练案14 第二章 2.3 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

练案[14]第二章2.3[第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式] A组·基础巩固 7若关于x的不等式-3+2x>m的解集是 1.不等式6-x-2x2<0的解集是 {xI0<x<2},则实数m的值是 s2 8.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如 下表： -2引 减2 6 -6 6 则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是 3 D.{>2或<-2 2.关于x的不等式x2-ax-6a2<0(a<0)的解集为 9.求下列不等式的解集： ( (1)x2-5x+6>0: A.{xlx<2a或x>-3a (2)-2+3x-5>0 B.x12a<x<-3a C.{xlx<3a或x>2a D.{x13a<x<-2a 3.二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3；a<0,那 么ax2+bx+c>0的解集为 A.{x|x>3或x<-2 B.{xlx>2或x<-3 C.{xl-2<x<3} D.{xl-3<x<2 4.若不等式x2+hx+1<0的解集为空集，则k的取 值范围是 A.-2≤k≤2 B.k≤-2，或k≥2 C.-2<k<2 D.k<-2,或k>2 5.若关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R) 的解集为 ,则a的取值范围为 A.a<0,或a>1 B.a>1 C.0<a<1 D.a<0 1 6.使 有意义的x的取值范围为 /-x2+x+12 -215 10.解关于x的不等式ax2-x>0(a∈R). C组·拓展提升 15.（多选)已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+ 1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2(x1<x2), 则下列说法正确的有 () A.x1+x2=2 B.x1x2<-3 C.x2-x1>4 D.-1<x1<x2<3 16.解关于x的不等式ax2-(2+2a)x+4>0(a∈ R). B组·综合运用 11.在R上定义运算“⊙”：a⊙b=ab+2a+b,则满 足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范围为 A.0<x<2 B.-2<x<1 C.x<-2或x>1 D.-1<x<2 12.集合A={1,2,3,4},B={x|(x-1)(x-a)< 0},若集合A∩B={2,3},则实数a的取值范 围是 A.{al3<a<4 B.{al3<a≤4 C.{al3≤a<4} D.ala>3 13.已知不等式ax2+bx-1>0的解集为{x|3<x< 4},则实数a= 14.已知集合A=xx2-2x-3≤0}，B={xlx<4-m 或x>2m+4}.若A∩(CB)=☑，则实数m的 取值范围是 —216150a0,且2x+≥2√2x·是=2Vm, 当且仅当2x兰即=冬时，2兰取得最小值， 2=3,解得a=18, 2 16.:x,y为正实数，3x+2y=10, .W=3.x+2yr+2√3x·2y≤10+(3x+2y)=20, 当且仅当3=2,3+2=10，即x=y=时，等号成立 .W≤25，即W的最大值为25. 练案[13] 1.D由a+6+2可得，a+2+6+4,又因为a+2>0,6+1>0,则 b+1+9=1/ (a+2)(b+1)+ a*2760≥610=4，当且仅当a+206-1 9 3时，即当a=1,b=0时，等号成立.因此b+1+ +2的最小值为 4放的最小值为3设这D 2.C因为a>0,b>0,所以4≤a+等价于4≤1+ ab a+6,只需ts r4b a 2√巴只459，当且仅当8：即。=2弘=兮时等号 La+4b=1, 成立.所以≤9 3Ac者0.则+-()-2-0(】 -2,当且仅当x=-1时取等号，A正确；若x∈R,则 x+2 2+1 +1V+≥2： =2,当且仅 x2+1 x2+1 V 2+1 当=0时取等号，B正确：当>0时，x+≥2x·=2) x 当且仅当x=1时取等号，结合选项A,xeR且x≠0时，则 2,c正确：若a0.