3.4.3 第1课时 用向量方法研究立体几何中的度量关系（一）(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　用向量方法研究立体几何中的度量关系(一) 一、选择题 1.已知异面直线a,b的一个方向向量分别是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2),则a,b的夹角是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 2.在空间直角坐标系中,已知平面α的一个法向量为n=(1,-1,0),则x轴与平面α夹角的大小为 (　 ) A. B. C. D. 3.在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,N是AC的中点,则异面直线A1M与BN的夹角的正弦值为 (　 ) A. B.1 C. D. 4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=2,AB=3,点F在棱C1D1上,且D1F=1,则异面直线CD与BF夹角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. 5.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF的夹角的正弦值为 (　 ) A. B. 　C.- D.- 6.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,SA⊥平面ABCD,SA=AB,E是BC的中点,F是棱SD上一点(不含端点),满足=λ.若异面直线AE与CF的夹角的余弦值为,则λ的值为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 7.(多选题)[2024·安徽黄山高二期中] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,∠BAC=90°,D,E分别为A1C1,A1B的中点,则下列结论正确的是 (　 ) A.DE∥B1C B.直线DE与平面A1BC的夹角的正弦值为 C.平面A1BC与平面ABC的夹角的余弦值为 D.直线DE与AA1的夹角为 8.(多选题)如图所示,设E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD上的两点,且AB=2,EF=1,则下列说法正确的是 (　 ) A.三棱锥D1-B1EF的体积为定值 B.异面直线B1D1与EF的夹角为45° C.B1D1⊥平面B1EF D.直线B1D1与平面B1EF的夹角为45° 二、填空题 9.如图,正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,则直线AC1与侧面ABB1A1的夹角为　　　　.  10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为1,则AB1与C1B夹角的余弦值为　　　　.  11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1夹角的正弦值为　　　　.  12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=2,AB=3,P为线段BD上的动点,当直线AP与平面AB1D1夹角的正弦值取最大值时,=　　　　.  三、解答题 13.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形,PB⊥平面ABCD,E为线段PB的中点. (1)证明:AC⊥PD; (2)若PB=2AB=2,求直线DE与平面PCD夹角的正弦值. 14.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2. (1)求证:MN∥平面BDE. (2)若点H在棱PA上,且直线NH与直线BE的夹角的余弦值为,求线段AH的长. 15.如图,圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面圆的圆心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周),若AM⊥MP,则MP与底面夹角的正弦值的取值范围是　　　　　　.  16.在如图所示的四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°,BC=CD=AD=1,E为AD的中点,过BE的平面与PD,PC分别交于点G,F. (1)求证:GF⊥PA. (2)若PA=PD=,则棱PD上是否存在点G,使得直线PB与平面BEGF夹角的正弦值为?若存在,请确定点G的位置;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　用向量方法研究立体几何中的度量关系(一) 1.C　[解析] ∵异面直线a,b的一个方向向量分别是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2),∴cos<m,n>====-,∵异面直线a,b的夹角的取值范围为,∴a,b的夹角是,故选C. 2.C　[解析] 依题意知x轴的一个方向向量为m=(1,0,0),设x轴与平面α的夹角为θ,则sin θ===,因为θ∈,所以θ=,故选C. 3.D　[解析] 设直三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,以A为原点,AC所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(0,0,2),M(,1,1),B(,1,0),N(0,1,0), 则=(,1,-1),=(-,0,0).设异面直线A1M与BN的夹角为θ,则cos θ===,∴sin θ==,∴异面直线A1M与BN的夹角的正弦值为.故选D. 4.B　[解析] 如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),C(0,3,0),B(2,3,0),F(0,1,2),∴=(0,3,0),=(-2,-2,2),∴cos<,>===-,∴异面直线CD与BF夹角的余弦值为.故选B. 5.A　[解析] 以A为原点,以AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F,则=(0,0,-2),=,=.设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则得取z=1,则n=(2,0,1).设直线PA与平面DEF的夹角为θ,则 sin θ=|cos<n,>|==,故直线PA与平面DEF的夹角的正弦值为.故选A. 6.C　[解析] 取CD的中点M,连接AM,AC,因为四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以△ABC,△ADC均为等边三角形,又因为M是CD的中点,所以AM⊥CD,又因为AB∥CD,所以AM⊥AB,以A为坐标原点,以AB,AM,AS所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=SA=1,则A(0,0,0),S(0,0,1),E,C,D,设m=,则m=,所以F,所以=,又=,所以|cos<,>|===,化简可得16m2-8m+1=0,所以m=,所以=,所以=4,所以λ=4.故选C. 7.BC　[解析] 如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,设AB=2,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,2,2),D(0,1,2),E(1,0,1).