解：由于，所以， 由于，所以， 所以， 故答案为： 14.在半径为1的扇形AOB中，，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是__________. 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了向量的数量积运算、基本不等式求最值，为中档题. 根据题意可知 的最小值在  反向时取得，得，再由基本不等式求得最小值. 【解答】 解：设弦 AB 中点为 M ，则  ，若  同向， 则  ；若  反向，则  ， 故  的最小值在  反向时取得，此时  ，  ， 当且仅当  时取等号，即  的最小值是  四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知，，且、求： 1的值；   2的值． 【答案】解：1解：，， ，， ，·················2分 ，············4分 ．················7分 2由1得， ，················11分 又， ． ·························13分 16.已知向量，． 求的值； 求向量与的夹角． 【答案】 解：向量，． ，······················3分 ．·····················5分 所以．············7分 ，，·······················9分 ，··························11分 所以，．··········13分 又， 所以向量与的夹角为 ··················15分 17.在中，角，，对应边分别为，，，若． 求角；       若，求的取值范围． 【答案】解：， 由正弦定理可得， ， ， ，·············3分 而， ， ，····················5分 ， ，；·················7分 法一：由题意，，，，··········9分 由余弦定理当且仅当时取等号，即，·············13分 ． ， ． ······················15分 法二：在中，由正弦定理得，··········9分 ，，B+C= ，····12分 故．······················15分 18.如图，某小区有一块空地，其中，，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上不与，重合，且在，之间，且． 若，求的值； 为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小．设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值． 【答案】解：在中，，，， 由余弦定理得 ， 所以，···············3分 所以 ．·····················5分 在中，， 所以， 所以． 在中，由正弦定理得， 所以．··············8分 在中，由正弦定理得， 所以，·················10分 在中，由正弦定理得 所以．··················12分 所以 ，，········14分 又，所以，··········16分 所以当，即时，的面积取得最小值，此时面积的最小值为． ····················17分 19.已知函数 求函数的单调递减区间 求函数在区间的最大值和最小值 若在区间上恰有两个零点，，求的值． 【答案】解： ，····················3分 由，， 可得，， 即的单调递减区间为，；······5分 因为，所以， 所以，所以，·····7分 当时，即时，，·········9分 当时，即时，，········11分 由题意可得，． 即， 所以．·············12分 所以，即可得， 所以，·······14分 因为已知，所以可设，则， 所以，·16分 因为，且，所以， 所以． ················17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 白塔高级中学2023-2024学年度第二学期第一次学情检测 高一年级数学试题 时间：120分钟 总分：150 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，且，则(    ) A. B. C. 6 D. 2.在中，“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为(    ) A. B.          C.          D. 或 4.已知，，且，则(    ) A. B. C. D. 5.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为(    ) A. B. 6 C. D. 4 6.已知，则(    ) A. B. C. D. 7.在中，若，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 8.在平行四边形ABCD中，已知，，，，则(    ) A. B. C. 6 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量，若为锐角，则实数 m 可能的取值是(    ) A. B. 0 C. D. 1 10.下列各式中，值为的是(    ) A. B. C. D. 11.在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若向量，，且，共线，则__________. 