练案24 第三章 4.3 第1课时 空间中的角-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

则片片= 「x 33 x2+y2+2=1 4.B以D为原点，DA,DC,DD,所在直线 D,3 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标 系，如图所示，则D(0,0,0),E(2,2,2), 若n与平面ABC垂直， A(2,0,3),B(2,2,3). D 则n·店=0 即-x-y+2z=0, 「z= 4 D2=(2,2,2),A1B=(0,2,0),.D2 n·At=0,1x+2z=0, 可得 ·A1B=4,IDE1=25,1A1B1=2. x=-2 设异面直线DE与AB,所成的角为0， 又因为n=√2I,所以√+y+z=2I,解得y=4或y= 则os0=1cos(D2,4B)1= DE·ABI 4 3 DAB125×2 3 -4. 当y=4时，x=-2,z=1; 当y=-4时，x=2,z=-1. 又0e(0,] 所以n=(-2,4,1)或n=(2,-4,-1). 7.(1)证明：AB=(-1,2,1),AD=(0,-2,3),AP=(8,3,2), .AP·AB=0,AP·AD=0, 故如0v0:V1-(图-套 .AP⊥AB,AP⊥AD, 5.B由AB=1,BC=2,知AC=5,OA 即AP⊥AB且AP⊥AD, 又：AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD, =2’ ∴.AP⊥平面ABCD. (2)A=(-1,2,1),A⑦=(0，-2,3)，A2=(8,3,2), 又：PM=1,P0LACP0=2 AC=AB+A⑦=(-1,0,4)，P元=AC-Ad=(-9,-3,2), :0B=0A=至 ..1PC1=94 an0= 3·应选B 8.证明：设DA=a,D元=b,DD=c, 6.BC如图， CB:=a+c.DC:=b+e.D0-DD:+D0=c+(a+b). 设存在实数x,y,使得CB=xDC+yD0成立， ma+c=x(b+c)+yc+2(a+b)=2a+(x+26+ (x+y)c , 因为a,b,c不共线，所以 +子-0，解得=1， Ly=2, B x+y=1, 取AC中点E,AC中点F,连接EF,EB,,则EB,EC,EF三 所以CB=-DC+2Dd,即向量CB,DC,Dd共面 条直线两两垂直，以E为原点建立如图所示的空间直角坐标 因为向量CB不在DC,D0所确定的平面OC,D内， 系E-yz. 所以BC∥平面OCD. 设AB=2,则A4=23, 练案[24] A1(0,-1,0),C(0,1,0),A(0,-1,23),C(0,1,23), B(5,0,0),AC=(0,2,-23), A组·基础自测 平面ABC的一个法向量为m=(0,0,25), 1.A设直线l与平面α所成的角为0(0≤0≤），则sin0= ∴.AC与平面ABC所成角的正弦值为Icos(m,AC)1= 1asmm1=惯设宁所以0=君 Im·AC112E 1ml·lAC14×252 2.B以D为原点建立空间直角坐标系，如图， 则成=11,0)店=(0.1,2) ~A品的中点太的坐标为（汽，-子0小，平面4BB的一 0 设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), 个法向量为C-(-名.0小： .DB·n=0,DE·n=0, 可得平面BDE的法向量n=(1,-1, .AC,与平面AA,B,B所成角的正弦值为1cos(AC,KC)I= D 2),而BA=(0,-1,1), 1AC·KC=3=E cos(BM,n)=1+2=5 2万2(BA,A IAC11KC4×54 .选BC n〉=30°. 9 :以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、 .直线AB与平面BDE成60°角. 1. 3.D设a与l所成的角为0，则sim0=1cos(a,n〉1= y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，A1(4,0,3),B(4,4,0), 兴-2k线与a00c-40.9.与的夹是 B(4,4,3),C(0,4,0), 为0， —383 则cos0= A1B·B,9 A,1B,C=25, 故sin0=lcos(n,A衫1=ln·Ai=45 1n11A15 故A,与B,亡的夹角的余弦值为 5 即异面直线A,B与B,C所成角的余弦值 所以直线A与平面a所成角的正弦值为 15 B组·素养提升 :1.C以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y 8了以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD,为：轴，建立空 轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知D(0,0, 0),A(1,0,0),D(0,0,3),B(1,1,3),所以AD=(-1,0, 间直角坐标系， 5),DB=(1,1,5). 设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量， 则n·A1B=0,n·AC=0, 即2y-z=0, D {-x+2y0,令2=2，则y=1,x=2, 于是n=(2,1,2),D1C=(0,2,0), ina=lcsa,0,C=分 9.