2.2 第1课时基本不等式-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

第2课时 等式性质与不等式性质 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 b=aa=ca±c=b±c ac=be ab cc 知识点二 b<aa>c a+c>b+c ac>bc a+c>b+d ac>bd a">b" 预习自测 1.D令a=2,b=-2,c=3,d=-6,可排除A、B、C.由不等式的性 质5知，D一定成立. 2.(1)>(2)<(3)>(4)< 【解析】(1)如果a>b>0,那么0< 06,即人1 11 6>。>0 (2)如果a>b,那么-2a<-2b. (3)如果a>b>0,那么ab0 (4)如果a>-b,那么-a<b,所以c-a<c+b. 题型探究提技能 例1：(1)D(2)AD 【解析】（1)方法一：c2≥0，.c=0时，有ac2=bc2,故A为 假命题；由a>b>0,有ab>0号0>b三1>1 ”6ab96>。,故B为假命 题： a<bc0-a>-b>0s-L>-1 b>a 。。故C为很命 >0,.ab la<b<0=-a>-b>0 ra>b→b-a<0, 题；{1111 b-a a>bab >0= 2so→a6<0.a>b,a>0且b≤ 0,故D为真命题 方法二：特殊值排除法.取c=0,则ac2=bc2,故A错误；取a= 2,6=1,则1=11 a-2’b 1,有11 。6,故B错误；取a=-2,6= 022，有6 -1,则6=1a a6,故C错误 (2)若a<0<b,c<d<0,则ac>bd,故A错误；若ab>0,bc-ad>0, 则c-d、bc-ad a b ab 0,故B正确；若c>d,则-d>-c,又a>b,则a -dh-c,故C正确：若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则4=-1， b c 跟踪训练1：AD①油xt>t2可知t2>0,所以x>y,故xt2>yt→x >y;②当t>0时，x>y,当tK0时，x<y,故t>t台x>y;③若x= -2,y=-1,则虽有x2>y2,但是x<y,故x2>y2台x>y;④由0< ↓<1知，9>0，所以0<<10<1。 ·y<一·xy→x>y x Y 例2：因为a>b>c,所以-c>-b. 所以a-c>a-b>0,所以L>L 11 >0.∴. >0 a-b a-c a-b a-c 即↓+L>0.又i-o0. a-b c-a 所以>0所以上0 a-b b-c c-a 跟踪训练2：：a>b>0,∴.√a>√b>0. ⑦ 又a6o0,网边同果正数品得片0 ② 由①②得66 b a 3 例：(1)因为1≤a≤2，所以4≤4a≤8 ① 因为2≤b≤4，所以-8≤-2b≤-4. ② 由①+②，得-4≤4a-2b≤4. u-v 2)方法一：设u=a+b,u=a-b得a=,,b= 2 .∴.4a-2b=2u+2v-u+v=u+3. 1≤u≤4，-1≤v≤2，.-3≤3≤6. 则-2≤u+3w≤10，即-2≤4a-2b≤10. 方法二：令4a-2b=x(a+b)+y(a-b), .∴.4a-2b=(x+y)a+(x-y)b. +y=4,x=L又1≤a+b≤4， 1x-y=-2,{=3.又-3≤3(a-b)≤6. ∴.-2≤4a-2b≤10. 跟踪训练3：(1)x-2yl-11<x-2y<0 (2){4a-2b15≤4a-2b≤10} 【解析】(1)因为2<y<3,所以-6<-2y<-4.所以-5+(-6)<x -2y<4+(-4),即-11<x-2y<0. (2)令a+h=,a-b=,则2≤4≤4,1≤≤2.由a+6业解得 la-b=v, a=utu 2 b=u-v 则4-2h=4X2-2X2=2+2u=u+3而2≤ 2 u≤4,3≤3v≤6，则5≤u+3m≤10.故5≤4a-2b≤10 随堂检测重反馈 1.B .x<a<0,..x2>a2..x2-ax=x(x-a)>0,..x2>ax.ax- a2=a(x-a)>0,.a>a2..x2>ax>a2.故选B. 2A若心1，则0<<1，故<1，所以“>1“能推出1<1 a 取a=-1,则。<1成立，但心1不成立，故>是“<1的 充分非必要条件，故选A. 3.B对于①，由0>a>b可知，0<-a<-b,则由性质7可知，(-b)2 >(-a)2,即b>a2,故①错误对于②，性质7不具有可逆性， 故2错误：对于③，当0>a>b时，。>1，故③错误：对于④，因 为a>b,所以a-b>0,所以a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a >0,故a3>b,④正确。 4.{x-yl27<x-y<56 28<y<33,.-33< 11 -<-28.又：60<<84,27<x-y56.由28<y<33,得33y 1 n20x<3. 