3.4.3 第1课时空间中的角-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

094 4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时空间中的角 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.能利用直线的方向向量解决两条直线所成 通过作图理解两条直线所成的角与两条直线的方 的角问题， 向向量所成角的关系，理解直线与平面的夹角和 2.会利用空间向量求直线与平面所成的角问题 直线的方向向量与平面法向量夹角的关系. 必备知识探新知 知识点1两条直线所成的角 当两条直线a与b相交时，我们把两条直线交角中范围在0，引 内的角叫作 两条直线所成的角. 0 当两条直线平行时，规定它们所成的角为 b 当两条直线a与b是异面直线时，在空间任取一点O,过点0作直线a'和b', 使得a'∥a,b'∥b,把a',b'所成的角叫作 (如图). 若向量a,b分别为直线a,b的方向向量，则直线a与6所成的角9∈[0，引，且0与两个方向向量所 成的角(a,b》 ,也就是说： 当0≤(a,b)≤5时，0= ,如图. 天b a 当5<(a,b)≤m时，0= ,故c0s0= ,如图 ab)4a 0 知识点2直线与平面所成的角 设向量1为直线l的一个方向向量，n是平面ax的一个法向量，则 直线1与平面心所成的角0e[0,引，且0=受-1，)（如图1）或0 (如图2)，故sin0= 问题：斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成 角中的最小的角吗？ 095 关键能力 攻重难 ●题型探究 规律方法： 1,传统法 作出 题型一用向量法求两条直线所成的角 与异面直线所成角相 例1直三棱柱BC,ABC,底面ABC中，CA=CB=1,∠BCA=90°，棱 等的平面角 进而构 AA,=2,N是A1A的中点 造三角形求解，这种 方法灵活技巧性强 (1)求BN的模； 强调对夹角定义的 挖掘 (2)求异面直线BA,与CB,所成的角的余弦值. .向量法：在两 异面直线a与b上分 别取点A,B和C, D,则AB与CD可分别 a,b的方向向量， 则 cos 60 IAB CDI IABIICDI 这一方法 思路简单，不需构 造，但计算量一般 较大 运用向量法常用 两种途径· (1)基底法 在一些不适合建 立坐标系的题型中，我 P[规律方法] 们经常采用取定基底的 对点训练1 方法，这是小技巧.在 由公式cos(a,b〉= 如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D1中，已知M,N分别是BD和AD的 中点，则B,M与D,N所成角的余弦值为 ( 1a1b求向量a,b的 a·b 夹角时，关键是求出 D a·b及1a1与b1, 般是把a,b用基向量 A 表示出来，再求有关 的量 (2)坐标法 根据題目条件建 立恰当的空间直角坐 4.30 标系 写出相关各点 B.30 的坐标，利用坐标法 10 15 求线线角，避免了传 C.V30 D.5 统我角或作角的步 骤，使过程变得简单。 30 15 规律方法： 题型二用向量方法求直线与平面所成的角 充分利用图形的 例2如图，四棱锥P_BCD中、底面BCD为长方形，PD 几何特征建立适当的 空间直角坐标系 ⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点. 用句量的有关知识求 解线面角 (1)求证：EF⊥平面PAB; 了一般的方法先 平面的法向量与斜线 (2)设AB=√2BC,求AC与平面AEF所成的角的正弦值 方向向量的夹角，再 [分析]解答本题可建立直角坐标系，利用平面的法向 进行换算.若直线L与 平面的夹角为 量与直线的方向向量的夹角求解. 日，利用法向量计算 0的步骤如下： 建 些标阿条件建立适当的 找直线的一个方向向量a 找平面的一个法向量网 -sin6=lcos(a.n 由血6的值确定6的大小 P[规律方法] 096 对点训练2 已知正方体ABCD-AB,C,D1的棱长为4，点E,F,G,H分别在棱CC1,DD,BB1,BC上，且CE =CC,DF=BG=DD,BH=)BC.求AH与平面AFEC的夹角的正弦值. ●易错警示 准确理解概念和参数的含义 例3.如图所示，正三棱柱ABC-AB,C的底面边长为a,侧棱长为2a,求AC,与 侧面ABB,A,所成的角， [错解]建立如图所示的直角坐标系，根据题意得： 40.00,Ba.0,0.A0.0,@,c分a,则 Ga=(-3,-,-2d, 平面AB的法向量n=(01,0),且cos(G可，m〉=C.1m CA·n1 -2 ∴.〈CA,n〉=120°. .AC1与侧面ABB1A1所成的角为60°或120°， [辨析]直线与平面所成的角9∈[0，引，用向量法求线面角的步骤： ①建立适当的空间直角坐标系； ②将斜线和它在平面上的射影或者斜线和平面的法线用向量或坐标表示出来； ③利用向量的夹角公式求解。 [正解] 097 课堂检测 固双基 1.