则(1a(1+）-2*a+≥2 1 x 1 +2√a·。=4,当日仅当a=1时取等号，但a>1,所以等号 取不到，D错误， 41≥ 2-4310,y=241-21=2么-4 2-422x-44 24≥2√2241当且仅当224母3时 取“=”」 5.因为20，>0，x+8=,所以8+1=1， x Y 所u*3-(）水*3 =104x+16y≥10+2，/ x.16y=18, y x y x 3 8+1-1, 当且仅当 x Y 即/xs12, 0=3 时等号成立 16y Y x 所以x+2y的最小值为18 2 50· 当最后一辆汽车出发，第一辆汽车走了 时，最后一辆车走完全程共需要400小时，所以一共需要 (0,小时，结合基木不等式.计算数值，可得96产 16 2√四60当且仅当6即=0时等号成 立，故最少需要10小时. 7.设每月销售该商品所获得的总利润为Z元，该商品每袋的利 润为(x-3)元， 每月的销售量为1000y袋， 则7=100nt-3)=1o(95jx-5+2)=10mo+ 20 55(-5)+10], 因为5<x<10,所以5(x-5)>0, 50, 所以Z=1000 20+20 +x5+5(x-5)}≥100[ 20+ 20 2V55(x-5) =1000×(20+20)=40000,当且仅 20 x-5 =5(x-5),即x=7时 等号成立」 所以当该商品每袋售价7元时，该超市每月销售该商品获得 的利润最少，最小值为40000元. 8.(1)不存在. 因为正实数x,y满足x+y=4,所以4=x+y≥2，所以y ≤4. 当且仅当x=y=2时，等号成立， 故不存在正实数x,y,使得y=5 (2)证明：由x+y=4得(x+1)+(+2)=7, 又因为x,y都是正实数， 所以14 x+1y+2 E[(x+1)+(y+2)]· 1+4 x+1y+2 5+*24(x+D] =75x+1+2 ≥52 /y+24(x+1) y+2 =7 当且仅当424(x+1 x+1 y+2 时，等号成立 48 又因为x+y=4,所以x= 3=3时等号成立. 练案[14] 1.D不等式变形为2x2+x-6>0,又方程2x2+x-6=0的两根为 x=2=-2,所以不等式的解集为 -2或心}故 选D. 2.D不等式x2-ax-6a2<0可化为(x-3a)(x+2a)<0.:a<0, .∴.不等式的解集为{x|3a<x<-2a},故选D. 7 3.C由已知得a(x+2)(x-3)>0,.a<0,∴.(x+2)(x-3)<0 .-2<x<3.∴所求不等式的解集为x-2<x<3 4.A由不等式x2+hx+1<0的解集为空集，得对应的二次函数y =x2+x+1的图象与x轴有一个交点或全部在x轴上方，则△ =2-4×1×1≤0，解得-2≤k≤2. 5.B不等式ax2-(a+1)x+1<0可化为(ax-1)(x-1)<0,由不 等式a-(a+x+1<0的解集为：<得o>0.方程 (（a-1)(x-1)=0的两根为=l,=。,且。<1，则a的取 值范围为a>1,故选B. 6.{x-3<x<4}由-x2+x+12>0,得x2-x-12<0,解得-3<x<4, 所以x的取值范围为{x|-3<x<4}. 7,1将原不等式化为分+(m-2)<0,即x(+2m-4)<0故0， 2是对应方程x(x+2m-4)=0的两个根，代入得m=1. 8.xx<-2,或x>3}根据表格可以画出二 y 次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图，如 右图. 由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解 集是{xlx<-2,或x>3}. 9.(1)方程x2-5x+6=0有两个不等实数根x1 =2,x,=3,又因为函数y=x2-5x+6的图象 是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有 两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1).根据图象 可得不等式的解集为{xIx>3,或x<2} (2)原不等式可化为x2-6x+10<0,对于方程x2-6x+10=0,因 为△=(-6)2-40<0，所以方程无解，又因为函数y=x2-6x+10 的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图 (2).