2.3 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

041 随堂检测 重反馈 1.已知a心则a*2 2 ,的最小值为 C.2 D.3 14 2.设x>0,y>0,x+y=4,则二+一的最小值为 x Y 3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为 4.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2, 80元/m,那么水池的最低总造价为 元 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[13] 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 新课程标准解读 学科核心素养 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式 的现实意义， 数学抽象 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不 数学抽象、数学运算 等式的解集 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的 直观想象、逻辑推理 联系 能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式模型，并加以解决 数学建模、数学运算 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式 教材梳理明要点 一情境导入 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长 度是24m,围成的矩形区域的面积要大于20m,问这个矩形的边长要满 [提示] 足什么条件？ P[提示] 设这个矩形的一条边 长为xm,则另一条边 曰新知初探 长为(2-x)m由题意， 知识点一一元二次不等式的概念 得(12-x)x>20,其中x 只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式不等 ∈{x10<x<12}.整理 式，称为一元二次不等式.其一般形式是：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中 得x2-12x+20<0,x∈ a,b,c均为常数，a≠0. {xI0<x<12}. 知识点二二次函数的零点 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，我们把使ax2+bx+c=0的 叫做二次函数y=ax2+bx+c的 042 知识点三二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △=b2-4ac 4>0 4=0 4<0 1 y=ax+bx+c (a>0)的图象 [知识点反思] 有两个相等的实数 /.二次函数y=ax2+bx+c ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数 根x1,x2(x1<x2) 6 无实数根 的零点：是y=0时方 (a>0)的根 根x1=x2= 2a 程ax2+bx+c=0的根； 是函数图象与x轴的 ax2+bx+c>O {xx>x2或x<x1 R 交点的横坐标； (a>0)的解集 2.一元二次不等式的 解集的端点就是对应 ax-+bx+c<0 xx<x<x2 0 ☑ 的二次函数的零点， (a>0)的解集 是其对应的一元二次 方程的根. [知识点反思] ©预习自测 1.函数y=x2-2x-3的零点为 2.不等式x2-2x-3>0的解集为 题型探究提技能 题型一不含参数的一元二次不等式 [方法总结1] 例1解下列不等式 (1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2： 解不含参数的一元二次 (3)4x2-4x+1>0:(4)-x2+6x-10>0. 不等式的一般步骤 /.化标准：通过对不等式 P[方法总结1] 的变形，使不等式右侧 为0，使二次项系数 为正； 2.判别式：对不等式左侧 分解因式，若不易分 解，则计算对应方程的 》】跟踪训练1 判别式： 解不等式-2x2+x+3<0. 3.求实根：求出相应的一 元二次方程的实根或根 据判别式说明方程有无 实根； 4.画草图：根据一元二次 方程根的情况画出对应 的二次函数的草图： 5.写解集：根据图象写出 不等式的解集 ●043 题型二含参数的一元二次不等式 例2解关于x的不等式ar2-(a+1)+1<0(a<1). [方法总结2] P[方法总结2] 在解合参数的一元二 次不等式时常从以下 三个方面进行考虑 1.不等式类型的讨 论：二次项系数a> 0,a<0,a=0; 2.不等式对应的方程 根的讨论：两不同实 》跟踪训练2 根（△>O),两相同实根 解关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0(a∈R). (△=0)，无根（△<0）： 3.不等式对应的方程 根的大小的讨论：x) x2,X=x2,x1<X2. 题型三三个“二次”的关系 例3.