1.4.2 第2课时用空间向量研究夹角问题-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

037 第2课时用空间向量研究夹角问题 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角 数学抽象 与向量夹角的关系， 2.能用向量方法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与 逻辑推理、数学运算 平面的夹角的大小 教材梳理明要点 ●情境导入 在必修课程中，我们学习过异面直线所成的角、直线与平面所成的角，以 [提示] 异面直线所成的角与 及从同一条直线出发的两个半平面所成的二面角.那么，这些角的大小与 两直线方向句量的夹 直线的方向向量、平面的法向量有什么样的关系呢？ P[提示] 角相等或互补；直线 与平面所成的角与直 ●新知初探 线的方向向量和法向 知识点空间角的向量求法 量的夹角互余或与其 角 向量求法 补角互余；二面角与 法向量的夹角相等或 异面直线 设l1与l2的方向向量分别为u,v,则cos0= 互补 所成的角0 lw·vl [知识点反思] lullyl 直线的方向向量或平 面的法向量，这些向 直线与平面 设l的方向向量为u,平面a的法向量为n,则sin0= _lw·nl 量的夹角，与直线， 所成的角0 lulIn 平面这些几何图形之 间形成的角不一定相 设平面a,B的法向量分别为n1,n2,则cos0= 平面与平面 等，借助图形直观理 的夹角0 In1·n2l 解它们之间的关系， InlIn2I 便于我们理解记忆计 算公式，避免出现错 >[知识点反思] 误 自预习自测 1.设直线1的方向向量为S1=(1,1,1),直线12的方向向量为S2=(-2,2,-2),则1,12夹角的余 弦值为 C.③ 3 2 2已知向量m,n分别是直线1与平面u的方向向量、法向量，若c0s(m,m）=-5 ,则1与a所成的 角为 A.30° B.60° C.150° D.120° 3.平面ax的法向量为(1,0，-1)，平面B的法向量为(0，-1,1)，则平面α与平面B的夹角为 038 题型探究提技能 题型一求异面直线所成的角 例如图所示，在三棱柱ABC4B,G中，M,上底面ABC, A AB=BC=AA1,∠ABC=90°，点E,F分别是棱AB,BB 的中点，试求直线EF和BC,所成角的大小. 「方法总结1] 求异面直线所成角的 步骤 P[方法总结1] (1)确定两条异面直 线的方向向量 (2)确定两个向量夹 角的余弦值的绝 对值. (3)得出两条异面直 线所成的角」 》跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD-AB,C,D1中，已知M,N分别 D 是BD和AD的中点，则B,M与D,N所成角的余弦值为 A.30 B.30 10 15 C.30 D.5 [方法总结2] 30 15 利用平面的法向量求 题型二 直线与平面所成的角 直线与平面所成角的 基本步骤 例2如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA1平面ABC, (1)建立空间直角坐 AB1AC,PA=AC=AB,N为AB上一点，AB= 标系 4AN,M,S分别为PB,BC的中点.求SN与平面 vie2-ct:: (2)求直线的方向向 量u. CMN所成角的大小 (3)求平面的法向 P[方法总结2] 量n. (4)设线面角为日， 则血g= ●039 )》跟踪训练2 如图，在直三棱柱ABC-AB,C1中，AB=AC=AA1=2, ∠BAC=90°，E,F分别为C,C,BC的中点.求AB与平面B, AEF所成角的正弦值， [方法总结3] 利用坐标法求两个平 题型三两个平面的夹角 面夹角的步骤 例3如图，四棱柱ACD-ABC,D,的所有棱长都相等， (1)建立空间直角坐 标系. AC∩BD=0,A,C1∩B,D1=O1,四边形ACC1A1和四 (2)分别求出两个面 边形BDD,B,均为矩形 所在平面的法向量的 (1)证明：O,0⊥平面ABCD: 坐标 B (2)若∠CBA=60°，求平面C,OB1与平面OB1D夹 (3)求两个法向量的 夹角. 角的余弦值 ●[方法总结3] (4)确定两平面夹角 的大小 040 )跟踪训练3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AD⊥DC,平面 PDL底面ABCD,Q为AD的中点，M为PC的中点，PA=PD=2,BC=AD=1, CD=3. (1)求证：PQLAB. (2)求平面PQB与平面MQB夹角的余弦值. 