练案26 第五章1 基本计数原理-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

练案[26] 第五章 计数原理 §1 基本计数原理 b组·基础自测 二、填空题 一、选择题 :7.如图，在由开关组A与B组成的并联电路（规 1.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8 定只能合上其中一个开关)中，接通电源使灯 个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个 泡发光的方法有 种 球，不同取法的种数为 ( A.182 B.14 C.48 D.91 2.把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个， 至多5个，则不同的分法共有 )8.有A,B,C型号的高级电脑各一台，甲、乙、丙、 A.4种 B.5种 ! 丁4名操作人员的技术等级不同，甲、乙会操 C.6种 D.7种 作三种型号的电脑，丙不会操作C型号的电 3.5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同 脑，而丁只会操作A型号的电脑从这4名操 学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共 作人员中选3人分别去操作这三种型号的电 有 脑，则不同的选派方法有 种 A.10种B.20种C.25种 D.32种 三、解答题 4.某商店共有A,B,C三个品牌的水杯，若甲、9.已知a∈3,4,6，b∈1,2,7,8，re18,9, 乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是A品 则方程(x-a)2+（y-b)2=r2可表示不同的 牌，乙买的不是C品牌，则这三人买水杯的情 况共有 圆的个数是多少？ A.3种 B.7种 C.12种D.24种 5.体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3 的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小 于其编号，则不同的放球方法有 A.8种 B.10种 C.12种 D.16种 6.(多选题)某校实行选课走班制度，张毅同学 选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B 层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表 所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外 一节上自习，则下列说法正确的是 ( 第1节 第2节 第3节 第4节 地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班 生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班 物理A层1班 生物A层3班物理A层2班 生物A层4班 物理B层2班生物B层1班物理B层1班 物理A层4班 政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班 A.此人有4种选课方式 B.此人有5种选课方式 C.自习不可能安排在第2节 D.自习可安排在4节课中的任一节 247 10.一个袋子里装有10张不同的中国移动手机6.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是 卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通 一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短 手机卡 的小木棍.如图，是利用算筹表示1-9的一种 (1)某人要从两个袋子中任取一张供自己使 方法，则据此，3可表示为“=”，26可表示为 用的手机卡，共有多少种不同的取法？ “=1”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹 (2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移 不能剩余，则可以表示的两位数的个数为 动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共 有多少种不同的取法？ ,,,1 4 678 三、解答题 7.4个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个 人取一张不是自己的贺年卡，共有多少种不同 取法？ 乃组·素养提升 一、选择题 1.若3名学生报名参加天文、计算机、文学、美术 这4个兴趣小组，每人选1组，则不同的报名 方式有 A.12种B.24种。C.64种 D.81种 2.从集合{0,1,2,3,4,5}中任取两个互不相等的 数组成形如a+bi的复数，其中虚数有( A.36个 B.30个 C.25个 D.20个 3.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的4个 矩形A,B,C,D中，要求相邻的矩形涂色不同，8.某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同 则不同的涂法有 ) 的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个 A B 公益广告，要求最后播放的不能是商业广告， C 且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放， 两个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多 D 少种不同的播放方式？（用1,2,3,4,5,6表示 A.72种B.48种C.24种 D.12种 广告的播放顺序) 4.舞蹈演员甲有4件不同颜色的衬衣，3件不同 花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙.“五 一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则不同 的选择方式有 ( A.24种 B.14种 C.10种 D.9种 二、填空题 5.有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8 本不同的英语书，从中任取两本不同类的书， 共有不同的取法 种. —248设D(0,0,z)(z>0),则B2=(1,1, 份，1和2，这两份在三个位置，有3×2=6种结果：第三种方 0),AD=(0,-2,z) 法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果。 设B配与AD所成角为0，由图知直线BE 综上可知共有1+6+3=10种结果. 与AD所成角为T-0. 