已知一元二次不等式2+px+g<0的解集为x 1 1 [方法总结3] 2 S 求p,g的值 三个“二次”中的 并求不等式gr2+px+1>0的解集 关系 与}是方程x2+pr+g=0的两个实数根 一元二次不等式的解 3 集的端点就是对应的 二次函数的零点，是 ·[方法总结3] 其对应的一元二次方 程的根可由一元二次 方程根与系数的关系 列方程组求参数. 〉跟踪训练3 若不等式ax2+bx+c≤0的解集为x|x≤-3或x≥4}，求不等式bx2+2ax-c- 3b≥0的解集， 044 随堂检测 重反馈 1.(多选)下列不等式是一元二次不等式的是 A.x2+2x<-1 B.x2+x+1<0 c.E+3+1<0 D.x2+1<0 2.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为x1<x<2},则a+b的值为 A.3 B.1 C.-3 D.-1 3.关于x的不等式ax-b>0的解集是{xlx>1},则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是() A.{xl-1<x<3 B.{x1<x<3 C.{xlx<1或x>3 D.{xlx<-1或x>3 4.不等式x-3)(x+2) ≤0的解集是 A.{xl-2≤x≤3 B.{xx≥3或x≤-2 C.{x|-2≤x<0或0<x≤3} D.{x|x>3或x<-2 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[14] 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用 题型探究提技能 题型一解简单的分式不等式 [方法总结1] 例1解下列不等式： 分式不等式的解法 利用“两数相除同 0:235≥0：3 *21 ·[方法总结1] 号得正异号得负”和 “两数相乘同号得正 异号得负”把比较简 单的分式不等式，直 接转化为一元二次不 等式或一元二次不等 式组求解，但要注意 等价变形，保证分母 不为零 )跟踪训练1 2.对于不等号右边不 解下列不等式： 为零的较复杂的分式 不等式，先移项再通 (1)*1 a0(2a 分（不要去分母），使之 转化为不等号右边为 零的形式，然后再用 上述方法求解=26-,当且仅当x+1=,,即 6 1+2√6 2√(+1) +1 x+1 x=√6-1时，等号成立 0325因为+6=1，所以。+2-（日2）er6=名 ra+b=1, b.20+3=3+22,当且仅当{b2a即a=万 L a b -1,b=2-√2时，等号成立 1.9 跟踪训练2：x>0,y>0,xy=9x+y,∴. =1 x y =(+）*=02+=102子 y x Ny x =16, 当且仅当告-即=4，=12时，等号成立 即x+y的最小值为16. 例3：因为a>0,6>0,所以2a+b>0,所以要使2+1 恒 。+6≥2a+ 成立， 其活m2(合)度立。 2a0(名)-4会4+1a549, b 当且仅当a=b时，等号成立，所以m≤9. 所以m的最大值为9. 跟踪训练3：因为0，所以+2，当且仅当=1时取等号。 1 11 所以有2+3x+1 1 即的最大值为行，故≥行 .1 x2+3x+1 例4：(1)设每间虎笼长xm,宽ym, 则由条件知：4x+6y=36,即2x+3y=18. 设每间虎笼面积为S,则S=xy 方法一：由于18=2x+3y≥2√2x·3=2√6xy, 所u2网≤18，得5号即55号当且仅当2x=时。 27 等号成立 1·￥得化5， y=3. 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大. 方法二：由2x+3y=18,得x=9-3 因为>0，所以9-3 八0， 所以y6,sy=(9)少=26yy 3 3.「(6-y)+y1227 因为0<6，所以6-y>0,所以S≤2·2 -21 当且仅当6-y=y即y=3时等号成立，此时x=4.5. 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大. (2)设每间虎笼长xm,宽ym, 由条件知S=y=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y. 方法一：因为2x+3y≥2√2x·3y=2√6xy=24, 所以l=4x+6y=2(2x+3y)≥48.当且仅当2x=3y时，等号 成立. 3 2=3解得x=6, 1xy=24, Ly=4. 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 方法二：由y=24,得x=24 所以1=4x+6y=96+6y=616 y 6y=48. (y+y)≥6x2√ 当且仅当y即)=4时，等号成立，此时=6 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 跟踪训练4：58每台机器运转x年的年平均利润为】=18 ()且0，放≤18-2历=8，当且仅当=5时等 号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元 随堂检测重反馈 1c因为心则0所以a2品(a号）++号 a-2 22)于当组仅当a( 11 a-- 2 ）时，即当a=弓时，等号成立，故a+2品的最小值为 3 故选C. 9 4 xty=4,.. ）又00，期2 .=4(当且仅当 x y x y 时取等号），则≥(5+4= 9 x y 4 1 11+4y121当且仅当x=4y=2时 36y=4x4y≤4（2）=16 取等号. 4160设池底一边长为xm,则另一边长为m,总造价为y 元.