28即7 2.2基本不等式 第1课时基本不等式 教材梳理 明要点 新知初探 知识点 a=b算术几何不小于 知识点二 2 4 预习自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)× 6 【解析】(1)6和8的几何平均数为4√3 (2)a2+1≥2a等价于(a-1)2≥0，等号成立的条件是a=1. (3)当a<0时，a+。是负数. (4当00时.(o)(日）是三 4 4 /4 24:>0,年>0，y=x+≥2√x·是=4，当且仅当x= x 兰即2时，等号成立放4 题型探究提技能 例1：(1)B(2)C 【解析】(1)方法一：因为0<a<b,所以0<√a<b,所以a< 瓜同料由0a6得号<分所以.由基本不等式可 得历上瓜<h 方法二：因为c,所以a6,排膝A.C两项.又而 a=√a(√b-√a)>0,即√ab>a,排除D项 方法三取a=2.6=8,则瓜=4,25，所以a瓜 <b. (2)选项A中，+4≥（当且仅当x= 时，2+1 1 选项A不正确：选项B中，+≥2(>0)，+≤-2(x<0), 1 故选项B不正确；选项C中，x2-21xl+1=(1x-1)2≥0(x∈ R),故选项C正瑰；选项D中，+1≥1，则0< 1≤1，故选 项D不正确. 跟踪训练1：A对于A,符合基本不等式的三个条件“一正，二 定，三相等”；对于B,忽视了验证等号成立的条件，即x=文 则x=士1，均不满足x≥2：对于C,当>0,6>0时，√a6≤0， 2 当且仅当a=b时取等号，故C错误；对于D,由基本不等式得 a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号，故D错误.故选A 0.（10是0，o0242 1 2.4x=85. 当且仅当2=4，即x=3时取最小值85， 当0时是的最小值为8厅 2y0.0则-4)≥2g(-40=85. 当且仅当2=-4时，即x=-5时取等号。 一 只4红≤8厅当0时，号的最大值为-8瓦 限踪训练2：（)3识 (2)2 【解析】（1)由0<x<1知3-2x>0,故√x(3-2x)= √2 /2x(3-2x)≤ ·2x+(3-2x)=32,当且仅当x=4时，等 2 号成立所以风2丽的装大位为识 3 2)周为-2，所以20.(+29≥2+2· x+2 16 8,当且仅当+2=2即x=2时取等号，…+2+ +2(x>-2) 取最小值时，x的值为2. 例3：(1)1(2)2 、9 【解析】（1)<至5-4>0，y-2+,1 4x-5 -(54)3≤-243-1，当且仅当5-5 1 -,即x=1 时，上式等号成立，故当x=1时，ym=1. 3 (2)因为0<x<2,所以3-2x>0,所以y=4r(3-2x)= 23-21≤2292]-号收当23-2 =子时，等号成立.周为子e(0,子)所以y=4(3-2) 3 3/ (0)的最夫位为号 .9 跟踪训练3：-1因为<2，所以1-2x>0, 因为221-(1-2小 1 2x-1 1 1 又因为1-2x+1-2≥2√1-2x)·1-2x=2(当且仅当x=0 时，等号成立) 2x-下-241=-1，即最大值是-1 1 所以2x+ 随堂检测重反馈 C由装本不等式知当a>60时，历<营瓜<学故 选C. 2.D由于ab>0,可知a与b同号，显然当a<0,b<0时，选项A, B中的不等式不成立，所以选项A,B错误：由b>0,得>0， 80,所以日 ≥2√合·6=2，选项C错误：显然，Ya, b a b a a b beR,a2+b2≥2ab,选项D正确.故选D. 3.≥ +2=+)1=++ ≥2.当且仅当 x+1√2+1 √x2+I x2+1= 1,即x=0时取“=”， /x+1 4.20x+y≥2/y=2√/100=20（当且仅当x=y=10时取等号）. 第2课时基本不等式的应用 题型探究提技能 例1：1y= 2+7x+10(x+1)2+5(+1)+4=（+1)+ x+1 x+1 4+5,因 + 为1，所以+1>0所以≥2√+1)·有 +5=9,当且 x+1 仅当x+1=4 中即x=1时，等号成立，故x=1. 跟踪训练1：6-1y=x+3x+8(+)2+(+)+6 x+1 x+1 1 一，因为x>-1,所以x+1>0,所以y≤ (x+1) 6 +1 x+1036 随堂检测 重反馈 1.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是 A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax 2.已知a∈R,则“a>1是1<1的 条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要 3.给定下列命题： ①0>a>b→a2>b2;②a2>b2→a>b>0:③a>b=<1;④a>b→a3>b3. 