以A为坐标原点，分别以AB,AD,AA 所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间 直角坐标系Az. (1)A1(0,0,a),C(a,a,0), D0,a,0),E(a,2,0 则AD·DB=2,1AD1=2,1DB1=5. ：A,=(a,a,-a),D2x 设异面直线AD与DB,所成的角为0，则cos0=Icos(AD, 丽1=证·丽2-5 IAD 1DBI 25 =号，故异面直线AD,与DB,所 .cos(A CDE)= At.D成5 1A,乙1D正115 成角的余弦值为号 2.A设CB=1,则CA=CC1=2,B(0,0,1),C(0,2,0),A(2,0,0), 故A,C与DE所成角的余弦值为 15 B1(0,2,1),BC=(0,2,-1),AB=(-2,2,1), (2)连接DB,.·∠ADE=∠ADF, IBCI=5,IAB'I =3,BC.AB=4-1=3, ∴.AD在平面BEDF内的射影在∠EDF的平分线上. 又四边形B,EDF为菱形，.DB,为∠EDF的平分线， BC·AE=3-5,故选A :(BC,a=1B配85×3 5 故直线AD与平面B,EDF所成的角为∠ADB,. i3.C.PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°， 由A(0,0,0),B(a,0,a）,D(0,a,0）, ∴.以A为坐标原点，AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、2 得Di=(0,-a,0),DB,=(a,-a,a), cos(Di,D8=D·丽-5 轴，建立空间直角坐标系，则C(1,1,0),(?,0,) 1DA11DB13' 成=(-分1，） 又直线与平面所成角的范围足[0，引， 易知平面PAB的法向量n=(1,0,0) 设CQ与平面PAB所成角为0， 故直线AD与平面B,EDF所成角的余弦值为 1 则sm0=1eos(cd,n1=1:n」 -22√29 1cd11nl/29 29 10.(1)交线围成的正方形EHGF如图： W16 0 故选C. (2)作EM LAB,垂足为M,则AM=A,E=4,EM=AA1=8,因 为四边形EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=1O.于是MH =√Ef-EMP=6,所以AH=10.以D为坐标原点，DA的方 向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),4.C以A为坐标原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立 F2=(10,0,0),正=(0，-6,8).设1=(x,y,z)是平面EHGF的法 空间直角坐标系，设平面AGC的法向量为n=(x,y,z),则n· 向量，则”·三=0，即10x=0, n·HE=0,1-6y+8z=0, =0n0.则四8取-1则=1y-1, 所以可取n=(0,4,3).又AF=(-10,4,8), : 即n=(1,-1,1),GB=(-a,a,0). -384 设B与平面ACC所成角为a,则ina=1函·mL_6 所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角 1G21n13 由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1. 由已知，得CF=BC-BF=2. 又AD⊥DC,所以BC⊥DC. 3 设点O到平面PAC的距离为d,设直线OC和平面PAC 在Rt△DCF中，可得DF=√CD2+CF产=25. 所成的角为a,则由等体积法有：Vo-Pc=Vn-c,即子S。Pc· 在△DPe中，可得n∠P-品-停 dPoSon. 所以，直线与平面PBC所成角的正弦值为 在△AOC中，求得AC=√5，在△POD中，求得PD= 2d= 练案[25] P0·S△Dc 万x7x1×1×m12m0 2 :A组·基础自测 1 3 31 2 1.B以A为坐标原点建系，由法向量法，可得cs0= 3 ∴.sina= 于是a-(= d 2D=(-1,-24,d应：m0 Inl -3 3.B由于BA,BC,BD两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系， 600 设三棱柱的棱长为1，以B为原点，建立坐标系如图，则： 4 c@w49G-(9方小 又平面BB,C,C的一个法向量n=(1,0,0), 设AC,与平面BB,C,C的夹角为0. B AC·nl6 C sin 0=Icos(n,AC)I= LACln4, B(0,0,0),A(0,0,3),C(2,0,0),D(0,3,0), os0=√-sima= 设平面ADC的法向量为m=(x,y,2),则AD=(0,3,-3),C⑦=(-2， 4 3,0), 7.解法一：A是平面ABCD的法向量，设C与A 的夹角为p m么取=3周m=622. CS=CB+BA+AS, ..45.C5=45.(CB+BA+A5)=4S.4AS=1. 又平面ABD⊥x轴，所以平面ABD的法向量为n=(1,0,0), 1A=1,1C1=(C2+B+A) 设商角A-0-C的T面喻为0则s0M-品识方由国 可知0为锐角， =√/1C22+1B2+1AP=5, 3 cse=衣.尽。返 所以c0s0=- m0=g因此m0=血e25, 17 7 cos 0 3 1A13 故选B. 4.A设平面ABCD的法向量为n=(xy,2), 从而S与平面4CD所成的角的余弦值为 则n·西=0，即2x-y+3=0, 1n·Ai=0,1-2x+y=0, 解法二：连接AC,显然∠SCA即为SC与平面ABCD所成的角. 令x=1,可得y=2,z=0,即n=(1,2,0), 计算得：AC=反tam∠SCA=, 2 cosL SCA=6 …cos(n,Ap=n·A证 InlIA15×26 放SC与平面4BCD所成角的余弦值为气 于是点P到平面CD的距离为1ma办)1=行，即四陵锥 8.