则y=4×120+22x+2×4 ）×80=320(+） +480(x> 4. 4 0).因为x+一≥ =4，当且仅当x=4即x=2时取 2x·x 等号，所以ymm=480+320×4=1760(元)： 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 一个2 知识点二 实数x零点 预习自测 1.-1或3由y=0得x2-2x-3=0,即x=-1或x=3.即函数的 零点为-1和3. 2.{xlx<-1或x>3}方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1,x2=3. 函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个 交点(-1,0)和(3,0)，如图所示. 观察图象可得不等式的解集为xx<-1或x>3}. 8 题型探究提技能 例1：(1)方程2x2+5x-3=0的两实根为1= 、1 -3,x221 作出函数y=2x2+5x-3的图象，如图①. 由图可得原不等式的解集 为{x-3<2} 11 (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0.△=36-4×3×2=12>0， _3-√33+5 解方程3x2-6x+2=0,得x1=3= 3 作出函数y=3x2-6x+2的图象，如图②， 由图可得原不等式的解集为≤35或≥ _3-5 3+3 0 ③ (3):方程42-4x+1=0有两个相等的实根x==2 作出函数y=4x2-4x+1的图象如图③. 由图可得原不等式的解集为} (4)原不等式可化为x2-6x+10<0, :4=36-40=-4<0,.方程x2-6x+10=0无实根， 函数y=x2-6x+10的图象在x轴上方，与x轴无交点 .原不等式的解集为⑦ 跟踪训练1：不等式-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0. 因为4=(-1)2-4×2×(-3)=25>0， 所以方程2x2-x-3=0的两根为x=-1,名=2 3 又二次函数y=2x2-x-3的图象开口向上， 所以不等式-2x2+x+3<0的解集是{ 例2：①当a=0时，原不等式即为-x+1<0,解得x>1. ②当a<0时，原不等式化为(）(-1>0，解得<亡或： >1. 1 ③若0<a<1,原不等式化为x- ·(x-1)<0.解得1<x< a 综上可知，当a<0时，原不等式的解集为x×。或1： 当a=0时，原不等式的解集为xx>1}: 当0ka<1时，原不等式的解集为le} 跟踪训练2：原不等式可化为(x-a)(x-2)<0; 方程x2-(a+2)x+2a=0的两根为x1=2,x2=a 又函数y=x2-(a+2)x+2a的图象开口向上， 则当a=2时，原不等式的解集为⑦： 当a>2时，不等式的解集为{x2<x<a, 当a<2时，不等式的解集为{xla<x<2. 所以x1=号与=了是方程p+9=0的辆个实数根. 1 r11 1 [p= 32 61 由根与系数的关系得 1 解得 9=-6 所以不等式gx2+px+1>0即为- 6 6x+1>0, 整理得x2-x-6<0,解得-2<x<3. 即不等式gx2+px+1>0的解集为{xl-2<x<3}. 跟踪训练3：因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为xlx≤-3或x≥ 4}, 所以a<0,且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根. -3+4=-6 a 由根与系数的关系可得 即fis-a, -3X4= lc=-12a a 所以不等式bx2+2ax-c-3b≥0可化为-ax2+2ax+15a≥0， 即x2-2x-15≥0，解得x≤-3或x≥5， 故所求不等式的解集为xlx≤-3或x≥5}. 随堂检测重反馈 1.AD由于2+F+1<0,2+3+1<0不符合一元二次不等式的 x 定义，只有x2+2x<-1,x2+1<0是一元二次不等式，故选AD. 2.A因为不等式(x-a)(x-b)<0的解集为xl1<x<2},所以1 和2为方程(x-a)(x-6)=0的两个银则有8或 {8子所以ah=1+2-3,即a+6的值为3 3D因为不等式am-60的解朱是xl>1,所以0>0，名=1， 所以(ax+b)(x-3)>0等价于a(x+1)(x-3)>0,其解集应为 {xlx>3或x<-1},故选D. 4.C 由-3》(+2≤0可得3(x+2)≤0，则可得-2≤≤ x≠0. 3且x≠0，故不等式的解集为x-2≤x<0或0<x≤3}.故选C 第2课时二次函数与一元二次 方程、不等式的应用 题型探究提技能 例1：(1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0,-1<<2 故原不等式的解集为x - (2)原不等式可化为，-1 3+5s0, T(x-10(3x+5)≤0： 3≤x≤1， 即 3x+5≠0. 5 3xs1. x≠-3 5 故原不等式的解集为x-3<x≤1： (3)原不等式可化为 x+2 1>0, -1-+20,即 x+2 x+20,则x<-2 故原不等式的解集为{x|x<-2}. 限踪训练1：(1)不等式号≥0可转化成不等式 组[》20， 解得x≤-1或x>3. 19