6.BD由于生物在B层，只有第2,3节有，故分两类： 而B2·AD=2×√4+2·cos0 若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法， -2 其他两节政治、自习任意选即可，故有2×2=4种（此种情况 x4+×(周）=-2 自习可安排在第1,3,4节中的某节)： 若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节， .z=4,即D(00,4). 自习只能选第2节，故有1种 设向量八=(x,y,是平面ACD的一个法向量， 根据分类加法计数原理可得选课方式有4+1=5种， 则n⊥AD且n⊥AC 综上，自习可安排在4节课中的任一节. 由A元=(2，-2,0)，AD=(0,-2,4), 7.5要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，在由开关组A与B组 rx2+y2+z2=1, 成的并联电路中，只要合上题图中的任一开关，接通电源，灯泡 得{2x-2y=0, 就会发光.因此接通电源使灯泡发光的方法有2+3=5（种）. 【-2y+4z=0. 8.8 要完成“从4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号 取=子，则=子=分n=(} 的电脑”这件事，可分四类：第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙 不会操作C型号的电脑，故有2×2×1=4（种）选派方法；第 又B=(0,0,4), 二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型号的电脑，故有2 亠点B到平面ACD的距离d=B励·L=4 种选派方法；第三类，选甲、丙、丁3人，这时只有1种选派方 -3 法；第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种选派方法.根据 8.(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD 分类加法计数原理，知共有4+2+1+1=8（种）选派方法. 因为BC⊥CD,BCC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC9.圆方程由三个量a,b,r确定，a,b,r分别有3种、4种、2种选 ⊥DM. 法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2= 因为M为CD上异于C,D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM. 24(个). 又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC. 10.(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况： 而DMC平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC. 第1类，从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种 (2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示 取法； 的空间直角坐标系D-xyz. 第2类，从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种 当三棱锥M-ABC体积最大 取法. 根据分类加法计数原理，共有10+12=22（种）取法 时，M为CD的中点， (2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行： 由题设得D(0,0,0),A(2,0, 第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种 0),B(2,2,0),C(0,2 取法； 0),M(0,1,1), 第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种 A7=(-2,1,1),AB=(0,2, 取法. 0),DA=(2.0.0). 根据分步乘法计数原理，共有10×12=120（种）取法 设n=(x,y,z)是平面MAB的一个法向量， 则/m·4=0, B组·素养提升 1.C 由题意可得每个人都有4种选法，则由分步乘法计数原理 1n.AB=0, 可得不同的报名方式有4×4×4=64种，故选C. 即22+y+2=0可取m=(1,0,2). 2.C第一步，取b的值，有5种方法；第二步，取a的值，也有5 L2y=0, 种方法.由分步乘法计数原理得，共有5×5=25个虚数. DA是平面MCD的一个法向量. 3.A根据题意，首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与 因此cos(n,Di)=n·D=5 InlIDAl=5,sin(n,DA)=2/5 A,B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法， 5 所以共有4×3×2×3=72（种）涂法.故选A. 所以平面M5与平面MCD所成二面角的正弦值是 4.B由题意可得，舞蹈演员甲有4×3+2=14种不同的选择 方式. 5.242取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原 练案[26] 理有10×9=90（种）不同取法； A组·基础自测 取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8=72（种）不同 1.C由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8=48，故 取法； 选C. 取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8=80（种）不同 2.A分类考虑，若最少一堆是1个，那由每堆至多5个知另两 取法 堆分别为4个、5个，只有一种分法：若最少一堆是2个，则由 综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90+72+80= 3+5=4+4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3 242(种)不同取法. 个4个，故共有分法1+2+1=4种 6.16根据题意，6根算筹可以表示的数字组合为1,5；1,9：2 3.D每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据： 4;2,8;6,4;6,8;3,3;3,7;7,7. 分步乘法计数原理，不同的报名方法共有2=32（种）. 数字组合1,5；1,9；2,4：2,8；6,4：6,8；3,7中，每组可以表示2 4.C由分步乘法计数原理可得这三人买水杯的情况共有2×2 个两位数，则可以表示2×7=14个两位数： ×3=12(种).故选C 数字组合3,3：7,7中，每组可以表示1个两位数，则可以表示 5.B首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这样剩下三 2×1=2个两位数. 个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一 综上，共可以表示14+2=16个两位数 个箱子中放一个，有1种结果；第二种方法，可以把球分成两：7.将该问题转化为“用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四 388 位数，要求1不在个位、2不在十位、3不在百位4不在千位的 a-出--品所以c不确： (n-1)! 四位数有多少个”.因此，可分三步，第一步确定个位数，有3 种不同的方法：第二步确定把1放到十位、百位、千位中的任 由排列数公式可知A”+mA-1= n！ 一位上，也有3种不同的方法；第三步，余下的两个数字只有 (n-m)! 种方法，由分步计数原理可得不同的分配方法为3×3= a--×+-0-] n！ m 9种 8.完成这件事有三类方法 （(m-[a+1)-m=A,所以D正确 n！ n+1 (n+1)！ 第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6，分6步完 成这件事，共有3×3×2×2×1×1=36（种）不同的播放 4.B不考虑限制条件有A?种选法，若甲当副组长，有A4种选法， 方式； 故甲不当副组长的选法有A-A=16(种). 第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6，分6步完5.10 成这件事，共有3×3×2×2×1×1=36（种）不同的播放 由样列数公式得是-沿>12，即（红5）(n-6)3 方式： 12,解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9,又neN,所以n 第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6，同样分6 的最小值为10. 步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1=36（种）不同的播放6.10个位数字为0时，符合要求的四位偶数有A=6(个)：个 方式. 位数字为2时，符合要求的四位偶数有AA2=4(个). 由分类加法计数原理知，6个广告不同的播放方式有36+36 故由数字2,0,1,9组成的没有重复数字的四位偶数的个数为 +36=108(种). 6+4=10. 7.(1)由排列的定义知共有A种不同的排法 练案[27] (2)8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分 其排列数等于8人排成一排的排列数A:.也可以分步进行， A组·基础自测 第一步：从8人中任选4人放在前排共有A8种排法，第二步： 1.C符合题意的商有A4=4×3=12 2.A因为最大数为m+20,所以共有21个自然数连续相乘，根 剩下的4人放在后排共有A种排法，由分步乘法计数原理知 据排列公式可得m(m+1)(m+2)…(m+19)(m+20) 共有A8×A4=A。种排法. =A2+20 (3)同(2)的分析可知，共有A×A=A(种) 3.B①选出的两人分别参加数学、物理兴趣小组与顺序有关，8.证明：因为左边= a☆品+a- n！ (n-1)！ 所以①是排列问题：②选出两人参加一项活动与顺序无关，所 (n-m+1)! 以②不是排列问题；③选出3个字母与顺序无关，所以③不是 =n!(n-m+1)+m(n-1)！(n-m+1)+m(m-1)(n-1)！ (n-m+1)！ 排列问题：④选出2个数字组成两位数与顺序有关，所以④是 排列问题.综上可知，①④是排列问题，共2个.故选B. =n-1)！[n(n-m+1)+m(n-m+1)+m(m-1)] (n-m+1)！ 8！ 9 4B由92nx3 、(11-n)1×4, =（n-1)！n(n+1)-(n+1)！ (n-m+1)! (n-m+1)!=A” 得(11-n)(10-n)=12,解得n=7,n=14(舍) 5.B先确定最大数，即n,再确定因式的个数，即m,易知n=x- 练案[28] 2,m=(x-2)-(x-15)+1=14,所以原式=A42 A组·基础自测 6.AD根据排列的定义进行判断。 7.20先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从4枪不 1.D由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A种方 法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排 命中之间的三个空位及两端两个空位共5个空位中选出2个 列，有A4种方法，所以奇数的个数为AA=3×4×3×2×1 进行排列，有A:=20种. =72. 8.720这是6个元素的全排列问题，故一天的课程表排法有 2.D在8个数中任取2个不同的数可以组成A号=56（个）对数 A6=6×5×4×3×2×1=720(种). 9.(2)(4)(6)(8)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是 值.但在这56个对数值中，log4=log9,log42=log3,log23= 1og49,1og32=1og4,即满足条件的对数值共有56-4=52 排列. (个). n！ n 10.证明：左边=(n一)！+k(n-k+1)月 3.C若甲、乙都不参加排队，则不同的排法有A。=120(种)：若 =n![(n-k+1)+k] 甲、乙都参加排队，则不同的排法有A6A号A号=24（种），所以不 (n-k+1)! 同的排法共有120+24=144（种）.故选C. :4.D甲机的着舰方法有A4种，其余飞机的着舰方法有A4种 (n+1)n！(n+1)! (n-k+1)I(n-k+1)!1 而乙机与丙机的相对顺序关系有A?种，故不同的着舰方法有 右边=花两以+线。 A·A =48种 A B组·素养提升 5.C五门课程随意安排有A;种排法，数学课在历史课前和历 1.B.A=132,.n(n-1)=132,.n2-n-132=0,解得n= 史课在数学课前各占总排法数的一半，所以数学课排在历史 12或n=-11(舍去)，∴.n的值为12. 2.C根据题意，要求小明的父母都与他相邻，即小明坐在父母 课前的排法有之A=60(种)， 中间，将三人看成一个整体，有2种排法，将这个整体与爷爷 6.ACD把A,B插人到C,D,E所形成的4个空中，共有AA子= 和奶奶全排列，有A=6(种)排法，则有2×6=12（种）不同！ 72(种)方法，故A正确：把A,B捆绑在一起和插人到C,D,E 的排法. 中全排，共有AA=48(种)方法，故B不正确：A在B左边， 3.Cn+)是-n+1)×m=nl,所以A正确： n+1 n+1 则有 元=60（种）方法，放C正确；利用间接法A-2A+A n×(n-1)! n！ =78(种)方法，故D正确， nA=(n”)气m-)(nm刀=A,所以B正确：7.96先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个 -389