若异面直线1，l2的方向向量分别是a=(0,4.已知向量m,n分别是直线1和平面α的方向 -2,-1),b=(2,0,4),则异面直线11与12的 1 夹角的余弦值等于 向量和法向量，若cos(m,n〉=2，则直线1与 人号 B. 平面所成角的大小为 5.如图，点0是正△ABC平面外一点，若OA= C.-25 D.25 OB=OC=AB=1,E、F分别是AB、OC的中点， 5 5 试求OE与BF所成角的余弦. 2.正方体ABCD-AB,C,D,中，直线BC,与平面 A,BD所成角的正弦值是 平 B号 C.6 3 D.3 2 3.已知两异面直线l和12的方向向量分别为 和若c,》=-,则与所成角 夯基提能作业 为 请同学们认真完成练案[24] 第2课时 两个平面所成的角、空间中的距离问题 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.会用向量解决二面角的计算 1.理解二面角的概念、范围，能用向量语言表述二面角，能将 问题 二面角化归为空间向量的夹角，这是利用向量方法研究二 2.理解图形与图形之间的距离的 面角的前提. 概念 2.理解空间中各类距离的概念，能将空间中的距离用向量的 3.理解并掌握两点之间、点到直 投影向量的长度表示. 线、点到平面、相互平行的直线3.利用向量方法求二面角与距离都是模式化的过程，应熟练 与平面、平面与平面之间的距 掌握求二面角与距离的解题步骤 离的概念及它们之间的相互转4.通过比较向量方法与几何方法的异同，感悟向量方法在研 化，会用法向量求距离. 究几何问题中的工具作用. 必备知识探新知 知识点1两个平面所成的角 一 般地，已知n1,2分别为平面a,B的法向量，则二面角a-l-B的平面角与两法向量所成角 〈n1,n2》 (如图(1))或 (如图(2))： 图(1) 图2)设平面A4,C,C的一个法向量为n1=(x1,1,a). 3.1以直线D,A1,D,C,DD分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角 则m·=0,=0, 坐标系，设CE=x,DF=y,则E(x,1,1),F(0,0,1-y),A(1,0,1), m,·A花=0-2x+21=0. B(1,1,0),所以AF=(-1,0,-y）,B,2=(x-1,0,1).又BE1 令x1=1,得y1=1.所以m1=(1,1,0). 平面ABF,所以B,E⊥AF,即B,E·AF=0,所以x+y=1. 设平面AEC的一个法向量为n2=(x2,3,2).则 rn2·AC=0, 「-2x2+2y2+2=0, n2·A2=0, ,1 4 1-2+2=0, 令23=4，得x2=1,y3=-1.所以n2=(1,-1,4). 因为m1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0.所以m1⊥n2, 所以平面AEC1⊥平面A4,C,C. 对点训练3：证明：设AS=AB=1,建立如图所示的空间直角4，证明：·平面ADEF L平面ABCD,平面ADEFO平面ABCD= 坐标系， AD,AD⊥ED,EDC平面ADEF, 则B(1,0,0),D(0,1,0),A(0, .ED⊥平面ABCD. 0,0),C(1,1,0), 以点D为坐标原点，DA,DC,DE 0.0,.37） 所在直线分别为x轴y轴、z轴建 证法一：连接AC,交BD于点 立如图所示的空间直角坐标系. 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2 0,连接0E,则点0的坐标 0),C(0,4,0),E(0,0,2),F(2,0 为宁3 2). .M为EC的中点，∴.M(0,2,1), 易不=(0,0，)，0应=(0,0,3） 则BM(-2,0,1),AD= 所以O成=)3，所以0E∥As (-2,0,0),A7=(0,0,2), 又AS⊥底面ABCD, B成=而+，故B,,供面 所以OE⊥平面ABCD.又OEC平面BDE,所以平面BDE⊥ 又BMI平面ADEF,∴.BM∥平面ADEF 平面ABCD. 5.证明：(1)以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x 证法二：设平面BDE的一个法向量为n,=(x,y,z).易知B配 轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示， =(-11.0脏-(-分) 则A1,00),B(11,0),E1,7,1 所以”1成 31c0,3 In LBE 励*y0 所以序=(720成= a成+宁+=0 1 (-0,花=(-17 D 令x=1可得平面BDE的一个法向量为n1=(1,1,0). ! 所以A亡=E京+B市，故A元与E京，B京A 因为AS⊥底面ABCD,所以设平面ABCD的一个法向量为 共面， h3=A=(0,0,1). 又因为AGd平面BEF,所以AG∥平面BEF 因为n1·n2=0,所以平面BDE⊥平面ABCD. 例6：B由错解得D21n, (2易知成i-(1,12） 则DE∥平面ABC或DEC平面ABC. 所以.成：+子=0，成成： 2 20 BD=(1,1,-1),BD=2B武+AB,所以A,B,C,D四点 所以DM⊥EF,DM⊥BF. 共面，即点D在平面ABC内，所以DEC平面ABC,故选B. 又因为BF∩EF=F, 课堂检测固双基 所以DM⊥平面BEF. 1.C因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC 又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MA, 43用向量方法研究立体几何中的度量关系 又因为点M在平面ABCD外，因此直线MA与BD的位置关系 是垂直但不相交.故选C 第1课时空间中的角 2.BD:”1,”2分别为直线1,42的方向向量(41，不重合)， 必备知识探新知 ∴.y1∥y2l1∥12，故A错误； 知识点10异面直线a与b所成的角相等或互补 v1⊥2台l1⊥l2,故B正确： 〈a,b〉T-(a,b〉1cos(a,b〉I ,·n1,n2分别为平面a,B的法向量(a,B不重合)， .n1∥n2台a∥B,故C错误； 知识点2（亿，n)）-号1os(1,n ∴.m1⊥n2今a上B,故D正确.故选BD. 问题：是. —324 如图所示，设A0是平面α的一条斜 线段，O为斜足，A'为A在平面内的投 2)由8=c,得a=号 影，而OM是平面a内的一条射线，A'M 可得AC=(2,-1,0),P元=(2,1，-1). ⊥0M.记∠A0A'=01,∠A'0M=02, ∠A0M=0.注意到AM'⊥a,所以 ms(a花，Pi=A花.P成-区 △A4'O,△A4'M都是直角三角形，而且 IACIIPBI 6 A'M是AM在平面a内的投影.因此，根 据A'M⊥OM与三垂线定理可知AML OM,所以△AM0也是直角 : 异面直线AC、PB所成的角的余弦值为 6 三角形. 如果设0A=1,则在Rt△AA'0中.0A'=0Acos01=cos01, 正-（停，分}正.防=014 因此在Rt△OMA'中，OM=OA'cos02=cos01cos02; 又PB⊥EF,EF、AF为平面AEF内两条相交直线， 另一方面，在Rt△AM0中，有OM=OAcos0=cos0. ∴.PB⊥平面AEF 因此cos0=cos01cos02. 一般地，因为0≤cos02≤1，所以由上式可知cos0≤cos01, :AC与平面AEF所成的角的正弦值为5 6 因为0，和0都是锐角，所以可得0，≤Q.这就是说，平面的斜线 对点训练2：建立如图所示的空间 与平面所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小直角坐标系，则G(0,0,1),A(0,4,0), 的角. F(4,4,1),E(4,0,2),H(2,0,0), 关键能力攻重难 A7=(4,4,1)-(0,4,0)=(4,0,1), 例1：以C为原点，以C,CB,CC的方向分 AG=(0,0,1)-(0,4,0)=(0, 别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐 -4,1), 标系 子 A1=(2,0,0)-(0,4,0)=(2, (1)N(1,0,1),B(0,1,0), -4,0). 1B1=√2+12+1下=5. 设n=(x,y,z)是平面AFEG的一个法向量，则 「4x+z=0. (2)A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0 0),B(0,1,2), L-4y+z=0 BA=(1,-1,2),CB=(0,1,2), 令x=1,则z=-4,y=-1. 即n=(1,-1,-4), BA·CB=3,1BA1=6,1CB1=5, 设AH与平面AFEG的夹角为0， s(Bi,c瓜=所·B,0 6 IBA IICB'I 10 则sin0=lcos(A立，n1= =10 /18×/20 10 ·异面直线B1,与CB,所成角的余弦值为 例3：如图所示，建立空间直角坐标 10 系依题意，得A(0,0,0),B(a,0,0) 对点训练1：A 体的棱长为2，则 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方A00。),c(宁 B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0 2 2),W(1,0,0), C .BM=（-1,-1,-2),D= ·平面AB1的法向量n=(0,1,0) (1,0,-2), 3 .cos(B M,D N) AC·n2a 1 M- C y 且cos(AC,m)= IACIInl a 2' -1+4 30 B =/+1+4×1+410 .(AC,n〉=60°，从而AC,与侧面ABBA,所成的角 例2：以D为坐标原点，DA的长为单位长度，建立如图所示 为30. 的空间直角坐标系 ! 课堂检测固双基 (1)证明：设E(a,0,0),其中a>0,则 1.Ba·b=-4,lal=5,Ib1=25, C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0, m6-csa-号 0.,(,） 2.C计算得sim0= 成-(0,7)，成=(2,1，-1)，应 故选C (0) 3.60° =(2a,0,0). 