(1)如图，由已知AD∥BC,故∠DAP或其补角即为异面直线 5 AP与BC所成的角. P-ABCD的高为号故选A 因为ADL平面PDC,直线PDC平面 5.B过A,B作x轴的垂线，垂足分别为AB,则1A1=3,BB1=2, PDC,所以AD⊥PD. IA'B1=5,又AB=A4'+A'B+B'B,.IAB12=32+52+2+2×3×2 在Rt△PDA中，由已知，得AP= >B √AD2+PD=5, 故cos∠DAP=40-5 .AB1=2√T,故选B. AP=5 6.BC如图，以A为原点建立空间直角坐标系4-z, 所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为得 (2)证明：由(1)知AD⊥PD.又因为BC∥AD,所以PD⊥BC 又PD⊥PB,PB∩BC=B,所以PD⊥平面PBC. (3)过点D作DF∥AB,交BC于点F,连接PF,则DF与平面 PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角. 因为PD⊥平面PBC, 所以PF为DF在平面PBC上的射影， -385练案[24] 第三章 空间向量与立体几何 §4[4.3 第1课时空间中的角] 名组·基础自测 二、填空题 一、选择题 7.在长方体ABCD-AB,C,D1中，已知DA=DC =4,DD1=3,求异面直线AB与B,C所成角 1.在空间直角坐标系中，直线1的一个方向向量 的余弦值为 为m=（-1,0,3),平面a的一个法向量为8.在长方体ABCD-AB,C,D,中，AB=2,BC n=(1,5,2),则直线1与平面a所成的角为 AA1=1,则DC1与平面A,BC1所成角的正弦 ( 值为 A.刀 C.2m D.5m 1 三、解答题 6 B骨 3 6 9.如图示，在棱长为a的正方体ABCD 2.在棱长为1的正方体ABCD- AB1CD1中，E,F分别是BC,AD1的中点. AB,C1D1中，E为CC1的中 (1)求直线AC与DE所成角的余弦值； 点，则直线AB与平面BDE (2)求直线AD与平面B,EDF所成角的余 所成的角为 ( D 弦值. A否 B. 3 c号 D.5m 6 3.若平面x的一个法向量为n=(4,1,1),直线1 的一个方向向量a=(-2,-3,3),则1与所 成角的余弦值为 ( A.、0 11 B.0 11 10.如图，长方体ABCD-AB,C,D1中，AB=16, C.-10 D.13 BC=10,A41=8,点E,F分别在AB1,DC 11 33 上，AE=D1F=4.过点E,F的平面a与此长 4.在长方体ABCD-AB,C,D1中，AB=AD=2, 方体的面相交，交线围成一个正方形 DF AA=3,点E在棱BB1上，且BE=2EB1,则异 E 面直线DE与AB,所成角的正弦值为( B.6 C.6 D今 D 3 ·4 3 5.三棱锥P-ABC的底面是以AC为斜边的直角 (1)在图中画出这个正方形（不必说明画法 三角形，顶点P在底面的射影恰好是△ABC的 和理由)； (2)求直线AF与平面所成角的正弦值. 外心，PA=AB=1,BC=√2，则PB与底面ABC 所成角为 ( A.60° B.30° C.45° D.90° 6.(多选题)在正三棱柱ABC-AB,C1中，AM1= √3AB,则 AAC与底面ABC所成角的正弦值为 B4G,与底面ABG所成角的正弦值为号 C.AC,与侧面A,B,B所成角的正弦值为 4 D.4C,与侧面AM,B,B所成角的正弦值为√⑧ 4 243 B组·素养提升 6.正三棱柱ABC-AB,C的所有棱长都相等，则AC1 一、选择题 与平面BB,C,C的夹角的余弦值为 三、解答题 1.在长方体ABCD-AB1C,D,中，AB=BC=1,A41 7.如图所示，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC= =√5，则异面直线AD,与DB,所成角的余弦值为 ∠DAB=90°，SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC= ( 1 B 受 1,AD=),求SC与平面ABCD所成的角的余 A. 弦值 2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-AB,C1,AC⊥BC,且CA=CC1=2CB,则 直线BC,与直线AB,夹角的余弦值为( 小z b(© A.5 B. C.25 3 5 3.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD, 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC, ∠BAD=90°，PA=AB=BC AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD =AD=1,BC∥AD,已知 =2 Q是棱PD上靠近点P的四等分点，则CQ与平 面PAB所成角的正弦值为 ( A尊 B.25 c.229 5 29 6 (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； 4.如图，平面ABCD⊥平面ABEF, (2)求证：PD⊥平面PBC; 四边形ABCD是正方形，四边形 (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值 ABEF是矩形，且AF=2AD= a,G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角 的正弦值为 ( ) L男 B. 3 D② 3 二、填空题 5.如图，圆锥的高P0=√2，底 面⊙O的直径AB=2,C是 圆上一点，且∠CAB=30°，D 为AC的中点，则直线OC和 0 平面PAC所成角的余弦值为 244