根据图象可得不等式的解集为⑦. 平1 o1支月xo123 (1) (2) 10.(1)当a=0时，不等式为-x>0,所以x<0, （2)当a≠0时，方程m2-x=0的两根为0与。 ①当a>0时，一>0，所以x>或x<0: 1 1 ②当a<0时，。<0，所以。<0 综上，当a>0时，不等式的解集为x或<0： 当a=0时，不等式的解集为xlx<0}; 当a<0时，不等式的解集为： <x<0 11.B根据给出的定义得，x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+ x-2=(x+2)(x-1),又x⊙(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故 不等式的解集是{x|-2<x<1}.故选B. 12.B当a<1时，B={xa<x<1},显然不满足AnB={2,3};当 a=1时，B=☑，不满足A∩B={2,3};当a>1时，B={xl1<x< a},因为A∩B={2,3},所以3<a≤4. 13.12 因为不等式ax2+bx-1>0的解集为{x13<r<4},所以x =3,x=4是方程a2+bx-1=0的两个实根，则3x4=-1 a 1 12,解得a=12 3 14.{mlm<1}集合A={xlx-2x-3≤0}={xl-1≤x≤3}，因为 B={xlx<4-m或x>2m+4},所以0RB={x|4-m≤x≤2m+4}. 因为An(CRB)=☑，①当4-m>2m+4,即m<0时，CgB=☑， 符合题意；②当4-m≤2m+4,即m≥0时，则4-m>3,所以0 ≤m<1.综上，实数m的取值范围是mlm<1}. 15.ABC由关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集 是xlx1<x<x2}(1<x2),所以a<0,且x1,2是一元二次方 程.ax2-2ax+1-3a=0的两根；所以x+x2=2,选项A正确； _1-30=1-3<-3,选项B正确：所以 X1x2= a √x+)-4西=√4-4x 确；由x2-x1>4,可得-1<x1<x2<3是错误的，即选项D错误. 16.(1)当a=0时，原不等式可化为：x-2<0,即x<2. (2)当a<0时，2<0<2，所以2<<2 (3)当a=1时，原不等式化为(x-2)2>0,x≠2. (4)当0<a<1时，2<2，所以心2或x<2. 2 (5)>1时，2>2，所以心2或<2 综上可知，不等式的解集为：a=0时，{xlx<2}; 2 a<0时，x -<x<2; a a=1时，{xlx≠2}； 、21 0a<1时，x2或a} 2 >1时，{xx<2或>2. 练案[15] 1.A由4=a2-4×4≤0可得-4≤a≤4. 2.B易求A={x-1≤x≤1}，集合B={xlx(x-2)≤0且x≠0} ={xl0<x≤2}，所以AnB=x10<x≤1}. 4 ”1≥2即为42 3.C ,≤0如了《x+2)(x一1)≤0·故一2≤x<1,故 x-1≠0， 解集为xl-2≤x<1},故选C. 4.D令y=x2+(m-1)x+m2-2,当x=1时函数值为y1,当x=-1 时，函数值为2，则=矿m-2<0解得0<m<1,放选D. y2=m2-m<0, 5.A原间题转化为：31，心x+2,即>(x+2）,当1 x min 2 时，由基本不等式可得x+≥2，√·二=22，当且仅当x三 2,即x=2时等号成立，因为巨e(1,+0),所以(x+ 2）=22,所以a的取值范围是>2万.故选A x min 64不等式行0等价于(0(：+1)>0.因为不等式2 的解集为{xlx<-1或x>4},所以a=4. 7.150依题意得25x≥3000+20x-0.1x2,整理得x2+50x- 30000≥0，解得x≥150或x≤-200（舍去）.因为0<x<240,所 以150≤x<240,即最低产量是150台. 8.{a1<a<3}x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，.当x=-1时，x2+ 2x+2有最小值，最小值为1，由不等式x2+2x+2>1a-21对于一 切实数x均成立，得Ia-21<1,解得1<a<3,∴.实数a的取值范 围是al1<a<3}. 68