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取值范围为 的取值范围 为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[11] 2.2 基本不等式 新课程标准解读 学科核心素养 理解基本不等式的几何意义及其推导过程 数学抽象、直观想象 能利用基本不等式比较代数式的大小、求最值及证明简单的不等式。 逻辑推理、数学运算 会运用基本不等式解决生活中的问题 数学建模 第1课时基本不等式 教材梳理明要点 P情境导入 某金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天 平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄 金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右 边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除 [提示] 不是，可利用基本不 以2作为黄金的最终质量出售.这样称得的质量是黄金的真实质量吗？ 等式知识进行计算并 P[提示] 证明. 台新知初探 知识点一基本不等式 如架a0.>0,则画≤，当且仅当 时，等号成立其中，2叫 做正数a,b的 平均数，√ab叫做正数a,b的 平均数：基本 不等式可叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数 ●037 知识点二基本不等式与最值 已知x,y都为正数，则 (1)若x+y=s(和为定值)，则当x=y时，积y取得最大值 [知识点反思] 1.基本不等式的常见 (2)若y=p(积为定值)，则当x=y时，和x+y取得最小值 变形 P[知识点反思] Wa+b≥2√b;2)ab≤ 目预习自测 2(其中 a>0,b>0,当且仅当 1.判断下列说法是否正确，正确的打“V√”，错误的打“×” a=b时等号成立). 2.利用基本不等式求 (1)6和8的几何平均数为2√3 ( 最值时要牢记“一正 (2)a2+1≥2a中等号成立的条件是a=1. ( ）（各项必须为正)、 二定（各项之和或各 (3)若u≠0，则+≥2a.工=2 1 项之积为定值）、三 a 相等（必须验证取等 号时条件是否具 (4)若a≠0，则(-)*+-≤-2(-a)0-2 备)” 4 2.若x>0,则y=一+x的最小值为 题型探究提技能 题型一利用基本不等式判断命题真假 例1.（1)设0a<6,则下列不等式中正确的是 ( A.a<b<√ad<a+h B.as/abatb C.a</ab<b-atb [方法总结1] 2 D.ab<a<“bb 基本不等式的结构体 (2)下列不等式一定成立的是 ）现了“和式”与“积 A+4>(>0) 1 1 式”的相互转化，当 B.x+一≥2(x≠0) 题目中不等号的一端 是“和式”而另一端 C.x2+1≥2|xI(x∈R) D.1 >1(x∈R) 是“积式”时，就要 x2+1 考忘利用基本不等式 [方法总结1] 来解决，在应用过程 中注意“一正、二 )》跟踪训练1 定、三相等”. 下列不等式中正确的是 ( A当>0时，NE+≥2 B.当x≥2时，x+二的最小值为2 C.a邱≥a+b D.a2+b2≥4ab 2 038 题型二直接利用基本不等式求最值 12 例2.(1)当x>0时，求+4：的最小值： [方法总结2] 负项和求最值时，通 (2)当<0时，求2+4的最大值 ·[方法总结2] 过提取负号转化为正 数后再利用基本不等 式并结合不等式的性 质求出最值 〉》跟踪训练2 (1)若0<x<1,则√x(3-2x)的最大值为 [方法总结3] (2)x+2+16 x>-2)取最小值时，x的值为 拼凑法求最值，其实质 x+2 就是先对代数式变形 题型三基本不等式的变形应用一—“凑定值”问题 拼凑出和或积为常数 的两项，然后利用基本 3.1)已知2则=4 t4x-5的最大值是 1 不等式求解最值」 构造出4x-5L (2)设0<子则)=4(3-2)的荣大值为 4x=2 X2x4 [方法总结3] 》跟踪训练3 1 已知x<2,则2x+2x-i 的最大值是 随堂检测 重反馈 1.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 ( A.a-b<O B0kgl v D.ab>a+b 2.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是 A.a+b≥2√ab B.11、2 C. +” '6s2 D.a2+b2≥2ab x2+2 3.比较大小： 2.(填“>”“<”“≥”或“≤”) +1 4.已知x>0,y>0,且xy=100,则x+y的最小值为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[12]