练案15 第二章 2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

练案[15] 第二章2.3[第2课时 二次函数与 一元二次方程、不等式的应用] A组·基础巩固 9.设函数y=ax2+(b-1)x+2. 1.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则实数 (1)若不等式y<0的解集为{xI1<x<2},求实 a的取值范围是 数a,b的值； A.-4≤a≤4 B.-4<a<4 (2)若当x=-1时y=5,且存在x∈R,使y<1 成立，求实数a的取值范围 C.a≤-4，或a≥4 D.a<-4,或a>4 2.若集合A={x1-1≤2x+1≤3}，B= ≤则AnB= A.{x|-1≤x<0 B.{xl0<x≤1} C.{xl0≤x≤2 D.{x10≤x≤1} 32(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解袋是 ( A.{x1-2≤x≤1} B.{xlx≤-2 C.{x|-2≤x<1} D.xlx>1 4.如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实根一 个小于-1，另一个大于1，那么实数m的取值 范围是 ( A.-√2<m<2 B.-2<m<0 C.-2<m<1 D.0<m<1 5.3x>1,x2-ax+2<0,则a的取值范围是( A.a>2√2 B.a<22 C.a<3 D.a>3 6.若关于x的不等式0>0的解集为{xlx<-1 x+1 或x>4},则实数a= 7.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间 的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x< 240),若每台产品的售价为25万元，则生产者 不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产 量是台 8.若不等式x2+2x+2>1a-2|对于一切实数x均 成立，则实数a的取值范围是 217 10.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要 B组·综合运用 继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这 段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故 11.不等式+2的解集为 的一个重要因素.在一个限速为40k/h的 A.{xlx≠-2} 弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况 不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘 B.R 查测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的 C.☑ 刹车距离略超过10m.已知甲、乙两种车型的 D.{xlx<-2或x>2 刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有 12.（多选)下列结论错误的是 如下关系：s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+ A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根， 0.005x2. 则不等式ax2+bx+c>0的解集为R 问：甲、乙两车有无超速现象？ B.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件 是a<0且A=b2-4ac≤0 C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为 民，则后寸 D.不等式一>1的解集为{xlx<1 13.(多选)“关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈ R恒成立”的一个必要不充分条件是() A.0<a<1 B.0≤a≤1 1 C.0<a<2 D.a≥0 14.某地每年销售木材约20万m3,每立方米价 格为2400元.为了减少木材消耗，决定按销 售收入的%征收木材税，这样每年的木材销 售量减少之万m,为了既减少木材消耗又 保证税金收入每年不少于900万元，则t的取 值范围是 2183.C由已知得a(x+2)(x-3)>0,.a<0,∴.(x+2)(x-3)<0 .-2<x<3.∴所求不等式的解集为x-2<x<3 4.A由不等式x2+hx+1<0的解集为空集，得对应的二次函数y =x2+x+1的图象与x轴有一个交点或全部在x轴上方，则△ =2-4×1×1≤0，解得-2≤k≤2. 5.B不等式ax2-(a+1)x+1<0可化为(ax-1)(x-1)<0,由不 等式a-(a+x+1<0的解集为：<得o>0.方程 (（a-1)(x-1)=0的两根为=l,=。,且。<1，则a的取 值范围为a>1,故选B. 6.{x-3<x<4}由-x2+x+12>0,得x2-x-12<0,解得-3<x<4, 所以x的取值范围为{x|-3<x<4}. 7,1将原不等式化为分+(m-2)<0,即x(+2m-4)<0故0， 2是对应方程x(x+2m-4)=0的两个根，代入得m=1. 