由e0s(,》=-7,则()=120，山，山4所成角为 E.PB=0..EF⊥PB. 其补角60°. AB.E市=0..EF⊥AB. 又PBC平面PAB,ABC平面PAB,PB∩AB=B, 4.30°由于cos(m,n〉=2,0°≤(m,n）≤180°，所以(m,n） ∴.EF⊥平面PAB. =60°， 所以直线1与α所成的角为30°. 325 5.设0i=a,0i=b,0C=c,则a…b=b·c=ca=2,la= 取x=5,得平面SAD的一个法向量为m=(5,1,0) 又A正=(2,0，-1)，设平面SB的法向量为n=(a,b,c), 1b1=lcl=1, 成.㎡2a+b)(-) 则·=0即 2a-c=0, 1n·=0,1-a+56-2c=0. =20c+bc-ab-bP） 令a=5,则n=(5,5,25), cosm,n=m:= 8 s10 日+日3)-分 1m1nl2√ox25, .cos(,B)=- OE.B -2 放平面S4D与平面MB所成角的余弦值是四 2 1应1B响3xB~3 例2：以B为坐标原点，建立如图所 2×2 示的空间直角坐标系，则A1(4,0, 0E与F所成角的余弦为号 1),C1(0,3,1), 所以直线AC,的方向向量AC (-4,3,0),BC1=(0,3,1), 第2课时两个平面所成的角、空间中的距离问题 所以点B到直线AC的距离 必备知识探新知 知识点1相等互补 知识点21P.n。l线段Pp的长度1P·n。 配-导 关键能力攻重难 对点训练2：以D点为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x 例：(D证明：因为四边形AC,4和四边形BDD,B均为轴，y轴，：轴建立空间直角坐标系如图所示， 矩形，所以CC1⊥AC,DD1⊥BD, 则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1, 又CC1∥DD1∥00，所以O01⊥AC,001⊥BD, 0,2),则E7=(1,-2,1),F=(1,0, 因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD. -2). (2)因为四棱柱的所有棱长都相等， 1E1=P+(-2)2+1下=6， 所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD,又 A 1FA1=2+02+(-2)产=5， O10⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两B, F.EF=1×1+0×(-2)+ 垂直.如图，以0为原点，0B,0C,001所 (-2)×1=-1, 在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐 D 标系 在成上的投影为：本产1 、6 B 设棱长为2，因为∠CB4=60°， 所以点A到EF的距离 所以0B=5,0C=1,所以0(0,0,0)，B1(3,0,2),C1(0, 1,2),平面0BD的一个法向量为n=(0,1,0), d√-（高 6 设平面0C,B,的法向量为m=(x,y,2), 例3：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0), 则0B=(5,0,2),0C=(0,1,2), P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0), 则由m10B,m10C,得3x+2z=0,y+2z=0 10,3,10吵 D成 取z=-5,则x=2,y=25,所以m=(2,25,-√5)， 所以am品浩得 (1,20亦（分1,0㎡=(0,0. 19 1). 由图形可知二面角C,-OB,-D的大小为锐角，所以二面 设DHL平面PEF,垂足为H,则 角G0A-D的余孩位 DH =x DE +y DF+z DP 对点训练1：过点D作DC的垂线交 =(+,7+y小，x+y+=） SC于E,以D为原点，以DC,DE,DA所 在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐 成=(，-(31，- 标系 所i.成=x+之+分+y）- 4x+y-2=0 ∠SDC=120°，.∠SDE=30°，又 D SD=2,.点S到y轴的距离为1，到x轴 同理，Di.p币=x+42=0, 5 的距离为5，则有D(0,0,0),S(-1,5,金C 4 0),A(0,0,2),C(2,0,0),B(2,0,1),设平面SAD的法向量为m 又x+y+z=1,所以解得x=y=172=7 =(x,y,z）, A0=(0,0,-2),A=(-1,5,-2), 所以=房(22,3)，所以13 17 2=0, l-x+5y-2z=0, 风此，点D到平面PEF的距高为护 (2)连接AC,则AC∥EF,直线AC到平面PEF的距离即为 -326