13.已知，满足，，，，则__________. 14.在半径为1的扇形AOB中，，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知，，且、求： 1的值；   2的值． 16.已知向量，． 求的值； 求向量与的夹角． 17.在中，角，，对应边分别为，，，若． 求角；       若，求的取值范围． 18.如图，某小区有一块空地，其中，，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上不与，重合，且在，之间，且． 若，求的值； 为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小．设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值． 19.已知函数 求函数的单调递减区间 求函数在区间的最大值和最小值 若在区间上恰有两个零点，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $白塔高级中学2023-2024学年度第二学期第一次学情检测 高一年级数学试题 时间：120分钟 总分：150 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量a=(m,4),五=(3，-2)，且d乃，则m=() A.-5 B.-6 C.6 D.-9 2.在△ABC中，cosA>cosB”是“A<B的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知i是虚数单位，若(m2-1)+(m2-3m+2)i是纯虚数，则实数m的值为() A.1 B.-1 C.±1 D.1或2 4.已知cosa=月os(a-)=是且0<B<a< ,则B=() A日 B君 C.3 D.5x 12 5.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB⊥BC, 0 AD=1,BC=2,P是线段AB上的动点，则PC+ 4PD的最小值为() A.3V5 B.6 C.2W⑤ D.4 6.已知sin(a-)+cosa=多则cos(2a+)-() A-3 B. 1 c D 7.在△ABC中，若V√3 asinB=c-bcosA,则B=() A君 B c.或π D.或π 33 66 8.在平行四边形ABCD中，已知DE=元，B萨=号F元，AE=2,A=2V3, 则AC.BD=() A.-9 B.-6 C.6 D.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。 9.已知向量0A=(3,-4),0B=(6,-3),0C=(5-m,-3-m),若∠ABC为锐角， 则实数m可能的取值是() A.-1 B.0 D.1 10.下列各式中，值为3的是() A.2sim15°c0s15° B. 1+tan15 2(1-tan15) C.1-2sin215° D. 3tan15 1-tan215° 11.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是() A.b=7,c=3,C=309 B.b=5,c=4,B=45° C.a=6,b=3y3,B=60° D.a=20,b=30,A=30° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若向量a=(作，1)，石=(3，k,且a,共线，则（位-）·(2a+可= 13.已知a,B满足0<&<妥<B<g,cos(任+ad）=君sim(任+B)=号则 sin(a-β) 14.在半径为1的扇形AOB中，∠A0B=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于 点P,则OP.BP的最小值是 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18、19 题每题17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知cosm=5, sina-)=且a、BE(0,)求 (1)cos(2a-B)的值： (2)B的值. 16.已知向量a=(-2,1),b=(3,-4). (1)求a+b·(2a-b的值： (2)求向量a与a+的夹角. 17.在△ABC中，角A,B,C对应边分别为a,b,c,若V3 asinC+acosC=c+b. (1)求角A: (2)若a=√3，求b+c的取值范围. 18.如图，某小区有一块空地△ABC,其中AB=50,AC=50,∠BAC=90°，小 区物业拟在中间挖一个小池塘△AEF,E,F在边BC上(E,FC, 不与B,C重合，且E在B,F之间)，且∠EAF=平 B (1)若BE=10V2,求EF的值： (2)为节省投入资金，小池塘△AEF的面积需要尽可能的小.设∠EAB=O, 试确定的值，使得△AEF的面积取得最小值，并求出△AEF面积的最小值. 19.已知函数f(x)=2sin(号-x)sin(号+x)-1+2W3 sinxcosx.. (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)求函数f(x)在区间[0，]的最大值和最小值； (3)若g(x)=f(0)-在区间[0，]上恰有两个零点x1,x2(x1<x),求 in(x1-x2)的值.白塔高级中学2023-2024学年度第二学期第一次学情检测 高一年级数学试题 时间：120分钟 总分：150 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1.已知向量a=(m,4),五=(3，-2)，且d/乃，则m=() A.-5 B.-6 C.6 D.-9 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题目 根据平面向量平行的坐标公式计算即可」 【解答】 解：因为向量a=(m,4),b=(3,-2),且/乃， 所以-2m-12=0,解得m=-6. 故选：B 2.在△ABC中，cosA>cosB”是“A<B的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查在三角形中，余弦值的大小和相应角的关系，以及充分必要条件的判定， 属于基础题目. 先考虑充分性，再考虑必要性，利用三角函数的单调性可得解 【解答】 解：在三角形中，A,BE(0,π)， 当cosA>cosB,因为y=cosx在(0，π)内单调递减，所以A<B, 所以“c0sA>C0sB”是“A<B的充分条件： 当A<B时，因为y=cosx在(0，π)内单调递减，所以cosA>cosB,所以 “c0sA>cOsB”是“A<B的必要条件 综上可得“CosA>cosB是“A<B的充要条件 故选：C 3.已知i是虚数单位，若(m2-1)+(m2-3m+2)i是纯虚数，则实数m的值为() A.1 B.-1 C.±1 D.1或2 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查纯虚数的定义，解题时应注意实部为零、虚部不为零，属于基础题， 根据纯虚数的定义，列出满足题意的式子，求解即可， 【解答】 解：由(m2-1)+(m2-3m+2)i是纯虚数，得} n3n+290解得m=-1 故选：B. 4.已知cosu=2之 os(a-)=是且0<B<a< ,则B=() A于 B.8 D. 【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查两角差的余弦公式、同角三角函数基本关系式，意在考查学生的基 本运算能力，属于中档题 先计算得sma=9、sna-)=源，再利用两角差的余弦公式得 到cosB的值，进而求出角B. 【解答】 解：因为cosa=,0<&<,所以sima=5,因为0<B<a<, 所以0<a-B<,又cos(a-)=是，所以sin(a-P)=8f,则cosB cos [a-(-B)]-cos acos (B)+sin casin (-B) 7 14 3又0<B<5,所以B= 5.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB1BC, AD=1,BC=2,P是线段AB上的动点，则PC+ 4PD1的最小值为() A.3V5 B.6 C.2W5 D.4 月 【答案】B 【解析】解：以B为原点，BC,BA所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平 面直角坐标系，则B(0,0),C(2,0), 设A(0,m),D(1,m),P(0,y),所以P元=(2，-y),PD= (1,m-y), 所以P元+4PD=(6,4m-5y),所以P元+4PD1= √36+(4m-5y)2, 当4m-5y=0,即AP-AB时，PC+4PD1取得最 小值，为6 故选：B. 6.已知sin(a-)+cosa=号则cos(2a+)-() A-君 B.5 7 c 器 D. 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查两角和差的正弦公式以及二倍角余弦公式的应用，属于基础题目： 首先用两角差的正弦公式将原式化简，再利用二倍角的余弦公式求解即可 【解答】 解：sin(e-)+cosw=sima-cosa+osa 3 所以5sina+cosa= 5 所以sin(a+)=, 97 cos(2a+9=cs2(a+3=1-2sm2(a+君=1-2×28方 故选：B. 7.在△ABC中，若V3 asinB=c-bcosA,则B=() Ag B. c或n D. 61 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查正弦定理及变形，考查同角三角函数关系，考查两角和的正弦，属基础 题 利用正弦定理转化已知，结合三角函数恒等变换的应用化简，进而得血日 tanB=怎，结合范围BE(0,),即可得解B的值。 【解答】 解：根据正弦定理，可知a=2 RsinA,b=2 RsinB,c=2 RsinC, 代入V3 asinB=c-bcosA, 可得√3 sinAsinB=sinC-sinBcosA, 又：A+B+C=π， .sinC sin(A+B)=sinAcosB cosAsinB, 则√3 sinAsinB=sinAcosB, .sinA≠0， ..sinB cosB tanB =3 1 又BE(0,m),得8= 故选：A 8.在平行四边形ABCD中，已知D正=E元，B丽=F元，AE=2,A=2√3， 则AC.BD=.() A.-9 B.-6 C.6 D.9 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查平面向量的数量积问题，属于基础题目 利用平面向量的线性运算及平面向量的数量积的运算律，可以得所求数量积的 值 【解答】 解：由题意可得：A正=Ad+D正=A而+DC-而+A丽， D AF-AB +BF-AB+BC-AB+AD, :AE=AD+AB.Ad+AB=4,① 2=丽2+AD+D=12,② ①-②得：号4D2-号d-8,即AB2-AD2=9, .AC.BD=(AB+AD)(AD-AB)=AD2-AB2=-9. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分. 9.已知向量0A=(3,-4),0B=(6,-3),0C=(5-m,-3-m),若LABC为锐角， 则实数可能的取值是() A.-1 B.0 C. D.1 【答案】BD 【解析】【分析】 本题考查了向量线性运算的坐标表示、向量数量积的坐标运算、向量线性运算的 坐标表示等知识，属中档题 利用向量的减法法则及向量减法的坐标表示，根据已知条件及向量的数量积的坐 标表示，结合向量共线的条件即可求解 【解答】 解：因为0A=3,-4),0B=(6,-3),0C=(5-m,-3-m), 所以BA=0A-0B=(-3,-1),BC=0C-0B=(-1-m,-m) 因为∠ABC为锐角， 所以BA.BC=(-3,-1)(-1-m,-m)=3+3m+m>0,解得m>- 当BA/BC时，(-3)×(-m)-(-1-m×(-1)=0,解得m= 当1ABC为锐角时，实数m的取值范国是（一U(,+四）. 所以实数m可能的取值是0,1. 故选：BD 10.下列各式中，值为3的是() A.2sim15°c0s15°B. 1+tan15° 2(1-tn15) C1-2sm215°D.mg 【答案】BCD 【解析】【分析】 本题考查三角恒等变换的运用，属于较易题. 利用二倍角的正弦公式即可判断A;利用两角和的正切公式即可判断B:利用二 倍角的余弦公式即可判断C:利用二倍角的正切公式即可判断D. 【解答】 解：对于A选项，2sin15cos15=sin30-号故A错误； 对于B选项， 1+tan15° 2(1-tan15) ×55-am60-号故B正确： 对于C选项，1-2sin215°=c0s30°=气，故C正确； 对于D选项， 3tan15°3、 1-tan2150=2X× 2器-am30-号故D正确 故选：BCD, 11.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是() A.b=7,c=3,C=30° B.b=5,c=4,B=45 C.a=6,b=3V3,B=60 D.a=20,b=30,A=30° 【答案】BC 【解析】【分析】 本题考查了正弦定理，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 直接根据正弦定理逐项判断即可得解。 sg=sn0,sinB-名>1，此时B不存在，即无解： 【解答】解：对于A,7=,3 对于B, m=点sinC=c<b,只有-解， 5 44 对于C,品=怎sinA=1,4为三角形内角，A=90,只有一解， s300 对于D,20 -品得sinB-是a<b,有两个解， 故选BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若向量d=（ 仔1)，石-(3，)，且a,洪线，则（位-·(2a+列 【答案】-13 【解析】【分析】 本题考查向量数量积的坐标运算，向量共线，属于基础题 根据向量共线的充要条件得出k=2,然后利用向量的坐标运算即可求解 【解答】 解：因为石，共线，所以k=3,解得：k=2, 所以a-石=(-，-1)，2a+6=(6,4), 所以(a-可(2a+)=-×6+(-1)×4=-13, 故答案为：-13 13.已知a,B满足0<&<景年<B<,cos(任+a)=sin(匠+P)=是则 sin(a-β)= 【答案】- 【解析】【分析】 本题考查两角差的正弦公式，涉及同角三角函数基本关系，及三角函数在各个象 限符号，属于基础题 【解答】 解：由于0<a<所以<+u< 由于<B<华所以<+B<π， 所以sim(任+a）=、1-cos2(+a=cos(（任+P)=1-sim2(+)= 13 sina-)=sinl[G+a(匠+p】 =sim(+aos(G+A）-cos(G+a)sin(（G+) 青x(尉)岩胎 -65 故答案为： 56 65 14.在半径为1的扇形AOB中，∠A0B=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于 点P,则OP.BP的最小值是 【答案】-品 【解析】【分析】 本题考查了向量的数量积运算、基本不等式求最值，为中档题 根据题意可知OP.BP的最小值在MP,BP反向时取得，得MP+BP1=再由 基本不等式求得最小值， 【解答】 解：设弦AB中点为M,则Op.BP=(OM+MP)·BP=MP.BP, 若MP,BP同向， 则OP.BP>0:若MP,BP反向，则OP.BP<0, 故O乎.BP的最小值在M亚，B驴反向时取得，此时MP+B=号，O乎.BP= M,1≥-(@生厨)2=-6， 当且仅当M-B驴-时取等号，即0丽：B驴的最小值是-6 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15已知cosa=5,sin(a-)=且a、Be(o,)求： (1)cos(2a-B)的值： (2)B的值. 【答案】解：()解：aBE(0,),a-BE(-), cosa= 5 sin(a-B)=v10 10 ÷sina=V1-cos2a=2y5 5 …2分 cos(a-B)=v1-sin2(a-B)=0 10 …4分 .cos(2a-B)=cos[(a-β)+a]=cos(a-β)cosa-sin(a-β)sina =3@x5_×25-=2 10 …7分 510 5 10 (2)由(1)得， cosB=cos[a-(a-β)]=cosacos(a-β)+sinasin(a-β) =9×F+25×细号 …11分 10 5 10 21 又：BE(0,2), B=骨 …13分 16.己知向量a=(-2,1),万=(3，-4). (1)求a+b)·(2a-b)的值： (2)求向量a与a+的夹角. 【答案】解：(1)向量a=(-2,1),b=(3,-4). (a+b)=(1,-3),…3分 (2a-b)=(-7,6).…5分 所以(a+万·(2a-万=-7-18=-25.…7分 (2)a+b=(1,-3),a(a+b)=-5, …9分 |问=V5,a+1=√10…11分 所以cos<a,a+b>= a(a+b) 2 V5xVi污=- -5 …13分 lalla+bl 21 又<a,a+b>e[0,m 所以向量a与a+b的夹角为 .…15分 17.在△ABC中，角A,B,C对应边分别为a,b,c,若V3 asinc+acosC=c+b. (1)求角A: (2)若a=√3，求b+c的取值范围. 【答案】解：(1)在△ABC中，√3 asinC+acosC=c+b, ∴由正弦定理可得sinAcosC+V3 sinAsinC=sinB+sinC, .sinAcosC+3sinAsinC sin(A+C)+sinC, .sin Acos C+v 3sin Asin C=sinAcosC+sinCcosA sin C, .v3sin Asin C sinCcosA sin C,..........3 而sinC≠0， .V3sinA-cosA =1, sin(4-309)=2 …5分 -30°≤A-30°<150°， A-30°=30°，A=60;…7分 (2)法一：由题意，b>0,c>0,b+c>a=V3,…9分 “由余弦定理3=b2+c2-2 bccose60°=(b+c)2-3bc≥1(b+c)2(当且仅当 b=c=√3时取等号)，即(b+c)2≤12，…13分 b+c≤2V3. b+c>v3, V3<b+c≤2V3.…15分 法一：在△ABC4,由正弦定理得品-品。c=2,9分 b=2sinB,c=2sinC,B+C-27 3 b+c=2sinB+2sinc=2(sinB+sin(-B=2v3sin(B+, Be(,9）B+名c(g） 2<sim(8+君≤1 故√3<b+c≤2W3.…15分 18.如图，某小区有一块空地△ABC,其中AB=50,AC=50,∠BAC=90°，小 区物业拟在中间挖一个小池塘△AEF,E,F在边BC上(E,F不与B,C重合，且E 在B,F之间)，且∠EAF= (1)若BE=10V2,求EF的值： (2)为节省投入资金，小池塘△AEF的面积需要尽可能 的小.设∠EAB=O,试确定0的值，使得△AEF的面积取 得最小值，并求出△AEF面积的最小值. 【答案】解：(1)在△ABE中，AB=50,BE=10V2,B= 由余弦定理得AE2=BA2+BE2-2BA·BEcosB =502+(10V22-2×50×10W2×9=1700, 所以AE=10V17,…3分 所以cOS∠EAB=AE2+AB2-BE2 2AEAB _(10W17)2+502-(10W2)2 2×10V17×50 4W17 …5分 17 在△ABF中，∠AFB+∠ABF+∠FAB=π， 所以∠AFB=T-(∠ABF+∠FAB)=号-∠EAB, 所以sin-AFB=sin(G-∠EAB)=costEAB=+, 17 在AAEF中，由正弦定理得2 EF sinLFAE' 所以EF= AE sin∠FAE85v2 …8分 sin∠AFE 4 (2)在△ABE中，由正弦定理得 AB sinB ,sim[π-(B+6)]' 所以AB=50x_ 50 sin@+cose' …10分 sin(0+ AF 在△ACF中，由正弦定理得mc AC sn-(c+4可 所以AF=50xn是-25V2 s血+6 …12分 cos0 所以SAAEF=AE·AF·sin5 4 sm0am0叶os6=V2sm20t310<9<径l4分 625 1250 好<20+<华所以sim(20+)E(受，1， …16分 所以当20+=即6=时，△AEF的面积取得最小值，此时△AEF面积的最 小值为1250（√2-1）.…17分 19.已知函数f(x)=2sin(号-)sin(号+x)-1+2W3 sinxcosx. (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)求函数f(x)在区间[0，]的最大值和最小值； (3)若g)=f()-在区间[0，]上恰有两个零点1，x2x1<x2),求 sin(x1-x2)的值。 【答案】解：f(x)=2sin(号-x)sin(2+x)-1+2W3 sin.xcosx =2cos2x-1+2v3sinxcosx 1+cos2x1+3sin2x =2 2 =cos2x+√3sin2x ,3 =2(cos2x+2 sin2x) =2sin(2x+君)，3分 (①)油+2km≤2x+g≤r+2km,keZ, 可得g+km≤x≤π+km,keZ, 即f(的单调递减区间为[号+km,号π+km,kEZ:5分 (2)因为0≤x≤受所以g≤2x+名≤， 所以-≤sin(2x+8)≤1，所以-1≤2sin(2x+)≤2,7分 当2x+名时，即x=8时，f(ma=2,9分 当2x+名时，即x=时，[fcm=-1,11分 (3)由题意可得，fx)=f,)-号 即2sim(2x1+8)=2sim(2x1+8)=号 所以sin(2x1+名)=sin(2x2+8)=是 …12分 所以2x1+6+2x2+=m,即可得x1+2=子 所以sin(x1-x2)=sin[x1-(写-x1】=sin(2x1-3),-l4分 因为已知sin(2x1+名)=景所以可设2x1+名=t,则2x1=t-名 所以sin(6x1-x2）=sin(2x1-3)=sin(t-名-爱)=sin(t-)=-cost,-16分 因为sint=号且2x1+若=tE(0,),所以cost=言 所以sin(x1-x2)=-cost=- …17分