对于选项A,=(1,-1,-1),=(-2,2,-2),因为=≠,所以与不平行,所以DE与B1C不平行,故A错误;对于选项B,=(2,0,-2),=(-2,2,0),设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=z=1,可得n=(1,1,1),则cos<n,>===-,所以直线DE与平面A1BC的夹角的正弦值为,故B正确;对于选项C,平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),则cos<n,m>===,所以平面A1BC与平面ABC的夹角的余弦值为,故C正确;对于选项D,因为=(0,0,2),所以cos<,>===-,则直线DE与AA1的夹角的余弦值为,所以直线DE与AA1的夹角不为,故D错误.故选BC. 8.AB　[解析] 对于A选项,==··B1C1=××2×1×2=,为定值,故A正确.对于B选项,因为EF∥C1D1,所以∠B1D1C1为异面直线B1D1与EF的夹角,因为∠B1D1C1=45°,所以异面直线B1D1与EF的夹角为45°,故B正确.如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系D-xyz,则A1(2,0,2),B1(2,2,2),C(0,2,0),D1(0,0,2),对于D选项,连接A1D,B1C,易知平面B1EF即平面A1B1CD,可得=(-2,-2,0),=(0,2,0),=(2,0,2),设平面A1B1CD的法向量为n=(x,y,z),则即取x=1,得n=(1,0,-1),设直线B1D1与平面B1EF的夹角为θ,则sin θ=|cos<,n>|==,所以θ=30°,故D错误.对于C选项,由D选项可知直线B1D1与平面B1EF的夹角为30°,故C错误.故选AB. 9.　[解析] 以A为原点,以AB,AA1所在直线分别为x轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设D为A1B1的中点,连接AD,则A(0,0,0),C1(1,,2),D(1,0,2),∴=(1,,2),=(1,0,2).易知∠C1AD为直线AC1与侧面ABB1A1的夹角, 则cos∠C1AD==,∴∠C1AD=. 10.　[解析] 如图所示,分别取BC,B1C1的中点O,O1,连接OO1,AO,由正三棱柱的性质可得AO,BO,OO1两两垂直,建立空间直角坐标系O-xyz.∵三棱柱的棱长都为1,∴A,B,B1,C1,∴=,=(0,-1,1),∴cos<,>===,∴异面直线AB1与C1B夹角的余弦值为. 11.　[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,因为AB=2,BC=AA1=1,所以A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1),所以=(-1,2,0),=(-1,0,1),=(0,2,0).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则即令x=2,得y=1,z=2,则n=(2,1,2).设D1C1与平面A1BC1的夹角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===,即D1C1与平面A1BC1夹角的正弦值为. 12.　[解析] 以点D为原点,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,所以D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,3,0),B1(2,3,2),D1(0,0,2),故=(2,3,0),=(0,3,2),=(-2,0,2).设=λ=(2λ,3λ,0)(0≤λ≤1),则P(2λ,3λ,0),所以=(2λ-2,3λ,0).设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),则可得取z=3,则n=(3,-2,3).设直线AP与平面AB1D1的夹角为θ,则sin θ=|cos<,n>|==,当λ=时,直线AP与平面AB1D1夹角的正弦值取得最大值,此时=. 13.解:(1)证明:连接BD,交AC于O,连接PO,如图所示, 因为底面ABCD为正方形, 所以AC⊥BD, 因为PB⊥平面ABCD, AC⊂平面ABCD, 所以AC⊥PB, 因为BD∩PB=B,BD, PB⊂平面PBD, 所以AC⊥平面PBD, 又PD⊂平面PBD, 所以AC⊥PD. (2)因为底面ABCD为正方形, 且PB⊥平面ABCD, 所以BA,BC,BP两两垂直,则以B为原点,建立空间直角坐标系B-xyz,如图所示, 所以C(0,1,0),D(1,1,0),P(0,0,2),E(0,0,1), 所以=(1,0,0),=(0,1,-2),=(-1,-1,1). 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则即 令z=1,则n=(0,2,1). 设直线DE与平面PCD的夹角为α, 则sin α=|cos<n,>|= ==, 即直线DE与平面PCD夹角的正弦值为. 14.解:(1)证明:如图,以A为原点,以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则M(0,0,1),B(2,0,0),C(0,4,0),N(1,2,0),D(0,0,2),E(0,2,2), 则=(1,2,-1),=(2,0,-2),=(0,2,0). 设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), 则取x=1,得n=(1,0,1). ∵·n=0,∴MN∥平面BDE. (2)设AH=t,且t∈[0,4],则H(0,0,t),由(1)知=(-1,-2,t),=(-2,2,2), 则|cos<,>|===,整理得4t2-9t+2=0, 解得t=或t=2,所以线段AH的长为或2. 15.　[解析] 连接OP,由题可得MO⊥☉O所在的平面,则∠MPO即为MP与底面的夹角,如图,以O为原点,OB,OS所在直线分别为y,z轴,在圆O所在平面内,过O且垂直于AB的直线为x轴,建立空间直角坐标系,则A(0,-1,0),M,设P(x,y,0),x2+y2≤1,则=,=.由AM⊥MP,得·=0,即y=,则0≤x2≤1-y2=,故OP==∈.由于PM2=OM2+OP2,则PM∈,所以MP与底面夹角的正弦值为=∈. 16.解:(1)证明:在直角梯形ABCD中,因为BC=AD,且E为AD的中点,所以BC=DE,又BC∥AD,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD,又CD⊂平面PCD,BE⊄平面PCD,所以BE∥平面PCD, 又BE⊂平面BEGF,平面BEGF∩平面PCD=GF,所以BE∥GF.因为∠ADC=90°,BE∥CD,所以BE⊥AD, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BE⊂平面ABCD, 所以BE⊥平面PAD,所以GF⊥平面PAD, 又PA⊂平面PAD,所以GF⊥PA. (2)连接PE,由PA=PD=,E为AD的中点,得PE⊥AD,由(1)可得,BE⊥PE,BE⊥AD,以E为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则P(0,0,1),B(0,1,0),E(0,0,0),D(-1,0,0),则=(0,1,-1),=(0,-1,0),=(1,0,1).设=λ(0≤λ≤1),可得G(λ-1,0,λ),则=(λ-1,0,λ).假设存在点G满足题意.设平面BEGF的法向量为n=(x,y,z),则即令x=λ,得n=(λ,0,1-λ).设直线PB与平面BEGF的夹角为α,则sin α=|cos<n,>|===,解得λ=或λ=-1(舍去),所以存在点G,使得直线PB与平面BEGF夹角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $