5.3.1 组合-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 3.1 组合 （教师独具内容） 课程标准：通过实例，理解组合的概念. 教学重点：组合的概念. 教学难点：用两个计数原理分析和解决一些简单的与组合有关的实际问题. 核心素养： 1.通过学习组合的概念，培养数学抽象素养.2.通过利用两个计数原理解决与组合有关的实际问题，培养逻辑推理素养. 知识点一 组合的概念 一般地，从n个不同元素中，任取m（m≤n，且m，n∈N+）个元素为Ａ一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 知识点二　组合问题的概念 我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题． 知识点三　排列与组合之间的联系与区别 (1)联系：两者都是关于从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的计数问题． (2)区别：排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序． 也就是说：只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合． 组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，因此区分某一问题是组合问题还是排列问题，关键是看取出的元素有无顺序． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)某班选10名同学参加拔河比赛，这个问题是组合问题．(　　) (2)从a，b，c，d中选取2个合成一组，其中a，b与b，a是同一个组合．(　　) (3)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的不同选法种数是3.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)从1名女生、6名男生中选4人担任奥运会志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种． (3)4种不同的种子，选出3种种在3块不同的土地上，每一块地只能种一种，则不同的种法有________种． 答案　(1)20　(2)20　(3)24 题型一　组合的有关概念 　给出下列问题： (1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (2)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (3)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ (4)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？ [解]　(1)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题． (2)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (3)冠亚军是有顺序的，是排列问题． (4)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (5)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 感悟提升　判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素的先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题． 　判断下列问题是排列问题，还是组合问题： (1)从集合A＝{－1，1，10，8，6，4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A＝{－1，1，10，8，6，4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？ (3)有4张相同的电影票，要在7人中选出4人去观看，共有多少种不同的选法？ (4)四人互发电子邮件，共写了多少个电子邮件？ 解　(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此，此问题只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题． (2)从集合A中取出两个数相除，若改变其除数、被除数的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题． (3)由于从7人中选出4人去观看相同的电影，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发件人与收件人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 题型二　简单的组合问题 　已知A，B，C，D，E 5个元素，求每次取出3个元素的所有组合的个数． [解]　解法一：利用列举法把所有组合都列出来，分别是ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.因此每次取出3个元素的所有组合的个数为10. 解法二：第1步，从A，B，C，D，E这5个元素中取出3个元素，设其取法总数为x；第2步，将取出的3个元素进行排列，排列数为A.因此，根据分步乘法计数原理，A＝x·A，从而x＝＝＝10.所以每次取出3个元素的所有组合的个数为10. 感悟提升　解决简单的组合问题的一般步骤 (1)弄清要做的这件事是什么事； (2)判断选出的元素是否与顺序有关，也就是看是不是组合问题； (3)利用列举法或两个基本计数原理解决问题． 　某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ 解　因为“甲站到乙站”与“乙站到甲站”车票是不同的，故是排列问题，有A＝20种；但票价与顺序无关，“甲站到乙站”与“乙站到甲站”是同一种票价，故是组合问题，设5个车站为甲、乙、丙、丁、戊，则票价的种数是车票种数的一半，有×20＝10种不同的票价． 1．下列问题中，不是组合问题的是(　　) A．从100人中选出4人作为代表去开会，有多少种选法？ B．平面上有2024个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高二(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 答案　D 解析　组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题．故选D. 2．从集合{2，3，4，5，6}中任选两个数分别作为a，b的值计算，则不同的结果有(　　) A．5种 B．9种 C．10种 D．20种 答案　B 解析　从2，3，4，5，6中任取两数有(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共10种组合，其中2×6＝3×4，所以的值有10－1＝9种．故选B. 3．从1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个数字中任取2个数字书写减法算式(仅仅是两个数字相减)给小学一年级学生(还没学习负数)训练，共可以写出不同的算式的个数为(　　) A．