8.xx<-2,或x>3}根据表格可以画出二 y 次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图，如 右图. 由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解 集是{xlx<-2,或x>3}. 9.(1)方程x2-5x+6=0有两个不等实数根x1 =2,x,=3,又因为函数y=x2-5x+6的图象 是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有 两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1).根据图象 可得不等式的解集为{xIx>3,或x<2} (2)原不等式可化为x2-6x+10<0,对于方程x2-6x+10=0,因 为△=(-6)2-40<0，所以方程无解，又因为函数y=x2-6x+10 的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图 (2).根据图象可得不等式的解集为⑦. 平1 o1支月xo123 (1) (2) 10.(1)当a=0时，不等式为-x>0,所以x<0, （2)当a≠0时，方程m2-x=0的两根为0与。 ①当a>0时，一>0，所以x>或x<0: 1 1 ②当a<0时，。<0，所以。<0 综上，当a>0时，不等式的解集为x或<0： 当a=0时，不等式的解集为xlx<0}; 当a<0时，不等式的解集为： <x<0 11.B根据给出的定义得，x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+ x-2=(x+2)(x-1),又x⊙(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故 不等式的解集是{x|-2<x<1}.故选B. 12.B当a<1时，B={xa<x<1},显然不满足AnB={2,3};当 a=1时，B=☑，不满足A∩B={2,3};当a>1时，B={xl1<x< a},因为A∩B={2,3},所以3<a≤4. 13.12 因为不等式ax2+bx-1>0的解集为{x13<r<4},所以x =3,x=4是方程a2+bx-1=0的两个实根，则3x4=-1 a 1 12,解得a=12 3 14.{mlm<1}集合A={xlx-2x-3≤0}={xl-1≤x≤3}，因为 B={xlx<4-m或x>2m+4},所以0RB={x|4-m≤x≤2m+4}. 因为An(CRB)=☑，①当4-m>2m+4,即m<0时，CgB=☑， 符合题意；②当4-m≤2m+4,即m≥0时，则4-m>3,所以0 ≤m<1.综上，实数m的取值范围是mlm<1}. 15.ABC由关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集 是xlx1<x<x2}(1<x2),所以a<0,且x1,2是一元二次方 程.ax2-2ax+1-3a=0的两根；所以x+x2=2,选项A正确； _1-30=1-3<-3,选项B正确：所以 X1x2= a √x+)-4西=√4-4x 确；由x2-x1>4,可得-1<x1<x2<3是错误的，即选项D错误. 16.(1)当a=0时，原不等式可化为：x-2<0,即x<2. (2)当a<0时，2<0<2，所以2<<2 (3)当a=1时，原不等式化为(x-2)2>0,x≠2. (4)当0<a<1时，2<2，所以心2或x<2. 2 (5)>1时，2>2，所以心2或<2 综上可知，不等式的解集为：a=0时，{xlx<2}; 2 a<0时，x -<x<2; a a=1时，{xlx≠2}； 、21 0a<1时，x2或a} 2 >1时，{xx<2或>2. 练案[15] 1.A由4=a2-4×4≤0可得-4≤a≤4. 2.B易求A={x-1≤x≤1}，集合B={xlx(x-2)≤0且x≠0} ={xl0<x≤2}，所以AnB=x10<x≤1}. 4 ”1≥2即为42 3.C ,≤0如了《x+2)(x一1)≤0·故一2≤x<1,故 x-1≠0， 解集为xl-2≤x<1},故选C. 4.D令y=x2+(m-1)x+m2-2,当x=1时函数值为y1,当x=-1 时，函数值为2，则=矿m-2<0解得0<m<1,放选D. y2=m2-m<0, 5.A原间题转化为：31，心x+2,即>(x+2）,当1 x min 2 时，由基本不等式可得x+≥2，√·二=22，当且仅当x三 2,即x=2时等号成立，因为巨e(1,+0),所以(x+ 2）=22,所以a的取值范围是>2万.故选A x min 64不等式行0等价于(0(：+1)>0.因为不等式2 的解集为{xlx<-1或x>4},所以a=4. 7.150依题意得25x≥3000+20x-0.1x2,整理得x2+50x- 30000≥0，解得x≥150或x≤-200（舍去）.因为0<x<240,所 以150≤x<240,即最低产量是150台. 8.{a1<a<3}x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，.当x=-1时，x2+ 2x+2有最小值，最小值为1，由不等式x2+2x+2>1a-21对于一 切实数x均成立，得Ia-21<1,解得1<a<3,∴.实数a的取值范 围是al1<a<3}. 68 9.