随堂检测重反馈 1若异面直线1的方向向量与4的方向向量的夹角为石，则4与，所成的角为 A君 B.5 6 C8欧8 D.以上均不对 61 2.已知两平面的法向量分别为m=(0,√2,0)，n=(√2，√2,2)，则两平面所成的二面角为( A.60° B.30°或150° C.60°或120° D.90° 3,在正方体ABCD-A,B,C,D,中，BB,与平面ACD1所成角的正弦值为 A.6 1 0.3 4.如图所示，点A,B,C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，OC= (0,0,2),平面ABC的一个法向量为n=(2,1,2),平面ABC与平面AB0的夹 角为0，则c0s0= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[11] 章末复习与总结 知识体系构建 空间向量的定义 向量加、减法运算 空间向量的概念及其 及其表示 空间向量运算的定 向量数乘运算 运算 空间向量的线性运 义及其几何意义 向量数量积运算 算和数量积运算 空间向量运算的运算律 交换律、结合律、分配律 基向量 空间向量基本定理与 空间向量基本定理 基本定理 空间向量运算的坐标 空间直角坐标系 表示 空间向量运算的坐标表示 用空间向量解决立体 用空问向量表示点、直 用空间句量研究立体几何 把向量运算的结果“翻译 几何问题 中的直线、平面的位置关系 线、平面等元素 成相应的几何意义 距离和夹角问题N(0,3,2) 所以Ci=(3,3,0),M=(-1,0,2), Mi=(-1,5,0). 设n=(x,y,z)为平面CMW的一个法向量， C成n=3x+5y=0,取z=1, 则 M.n=-x+2z=0, 则x=2,y=-6,所以n=(2,-6,1) 所以点B到平面CMN的距离d=ln:应_42 3 跟踪训练2：【解析】以点A为坐标原点，AD,AB,AA1所在直线 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz, 则A(0,0,0),D(2,0,0),D(2,0,2),E(0,2,1), AD=(2,0,2),AE=(0,2,1),AD= (2,0,0) 设平面AD,E的法向量为n=(x,y, z), 则·孤=2+2：=0. n·A2=2y+z=0, 令y=1,得n=(2,1,-2), 点D到平面ADE的距离 d=ln·ADi 2×2 √22+12+(-2)2 3 所以点D到平百A0E的距离为号 例3：【解析】以D为原点，以DA,DC,DD1所在直线为x轴y 轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 则M(1,0,0),E(2,1,2),N(0,2,1), A(2,0,0),C(0,2,0), D 所以M证=(1,1,2)，M=(-1,2,1), A元=(-2,2,0). AD 设平面EMN的一个法向量为n=(x, Y,2), 则m·正=+y+2a=0. n·M=-x+2y+z=0, 令z=1,则得n=（-1,-1,1). 因为Ad·n=(-2)×(-1)+2×(-1)+0×1=0, 所以A元⊥n, 又因为点A显然不在平面EMN内， 所以AC与平面EMN平行. 又因为成=（1,0,0)，所以1n, Inl 1(-1)×1+(-1)×0+1×01-3 √(-1)2+(-1)2+17 -3 因此点A到平面EMV的距离为，这也是AC与平面E奶 之间的距离。 跟踪训练3：【解析】以点D为坐标原点建立如图所示的空间 直角坐标系， 则D(0,0,0),41(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1), A1B=(0,1,-1),A1D=（-1,0, -1),AD1=(-1,0,0). 设平面ABD的法向量为n=(x,y,z), fn·AB=0,y-z=0, n·Ai=01-x-z=0. 令z=1,得y=1,x=-1, 所以n=(-1,1,1), 所以点D,到平面A1BD的距离d= 1AD·nl15 53 易证平面A,BD∥平面B,CD, 所以平面ABD与平面B,CD间的距离等于点D,到平面 ABD的距离， 所以平面ABD与平面B,CD,间的距离为 3 随堂检测重反馈 1.A平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1, -3,8),则点P到平面0AB的距离d=1n,应。 1-2+6+81 =4.