练案25 第三章 3.1.1 第2课时与椭有关的轨迹问题-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

练案[25]第三章3.13.1.1[第2课时与椭圆有关的轨迹问题] A组·基础巩固 7.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0),B(-2, 1.平面内一点M到两定点F,(0,-3),F2(0,3) 0),P是平面内一动点，直线PA,PB的斜率之 的距离之和为10，则M的轨迹方程是( 积为-子，则动点P的轨迹C的方程为 c5-后-1 8.已知椭圆C号+芳-1a>6>0),定义椭圆C 2.已知△ABC的周长为12，B(0,-2),C(0,2), 上的点M)的伴随点“为N(公)， 则顶点A的轨迹方程为 ( 则椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程 台6-1：*0) B. 12+i6=1(y≠0) 为 9.如图所示，Rt△ABC的顶点A(-2,0),直角顶 c花后=10)后+后-1w0 点B(0,-22),顶点C在x轴上，点P为线 段OA的中点， 3.已知椭圆号+ 62 =1(a>b>0),M为椭圆上一 a 动点，F,为椭圆的左焦点，则线段MF,的中点 P的轨迹是 A.圆 B.椭圆C.线段 D.直线 4.已知点F(-1,0),F2(1,0),动点A到F1的 (1)求边BC所在直线的方程； 距离是2√3，线段AF,的垂直平分线交AF,于 (2)M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方 程； 点P,则点P的轨迹方程是 (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N B. 的圆心N的轨迹方程. n台+后-1 5.动圆M与圆M1:(x+1)2+y2=1外切，与圆 M2:(x-1)2+y2=25内切，则动圆圆心M的 轨迹方程是 +号=1 c号y-1 6.设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴 上滑动，且1AB1=5,0m-0+子0诚，则点 M的轨迹方程为 a写+片-1 9+4=1 c塔+号 n荟+号- 176— 会=1上的征意点，5B是 三+画鲫智dL‘(‘乙)V学罗‘画明学4'中旺口0 且点F(2,0)为其右焦点 (1)求椭圆的标准方程； 它的两个焦点，0为坐标原点，有一动点Q满 (2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF 足O0=PF+PF,则动点Q的轨迹方程是 的中点Q的轨迹方程 C组·拓展提升 15.折纸是很多人喜爱的游戏，通过自己动手折 纸，可以激发和培养审美情趣、锻炼双手、开 发智力、提高实践技能.一张圆形纸片的半径 为8，圆心0到定点A的距离为6，在圆周上 任取一点P,将圆形纸片折起，使得P与A重 合，折痕记为直线I,直线l与直线OP的交点 为Q.将此操作重复多次，则点Q的轨迹是 16.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线1 过点B(1,0)且与x轴不重合，1交圆A于C, D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E. 证明|EA|+IEB为定值，并写出点E的轨迹 方程. B组·综合运用 11.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是 圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的 垂直平分线交CQ于点M,则M的轨迹方程 为 4紫紫-1 B.4x242 21+25=1 c芸1 D.4x+4y=1 25+21 12.在平面内，A,B是两个定点，C是动点，若 AC.B乙=2，则点C的轨迹为 ( A.椭圆B.射线C.圆 D.直线 13.已知在△ABC中，点A(-2,0),点B(2,0), 若tan∠CAB·tan∠CBA=2,则，点C的轨迹 方程为 R+写=102 8+4=1(x≠±2) —177差小于第三边，当点P位于P时，IPAI-IPF,I最小，其值为 -IAF21=-√2，此时1PAI+IPFI的最小值为6-√2. 16.6根据椭圆定义知IPF,I+1PF2I=2a,由PF,1PF2,得 △PFF2为直角三角形，.IPFI2+IPF22=(2c)2, 又：△PF,E的面积为2PE1PE,1=2,则1P,1· IPF2I=4,..(2a)2=(IPF1+IPF21)2=IPF 12+IPF212+ 2PE·PE1=4+8,可得元-c2=B,由+。4 =1可得2=a2-4,所以a2-4=2,解得a=6. 练案[25] 1.B平面内一点M到两定点F(0,-3),F2(0,3)的距离之和 为10>6，所以点M的轨迹满足椭圆的定义，且α=5，c=3,则 y2 x b=4,椭圆的焦点在y轴上，所以点M的轨迹方程为方5+16 = 2.A.△ABC的周长为12，顶点B(0,-2),C(0,2),∴.1BC1 =4,IAB1+1AC1=12-4=8,.点A到两个定点的距离之和 等于定值，又8>4，∴.点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且 a=4,c=2=12椭圆的方程为号+后=1(x0) 3B设椭圆的右焦点为，由题意，知Po1=之M,l,PF1 =MEl,又MF,I+IME,1=2a,所以PO1+1PF,1=a> 1FO1=c,故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆. 4.C依题意有IAPI=IPF,I,IAFI=IAPI+IPFI=IPFI+ IPF,I=2√3>IFF,I=2,.点P的轨迹是以F(-1,0), F2(1,0)为焦点的椭圆.2a=2V5,2c=2,.a=√5，b=√2， 故所求点P的航迹方程足号+亏-1 5.B设动圆的圆心为M(x,y),半径为R,动圆与圆M:（x+ 1)2+y2=1外切，与圆M2:(x-1)2+y2=25内切，.1MM11 +IMM,I =1+R+5-R=6,.IMMI+IMM,I IM M,I 2,∴.该动圆圆心M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且2a=6, 。1.。=3,公=8，稀圆的方程为号+亏-1 6A设M,A60y,B0.6),由O成-=号+号0成.可 3 x= 得(，y)=子(，0)+子(0，o),则 ， 2解得 =50 .5 [x=3, 因为1=5，所以(3）广+(3）°=25，即号 y0=2y, y 7+亏=1(x*±2)设点P的坐标为(x,0(x≠±2)，依 题意，有2×中2-子化简并整理，得号+兮=1(：≠ 2)动点P的轨迹C的方程是子+号-1(x≠±2》 —27 x= 2%0 8子+=1设(，)，由题意得 a b· Lyo=by. +2=1（a>b≥0)，所以+）2 4a2 =1,即年+y2=1. 9.【解析】(1)kB=-2,AB⊥BC, 2 :kc=2 道BC所在直线的方程为y-号-2， 即x-√2y-4=0. (2)·边BC所在直线的方程为x-2y-4=0, 令y=0,得C(4,0). .∴.圆心M(1,0). 又：1AM1=3, .圆M的方程为(x-1)2+y2=9. (3)P(-1,0),M(1,0), 且圆N过点P(-1,0), .IPWI是该圆的半径. 又动圆N与圆M内切， .∴.IMWI=3-IPW1, 即IMW1+IPWI=3>2 ∴.点N的轨迹是以M,P为焦点的椭圆，且2a=3. a-2c-1,b=a-V月-5 3 圆心N的轨连方程为号+亭=1. 0【解折}（①）发斑意，可设板圆C的方程为后+芳=1(。> b>0), 点F(2,0)为其右焦点， 则不妨令其左焦点为F'(-2,0), 从而有=2， 2a=IAF1+IAF'1=3+5=8, 解得2， la=4, 又a2=b2+c2, 62=12, 故荒国C的标准方程为6+=引 (2)设P(xyo),Q(x,y), Q为PF的中点， (x=6+2 2’「x0=2x-2, y2 lyo=2y, 又P是花6+古1上的动点， y (2x-2)242 16 即Q点的轨迹方程是x1)+ 4 31. 3 11.D圆心C(-1,0),半径为5，设点M(x,y),AQ的垂直平 分线交CQ于点M,.IMAI=IMQI,.IMAI+IMC1=IMQI +IMC1=5>1AC1=2,由椭圆的定义可得点M的轨迹是以 4C为焦点的韬圆，且24=5c=16=召放椭圆方程 12.C因为点A,B是两个定点，不妨设IAB1=2a,以AB所在直 线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平 面直角坐标系，设A(-a,0),B(a,0),C(x,y),所以A元= (x+a,y),BC=(x-a,y),由AC.BC=2得(x-a)(x+a) +y2=2,即x2+y2=a2+2,所以点C的轨迹为圆. ● A O B 15.B设c(,),则ka=+2a=产2由m∠CMB. amL84=2,得+2×(-亡2)=2，即片+合=l,当x= ±2时，C与A或B重合，不符合题意.所以点C的轨迹方程 为+-1(x≠±2) 4a+4办=1设Q(,),0成=Pm+P,0币 14x2 y -20:(受，-)P是椭圆 +茶=1上的 44 .2y2 一点，心京+=14+4=1 15.椭圆在圆周上任取一点P,将圆形纸片 折起，使得P与A重合，折痕记为直线， 直线l与直线OP的交点为Q,则1QPI= 0 1QAI,由题意可知，圆O的半径为8，且 IOA1=6,所以IQA1+1Q01=1QP1+IQ0川 =8>1AO川=6，所以点Q的轨迹为椭圆. 16.【解析】圆A的方程整理可得(x+1)2+y2=16,点A的坐 标为(-1,0)，圆A的半径为4，如图所示， B 因为IADI=IACI, 所以∠ACD=∠ADC. 因为EB∥AC, 所以∠EBD=∠ACD, 故∠EBD=∠ADC. 所以IEBI=IEDI, 故IEAI+IEBI=IEAI+IEDI=IADI=4,为定值. 由题设得A(-1,0),B(1,0),IAB1=2, 由椭圆定义可得点E的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，且2a —27 =4,c=1, 所以a2=4,b2=3, 所以点E的载法方程为号+兮-1(y0》 练案[26] 1.C椭圆2+my=1的标准形式为2+士=1.因为焦点在y 1 m 1 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以月=2，所以m= 4 x2,y2 x2 2 2.B曲线25+)=1的焦距为2=8，而曲线g-6+25-6 1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴 不同. 3.B设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,由题意可 得，2b=2c,b=c,.a=B+0=2b,e==方 a 2b 4.A在x+2y=2中，由y=0得x=2,由x=0得y=1,则该直 线交x轴于点(2,0)，交y轴于点(0,1)，依题意得a=2,b=1, 则c=√a-b=√3，显然，椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的焦 点坐标是（±3,0）. 5.D已知IPA|=2IABI,设IABI=x,则IPAI=2x,当A滑动到 O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长b=2x,当P 在右顶点时，B恰好在0点，则长半轴长a=3x,故离心率为 .9-4r-5 a 3x 3 6.CD当0<m<2时，焦点在x轴上，此时a2=2,b2=m,所以 2=d-=2-m,所以2=千-20=子，解得m=子符 7=2 合题意；当m>2时，焦点在y轴上，此时a2=m,b2=2,所以c =心-=m-2.所以子-号2-号解得m号符合 题意故正数m的值可以是或号 7.(2,4] 3 e -(),b=1,0<e≤ 21 “V-(合丁≤号，则1<e≤222a54,用轴长的 取值范围是(2,4]· ,x2y2 2 6+苓=1设椭圆方程为后+下=1(a>6>0),由e=号 8. 知后-号，放号=子△BR,的周长为AB1+1BP,1+ b21 IAF2I=(IAF I+IAF2)+(IBF I+IBF21)=4a=16,..a= 4公=8…椭圆C的方程为后+亏-1 9.【解析】由FA∥F2B,IFAI=21FBI, 器