72 B．56 C．36 D．24 答案　C 解析　从1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个数字中任取2个数字书写减法算式，因为没学负数，即不能小数减大数，故相当于从9个不同的数字中选2个数字并成一个组，所以共可以写出不同的算式的个数为＝＝36. 4．已知平面内A，B，C，D这四个点中任意三点不共线，则以其中每三点为顶点的所有三角形为________． 答案　△ABC，△ABD，△ACD，△BCD 解析　由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD. 5．一个口袋内装有大小相同、标号不同的5个白球和3个黑球． (1)从口袋内取出3个球，使其中球的颜色相同，有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 解　(1)从口袋内的8个球中取出3个颜色相同的球，有两类取法：第1类，都是黑球，有1种取法；第2类：都是白球，有＝＝10种取法．根据分类加法计数原理，共有1＋10＝11种取法． (2)第1步，从3个黑球中取出1个，有3种取法；第2步，从5个白球中取出2个，有＝＝10种取法．根据分步乘法计数原理，共有3×10＝30种取法． 一、选择题 1．下列说法正确的是(　　) A．组合和排列都与元素的顺序有关 B．a，b，c和c，b，a不是同一组合 C．如果一个问题是排列问题，则它一定是组合问题 D．8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次是组合问题 答案　D 解析　排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，故A，B，C错误；每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题，故D正确．故选D. 2．从5人中选3人参加课外调研活动，其中甲必须参加，则不同的选法有(　　) A．60种 B．36种 C．10种 D．6种 答案　D 解析　甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有6种不同的选法．故选D. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(　　) A．6种 B．120种 C．240种 D．720种 答案　B 解析　设分法总数为x，由题意可得A＝x·A，所以x＝＝120.故选B. 4．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为(　　) A．16 B．24 C．28 D．56 答案　C 解析　本题相当于从8个不同元素中取出2个元素的组合问题，故共需建公路的条数为＝28.故选C. 5．(多选)以下四个问题中，属于组合问题的是(　　) A．从3个不同的小球中，取出2个球 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地 答案　AC 解析　从3个不同的小球中，取出2个球，与顺序无关，A是组合问题；从100位幸运观众中选出2位幸运之星，与顺序无关，C是组合问题；B，D中事件均与顺序有关，不是组合问题．故选AC. 二、填空题 6．在某次历史考试中，学号为i(i＝1，2，3，4)的同学的考试成绩f(i)∈{85，87，88，90，93}，且满足f(1)<f(2)<f(3)<f(4)，则这四位同学的考试成绩的所有情况有________种． 答案　5 解析　根据条件把四位同学成绩逐个列举出来，易知所有的情况有5种． 7．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另外一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠亚军，败者角逐第三、第四名，则该大师赛共有________场比赛． 答案　16 解析　每组各4人，分别进行单循环赛，则各组需要6场比赛，由每组的第一名与另外一组的第二名进行淘汰赛，则需要2场比赛，获胜者角逐冠亚军，败者角逐第三、第四名，则需要2场比赛，共有6×2＋2＋2＝16场比赛． 8．某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见下表．小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的选课方案有________种． 周一 周二 周三 周四 周五 演讲、绘画、舞蹈、足球 编程、绘画、舞蹈、足球 编程、书法、舞蹈、足球 书法、演讲、舞蹈、足球 书法、演讲、舞蹈、足球 注：每位同学每天最多选一门课，每一门课一周内最多选一次． 答案　15 解析　周二选编程，则选课方案有3×3＝9种；周三选编程，则选课方案有2×3＝6种．综上，不同的选课方案有9＋6＝15种． 三、解答题 9．从1，2，3，6，9中任取两个不同的数相加，列出所有的取法，并求出不同的相加结果的个数． 解　由于加法满足交换律，所以本题与顺序无关，是组合问题．现用数对(a，b)表示每一种取法，并且(a，b)与(b，a)是同一种取法． 从1，2，3，6，9中任取两个不同的数，不同的取法有(1，2)，(1，3)，(1，6)，(1，9)，(2，3)，(2，6)，(2，9)，(3，6)，(3，9)，(6，9)． 不同的相加结果为3，4，5，7，8，9，10，11，12，15，共10个． 10．现有5名学生，其中男生3名，女生2名． (1)现要从中选2名去参加某项问卷调查，有多少种不同的选法？ (2)现要从中选出男、女生各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解　(1)解法一：第1步，从5名学生中选2名学生，设其选法总数为x；第2步，将选出的2名学生进行排列，排列数为A.根据分步乘法计数原理，A＝x·A，从而x＝＝＝10.所以从中选2名去参加某项问卷调查，有10种不同的选法． 解法二：分三类：第1类，选出2名男生参加问卷调查，有3种选法；第2类，选出2名女生参加问卷调查，有1种选法；第3类，选出1名男生和1名女生参加问卷调查，有3×2＝6种选法．由分类加法计数原理知，共有3＋1＋6＝10种不同的选法． (2)从3名男生中选出2名男生参加会议，有3种选法，从2名女生中选出2名女生参加会议，有1种选法．由分步乘法计数原理知，共有3×1＝3种不同的选法． 1．若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定，当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆种数为(　　) A．27 B．26 C．9 D．8 答案　A 解析　当A1有3个元素，即A1＝{a1，a2，a3}时，不同的分拆共有23＝8种；当A1有2个元素时，不同的分拆共有3×4＝12种；当A1有1个元素时，不同的分拆共有3×2＝6种；当A1有0个元素时，不同的分拆有1种．由分类加法计数原理知，共有8＋12＋6＋1＝27种不同的分拆． 2．一电路图如图所示，从A到B共有________条不同的路线可通电． 答案　17 解析　从A到B可从上到下分为3组，第一组中左边2个或右边2个开关选1个或选2个，各有3种闭合的方式，故共有3×3＝9条；第二组有1条；第三组中3个开关选1个、选2个或选3个，共有3＋3＋1＝7条．综上可知，从A到B共有9＋1＋7＝17条不同的路线可通电． 65 学科网（北京）股份有限公司 $$