故选A. √22+(-2)2+12 2.B两平行平面α，B分别经过坐标原点0和点A(2,1,1), 0A=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),∴.两 平面间的距离d=1n,0-1-2+0+1山- 2 3号因为n=(-2.0,-1),n=(停.0，号）为1的-个单 2 位方向向量，.点P到1的距离d=√1P412-(PA·n)2= 如图，以D为原点，DA,DC,DD D 所在直线分别为x,y,z轴建立空间直 角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0,4), B(2,2,0),E(0,1,2),所以DA1=(2, 0,4),Di=(2,2,0),D2=(0,1,2),设 平面BDE的法向量为n=(x,y,z),则 rn·D=2x+2y=0, 令y=-1,则x n·DE=y+2z=0, =1,2=7,即n=(1,-1,),则点4到平面BDE的距离 DA·nl 4 d=- 1 √1+1+4 第2课时用空间向量研究夹角问题 教材梳理明要点 新知初探 知识点 Icos<u,v>I Icos<u,n>I Icos<n,n>I 预习自测 .Bcs5)--2)x1点-2X1=-分 3×25 …山，山2夹角的余弦值为了 8 2B设1与a所成的角为0，则si0=1os(m,m)1=5 1 .0=60°.故选B. 3.牙设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),a与B的夹角为0，则 cos 0=Icos(u,v>I= -1 1 题型探究提技能 例1：【解析】分别以BC,BA,BB,所在直线为x,y,z轴，建立空 间直角坐标系，如图. 设AB=1,则B(00,0),E(0,20）,F(0.0,3),C(1,0,), 所以成=(0.-，号）C=10.1) 于是Icos〈E市，BC〉I= EF.BCI IEFIIBC 2 2 所以直线EF和BC所成角的大小为60， 跟踪训练1：A建立如图所示的空间直 角坐标系，设正方体的棱长为2，则 D. B(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2), N(1,0,0),.B,M=(-1,-1,-2), D=(1,0,-2),.1cosB,M,D1 -1+4 J30 个+1+4×个+4 10 例2：【解析】设PA=1,以A为原点，AB,A亡，AP分别为x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）. 则P(0,0,1),C(0,1,0), z个 B(2,0,0), 又AN=子AB,M,S分别为PB, BC的中点， N(30.0）,w(10,2) s1,20） a成=(1，-1,2)=(-230 花-(-10） 设a=(x,y,z)为平面CMN的法向量， .Ci.a=0,Nd.a=0. x-y+2=0, 则 1 x=2y；取y=1,得a=(2,1,-2): -2x+y=0. z=-2y. 设SN与平面CMW所成的角为0， 1 sin 0=Icos(a,SN)I= -1-22 3+ SW与平面CMW所成的角为平 20 跟踪训练2：【解析】以A为原点，建立如图所示的空间直角坐 标系， 则A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0), 所以AB=(2,0,-2),A2=(0,2,1), A市=(1,1,0). 设平面AEF的法向量为n=(a,b,c), n·AE=0,B2b+c=0, 由 得 n·AF=0,la+b=0, 令a=1,可得n=(1,-1,2). 设AB与平面AEF所成角为0， 所以s血0=lcs(m,A,应1=n·A五-区 InIIA BI 6' 、即A,B与平面AEF所成角的正弦值为B, 例3：【解析】(1)证明：因为四边形ACC,A,和四边形BDD,B 均为矩形，所以CC⊥AC,DD1⊥BD, 又CC1∥DD1∥O01,所以0OO1⊥AC,O01⊥BD, 因为AC∩BD=O,AC,BDC平面ABCD, 所以O,O⊥平面ABCD. (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱 形，AC⊥BD,又O,0⊥平面ABCD,所以OB,OC,OO,两两 垂直. 如图，以0为原点，OB,OC,O01所 在直线分别为x,y,z轴，建立空间 直角坐标系. 