(1)因为y=ax2+(b-1)x+2<0的解集为{x1<x<2}, 所以1,2是方程aa2+(b-1)x+2=0的两根. fa>0, -3解得a-1,6=-2 所以{a 2 2, (2)因为当x=-1时y=5,所以a-b=2, 因为存在xeR,y=ax2+(b-1)x+2<1成立， 即存在x∈R,ax2+(a-3)x+1<0成立， 当a=0时，x>3,成立； 当a<0时，函数y=ax2+(a-3)x+1图象开口向下，成立； 当a>0时，4=(a-3)2-4a>0,即a2-10a+9>0, 解得a>9或a<1,此时，a>9或0<a<1, 综上，实数a的取值范围为{ala>9或a<1}. 10.由题意知，对于甲车， 有0.1x+0.01x2>12,即x2+10x-1200>0. 解得x>30或x<-40(不符合实际意义，舍去)， 这表明甲车的车速超过30km/h. 但根据题意知刹车距离略超过12m, 由此估计甲车的车速不会超过限速40km/h. 对于乙车，有0.05x+0.005x2>10. 即x2+10x-2000>0,解得x>40或x<-50(不符合实际意义，舍 去)， 这表明乙车的车速超过40km/h,即超过规定限速 11.A.x+x+1>0恒成立，..原不等式台x2-2x-2<2x2+2x+2台x+ 4x+4>0曰(x+2)2>0,.x≠-2，∴.不等式的解集为xlx≠-2}. 12.ABD当a<0时，aax2+bx+c>0的解集为☑，故A错；当a=0, b≠0时，不等式bx+c≤0在R上不能恒成立，舍去.当a=b三 0且c≤0时也恒成立，故B错；当a=0时，不等式为x-1≤ 0,此时解集不是R,舍去；当a≠0时，要使解集为R,需 1+4a≤0，解得as- a<0, 4,故C对：不等式可化为>0，即 x-1<0,即x(x-1)<0,解得x0<<1.故D错 13.BD关于x的不等式x2-2ax+a>0,对x∈R恒成立，则4= 4a-4a<0,解得0<a<1.A选项“0<a<1”是“关于x的不等式 x2-2ax+a>0对x∈R恒成立”的充要条件；B选项“0≤a≤ 1"是“关于x的不等式x2-2ax+a>0对xeR恒成立”的必要 不充分条件：C选项0<a<是“关于x的不等式-2a+ a>0对xeR恒成立”的充分不必要条件；D选项“a≥0”是 “关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立”必要不充分 条件. 14.{tl3≤t≤5 设按销售收人的%征收木材税时，税金收人 为y万元， 5 则y=2400x(20-2×%=60(8-f). 令y≥900，即60(8t-t2)≥900，解得3≤t≤5. 15.(1)当a=2时，A=xI2<x<7},B=xl4<x<5}, 所以A∩B=x|4<x<5}. (2)因为B=xl2a<x<a2+1}, 当a<写时，A=3a+1x<2, r2a≥3a+1, 要使BCA,必须a2+1≤2，此时a=-1; a≠1， 当a=时4={7 ,不满足BCA,舍去 3 当a>3时，A=x2<x<3a+1,要使BCA, r2a≥2 则a2+1≤3a+1,解得1<a≤3. la≠1， 综上可得：a的取值范围是al1<a≤3或a=-1}. 16.(1)当0<x<60且xeN时， L=40-20r-20-=+a-20m: 当x≥60且xeN*时， L=40e-50x49000+1980-20=1780-10x-49000 x-2 -2 1 4t+20x-20,0<r<60,xeN, 故L= 49000 1780-10x- -2,x≥60，xeN. (2)当0<<60且xeN时，L=-4(x-40)+200, 当x=40时，Lmx=200: 当x≥60且xeN*时， 49001 L=1760-10(x-2)+ -2 ≤1760-10× 4900 2x-2) x-2 =360, 490 当且仅当x-2= x-2 ,即x=72时，等号成立，Lmm=360, 又因为360>200. 故该厂年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获 利润最大 练案[16] 1.ACD结合函数的定义可知，A、C、D均可能，只有B是有的 一个x对应两个y,不满足函数的定义，故选ACD. 2.B由f(1)=-2得a+b=-2,由f(-1)=0得-a+b=0,∴.a= -1,b=-1,故选B. 3.D根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x 都有唯一的函数值与之对应，当a是定义域内的值时，有一个 交点，当a不是定义域内的值时，直线x=a与函数图象没有 交点，故选D. 4.A由对应关系y=-x2+2x得：当x=-1时，y=-(-1)2+2× (-1)=-3;当x=0时，y=0;当x=1时，y=-12+2×1=1;当x= 2时，y=-22+2×2=0;当x=3时，y=-32+2×3=-3.所以值域 为-3,0,1} rx-3≠0， rx≠3， 5.C由题意可知x-2≥0，x≥2，.x>2,且x≠3，故选C /x-2≠0，x≠2， 6.{x0<x<1或1<x≤2}观察函数的图象，图象上所有点的横 坐标构成的集合为{x0<x<1或1<x≤2}，即为定义域. 7.12f(a)=√a-3=3,解得a=12. 8.{-1,1,3,5,7}x=1,2,3,4,5,且f(x)=2x-3,∴.f(x)的 值域为-1,1,3,5,7}. 9.:△ABC的底边长显然大于0，即y=10-2x>0, .x<5.又两边之和大于第三边， 5 .2x>10-2x,.x> 2’ 此数的定义域为<5} 69