设棱长为2，因为∠CBA=60°，所以 0B=√3,0C=1, 所以0(0,0,0)，B(3,0,2), C(0,1,2), 平面OB1D的一个法向量为n=(0,1,0), 设平面C,OB1的法向量为m=(x,y,z), 由m⊥0B,m10C,得3x+2z=0,y+2z=0, 取z=-5,则x=2,y=25,所以m=(2,25,-3), 所以1cos(m,m)1=m:nl=25_257 1 mlInl√9 19 所以平面C0B,与平面0B,D夹角的余弦值为2Y阿 19 跟踪训练3：【解析】(1)证明：在△PAD中，PA=PD,Q为AD 的中点， 所以PQ⊥AD 因为平面PAD⊥底面ABCD,且平面PAD∩底面ABCD=AD, PQC平面PAD, 所以PQ⊥底面ABCD. 又ABC平面ABCD,所以PQ⊥AB. (2)在直角梯形ABCD中，AD∥BC,BC=2AD, Q为AD的中点，所以DQ=BC,DQ∥BC, 所以四边形BCDQ为平行四边形. 因为AD⊥DC,所以AD⊥OB. 9 由(1)，可知PQ⊥平面ABCD,故以 Q为坐标原点，建立空间直角坐标 系Qxz,如图所示， 则Q(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0, 5),C(-1,5,0),B(0,5,0), 则QB=(0,5,0). 因为AQ⊥PQ,AQ⊥BQ,PQ∩BQ= Q,PQ,BQC平面PQB,所以AQ⊥平面PQB, 即Q为平面PQB的一个法向量，且QA=(1,0,0). 因为M是棱PC的中点， 所以点业的皇标为（分县），所以O=(-分号 ) 设平面MQB的法向量为=(x,y,z), 则m·0i=0, r3y=0, 即 1m.Qi=0, 所以可取m=(5,0,1), 所以1os(Oi,m)1=·ml=尽 IQAllml 2 所以平百POB与平百M0B夹角的余能位为号 随堂检测重反馈 1.A41与42所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异 面直线所成角的范围为(0，受]，放选A 2c-(m0设万2万 2 2 ,所以(，n〉=60°、 因为二面角与二面角的两个半平面的法向量夹角相等或者互 补，所以两平面所成的二面角为60°或120° 3.C设该正方体的棱长为1，建立空间 直角坐标系如图所示.则D(0,0,0), A 、B B(1,1,0),B(1,1,1),BB=(0,0, 1),平面ACD1的一个法向量为DB,= ‘D (1,1,1).设BB,与平面ACD1所成的 角为0，则sin0=Icos(DB,BB)I= IDB·BB1-1-5 IDB1IBBI5×13 4号m0= 0d.nl-4-2 0d1m2×3=号 章末复习与总结 核心考点培优 例1：【解析】(1)①Ai=(AC+aD) =之[（店+d+a)+(市+）] =2(弦+2d+2)=2a+b+c 21 ②A=A元+C =+号(-d) =应+5动+号 =+b+c (2)记A2=a,Ai=b,AA=c,则1al=Ib1=lcl=1, (a,b〉=(b,c〉=(c,a〉=60°， a…b=bc=ca=2 1 ①1AC2=(a+b+c)2=d2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a) =1+1+1+2x(分+分+2）=6 .1AC1=6. ②BD=b+c-a,AC=a+b, .IBD1=2,1AC1=5, BD.Ad=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1, .cos(BDc)= BD·A花-6 IBDIACI 6 例2：【证明】如图，建立空间直角坐 标系， D 设A,A=AC=BC=2, 则A(2,0,0),C(0,0,0),A(2,0, 2),B1(0,2,2),D(1,0,2),E(1,1, 0),F(2,0,1), 所以C=(2,0,0),D2=(0,1, -2), E=(1,-1,1),CB=(0,2,2),EB=(-1,1,2) (1)显然，C是平面BCC,B,的一个法向量， 因为D正.C=0,所以D2⊥C 因为DEt平面BCCB,所以DE∥平面BCCB. (2)设平面B,CE的法向量为n=(x,y,z), 则.-2+2=0， n·EB,=-x+y+2z=0, 令z=-1,则y=1,x=-1,即n=（-1,1,-1), 显然EF∥n,所以EF⊥平面B,CE. 例3：【解析】如图所示，以AD的中点O为 原点，分别以OD,OC所在直线为x轴、y 轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M, 以直线OM为z轴建立空间直角坐标系， 则A(-0.0）B(50,) co9.30o) 配=（分a=(90,）成=(-9 0 0